安徽师大附中2024届数学高一下期末学业质量监测模拟试题含解析

安徽师大附中2024届数学高一下期末学业质量监测模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？（）A．6斤 B．7斤 C．9斤 D．15斤2．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则()A． B． C． D．3．设全集，集合，，则（）A． B． C． D．4．从甲、乙、丙三人中，任选两名代表，甲被选中的概率为（）A． B． C． D．5．某四棱锥的三视图如图所示，则它的最长侧棱的长为（）A． B． C． D．46．若数列满足（，为常数）,则称数列为“调和数列”.已知数列为调和数列，且，则的最大值是（）A．50 B．100 C．150 D．2007．在中，角，，所对的边分别为，，，则下列命题中正确命题的个数为()①若,则；②若，则为钝角三角形；③若，则．A．1 B．2 C．3 D．08．已知，所在平面内一点P满足，则（）A． B． C． D．9．不等式的解集为,则的值为(

)A． B．C． D．10．已知，与的夹角，则在方向上的投影是（）A． B． C．1 D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．把正整数排列成如图甲所示的三角形数阵，然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶数，得到如图乙所示的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列，若，则________________．12．sin750°=13．设（）则数列的各项和为________14．某中学为了了解全校学生的阅读情况，在全校采用随机抽样的方法抽取一个样本进行问卷调查，并将他们在一个月内去图书馆的次数进行了统计，将学生去图书馆的次数分为5组：制作了如图所示的频率分布表，则抽样总人数为_______．15．等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则其公比为_________．16．已知a，b为常数，若，则______；三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，在直棱柱中，，，，分别是棱，上的点，且平面.（1）证明：//；（2）求证：.18．已知函数在一个周期内的图像经过点和点，且的图像有一条对称轴为.（1）求的解析式及最小正周期；（2）求的单调递增区间.19．在中，、、分别是内角、、的对边，且.（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求的周长．20．已知余切函数.（1）请写出余切函数的奇偶性，最小正周期，单调区间；（不必证明）（2）求证：余切函数在区间上单调递减.21．在中，，.（1）求角B的大小；（2）的面积，求的边BC的长.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】

直接利用等差数列的求和公式求解即可.【题目详解】因为每一尺的重量构成等差数列，，，，数列的前5项和为．即金锤共重15斤，故选D．【题目点拨】本题主要考查等差数列求和公式的应用，意在考查运用所学知识解答实际问题的能力，属于基础题.2、A【解题分析】

先由a、b、c成等比数列，得到，再由题中条件，结合余弦定理，即可求出结果.【题目详解】解：a、b、c成等比数列，所以，​所以，由余弦定理可知，又，所以.故选A．【题目点拨】本题主要考查解三角形，熟记余弦定理即可，属于常考题型.3、D【解题分析】

先求得集合的补集，然后求其与集合的交集，由此得出正确选项.【题目详解】依题意，所以，故选D.【题目点拨】本小题主要考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题.4、D【解题分析】

采用列举法写出总事件，再结合古典概型公式求解即可【题目详解】被选出的情况具体有：甲乙、甲丙、乙丙，甲被选中有两种，则故选：D5、C【解题分析】

由三视图可知：底面，，底面是一个直角梯形，，，均为直角三角形，判断最长的棱，通过几何体求解即可.【题目详解】由三视图可知：该几何体如图所示，则底面，，