2024届福建省福州市福建师大附中高一数学第二学期期末经典试题含解析

2024届福建省福州市福建师大附中高一数学第二学期期末经典试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若圆的圆心在第一象限，则直线一定不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有1个白球”和“都是红球”B．“至少有2个白球”和“至多有1个红球”C．“恰有1个白球”和“恰有2个白球”D．“至多有1个白球”和“都是红球”3．若是等差数列，首项，，，则使前n项和成立的最大正整数n=（）A．2017 B．2018 C．4035 D．40344．平面直角坐标系xOy中，角的顶点在原点，始边在x轴非负半轴，终边与单位圆交于点，将其终边绕O点逆时针旋转后与单位园交于点B，则B的横坐标为（）A． B． C． D．5．已知函数在区间上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值是（）A．6 B．7 C．8 D．96．当为第二象限角时，的值是（）．A． B． C． D．7．若a、b、c>0且a(a＋b＋c)＋bc＝4－2，则2a＋b＋c的最小值为()A．－1 B．＋1C．2＋2 D．2－28．已知等差数列an的前n项和为18，若S3=1，aA．9 B．21 C．27 D．369．已知向量，满足，，，则（）A．3 B．2 C．1 D．010．空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（）A． B．C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．函数的递增区间是__________.12．已知满足约束条件，则的最大值为__________．13．已知为等差数列，为其前项和，若，则，则______．14．某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名，为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取20名学生，则高一、高二共抽取的学生数为.15．某产品分为优质品、合格品、次品三个等级，生产中出现合格品的概率为0.25，出现次品的概率为0.03，在该产品中任抽一件，则抽到优质品的概率为__________．16．数列满足，，，则数列的通项公式______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．扇形AOB中心角为，所在圆半径为，它按如图(Ⅰ)(Ⅱ)两种方式有内接矩形CDEF．(1)矩形CDEF的顶点C、D在扇形的半径OB上，顶点E在圆弧AB上，顶点F在半径OA上，设；(2)点M是圆弧AB的中点，矩形CDEF的顶点D、E在圆弧AB上，且关于直线OM对称，顶点C、F分别在半径OB、OA上，设；试研究(1)(2)两种方式下矩形面积的最大值，并说明两种方式下哪一种矩形面积最大？18．已知关于的函数.（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若对任意的恒成立，求实数的最大值.19．某校为了了解学生每天平均课外阅读的时间（单位：分钟)，从本校随机抽取了100名学生进行调查，根据收集的数据，得到学生每天课外阅读时间的频率分布直方图，如图所示，若每天课外阅读时间不超过30分钟的有45人.（Ⅰ)求，的值；（Ⅱ)根据频率分布直方图，估计该校学生每天课外阅读时间的中位数及平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表).20．已知向量，，，．（1）若，且，求x的值；（2）对于，，定义．解不等式；（3）若存在，使得，求k的取值范围．21．已知的三个内角，，的对边分别为，，，函数，且当时，取最大值.（1）若关于的方程，有解，求实数的取值范围；（2）若，且，求的面积.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】

由圆心位置确定，的正负，再结合一次函数图像即可判断出结果.【题目详解】因为圆的圆心坐标为，由圆心在第一象限可得，所以直线的斜率，轴上的截距为，所以直线不过第一象限.【题目点拨】本题主要考查一次函数的图像，属于基础题型.2、C【解题分析】

结合互斥事件与对立事件的概念,对选项逐个分析可选出答案.【题目详解】对于选项A,“至少有1个白球”和“都是红球”是对立事件,不符合题意;对于选项B,“至少有2个白球”表示取出2个球都是白色的,而“至多有1个红球”表示取出的球1个红球1个白球,或者2个都是白球,二者不是互斥事件,不符合题意;对于选项C,“恰有1个白球”表示取出2个球1个红球1个白球,与“恰有2个白球”是互斥而不对立的两个事件,符合题意;对于选项D,“至多有1个白球”表示取出的2个球1个红球1个白球,或者2个都是红球,与“都是红球”不是互斥事件,不符合题意.故选C.【题目点拨】本题考查了互斥事件和对立事件的定义的运用,考查了学生对知识的理解和掌握,属于基础题.3、D【解题分析】

由等差数列的性质可得，，由等差数列前项和公式可得则，，得解.【题目详解】解：由是等差数列，又，所以，又首项，，则，，则，，即使前n项和成立的最大正整数，故选：D.【题目点拨】本题考查了等差数列的性质，重点考查了等差数列前项和公式，属中档题.4、B【解题分析】

，B的横坐标为，计算得到答案.【题目详解】有题意知：B的横坐标为：故答案选B【题目点拨】本题考查了三角函数的计算，意在考查学生的计算能力.5、C【解题分析】

先根据三角函数的性质可推断出函数的最小正周期为6，进而推断出，进而求得t的范围，进而求得t的最小值．【题目详解】函数的周期T=6，则，∴，∴正整数t的最小值是8.故选：C.【题目点拨】本题主要考查三角函数的周期性以及正弦函数的简单性质，属于基础题.6、C【解题分析】

根据为第二象限角，，，去掉绝对值，即可求解．【题目详解】因为为第二象限角，∴，，∴，故选C．【题目点拨】本题重点考查三角函数值的符合，三角函数在各个象限内的符号可以结合口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦，增加记忆印象，属于基础题7、D【解题分析】由a(a＋b＋c)＋bc＝4－2，得(a＋c)·(a＋b)＝4－2.∵a、b、c>0.∴(a＋c)·(a＋b)≤(当且仅当a＋c＝b＋a，即b＝c时取“＝”)，∴2a＋b＋c≥2＝2(－1)＝2－2.故选：D点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误8、C【解题分析】

利用前n项和Sn的性质可求n【题目详解】因为S3而a1所以6Snn【题目点拨】一般地，如果an为等差数列，Sn为其前（1）若m,n,p,q∈N*,m+n=p+q，则am（2）Sn=n（3）Sn=An（4）Sn9、A【解题分析】

由，求出，代入计算即可．【题目详解】由题意，则.故答案为A.【题目点拨】本题考查了向量的数量积，考查了学生的计算能力，属于基础题．10、A【解题分析】

关于轴对称，纵坐标不变，横坐标、竖坐标变为相反数．【题目详解】关于轴对称的两点的纵坐标相同，横坐标、竖坐标均互为相反数．所以点关于轴对称的点的坐标是．故选：A．【题目点拨】本题考查空间平面直角坐标系，考查关于坐标轴、坐标平面对称的问题．属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、；【解题分析】

先利用辅助角公式对函数化简，由可求解.【题目详解】函数，由，可得，所以函数的单调增区间为.故答案为：【题目点拨】本题考查了辅助角公式、正弦函数的图像与性质，需熟记公式与性质，属于基础题.12、57【解题分析】

作出不等式组所表示的可行域，平移直线，观察直线在轴的截距取最大值时的最优解，再将最优解代入目标函数可得出目标函数的最大值.【题目详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：平移直线，当直线经过可行域的顶点时，该直线在轴上的截距取最大值，此时，取最大值，即，故答案为.【题目点拨】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，一般利用平移直线结合在坐标轴上的截距取最值时，找最优解求解，考查数形结合数学思想，属于中等题．13、【解题分析】

利用等差中项的性质求出的值，再利用等差中项的性质求出的值.【题目详解】由等差中项的性质可得，得，由等差中项的性质得，.故答案为：.【题目点拨】本题考查等差数列中项的计算，充分利用等差中项的性质进行计算是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.14、70【解题分析】设高一、高二抽取的人数分别为，则，解得.【考点】分层抽样.15、0.72【解题分析】

根据对立事件的概率公式即可求解.【题目详解】由题意，在该产品中任抽一件，“抽到优质品”与“抽到合格品或次品”是对立事件，所以在该产品中任抽一件，则抽到优质品的概率为.故答案为【题目点拨】本题主要考查对立事件的概率公式，熟记对立事件的概念及概率计算公式即可求解，属于基础题型.16、【解题分析】

由题意得出，利用累加法可求出.【题目详解】数列满足，，，，因此，.故答案为：.【题目点拨】本题考查利用累加法求数列的通项，解题时要注意累加法对数列递推公式的要求，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、方式一最大值【解题分析】

试题分析：(1)运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用；（2）重视三角函数的三变：三变指变角、变名、变式；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等，适当选择公式进行变形；（3）把形如化为，可进一步研究函数的周期、单调性、最值和对称性.试题解析：解（1）在中，设，则又当即时，（Ⅱ）令与的交点为，的交点为，则，于是，又当即时，取得最大值.,（Ⅰ）（Ⅱ）两种方式下矩形面积的最大值为方式一：考点：把实际问题转化为三角函数求最值问题.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解题分析】

（Ⅰ）由时，根据，利用一元二次不等式的解法，即可求解；（Ⅱ）由对任意的恒成立，得到，利用基本不等式求得最小值，即可求解.【题目详解】（Ⅰ）由题意，当时，函数，由，即，解得或，所以不等式的解集为.（Ⅱ）因为对任意的恒成立，即，又由，当且仅当时，即时，取得最小值，所以，即实数的最大值为.【题目点拨】本题主要考查了一元二次不等式的求解，以及基本不等式的应用，其中解答中熟记一元二次不等式的解法，以及合理利用基本不等式求得最小值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19、（Ⅰ)；（Ⅱ)中位数估计值为32，平均数估计值为32.5.【解题分析】

（Ⅰ）由频率分布直方图的性质列出方程组，能求出，；（Ⅱ）由频率分布直方图，能估计该校学生每天课外阅读时间的中位数及平均值．【题目详解】（Ⅰ)由题意得，解得（Ⅱ)设该校学生每天课外阅读时间的中位数估计值为，则解得：.该校学生每天课外阅读时间的平均数估计值为：.答：该校学生每天课外阅读时间的中位数估计值为32，平均数估计值为32.5.【题目点拨】本题考查频率、中位数、平均数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20、（1）或（2）（3）【解题分析】

（1）由题,由可得,进而求解即可；（2）由题意得到,进而求解即可；（3）由可得,整理可得关于的函数,进而求解即可【题目详解】（1）由题,,因为,所以,则,因为,所以或（2）由题,,因为,所以,当时,,因为是以为最小正周期的周期函数,所以（3）由（1）,由题,,若,则,则,因为,所以【题目点拨】本题考查共线向量的坐标表示,考查垂直向量的坐标表示,考查解三角函数的不等式21、（1）；（2）.【解题分析】

（1）利用两角和差的正弦公式整理可得：，再利用已知可得：（），结合已知可得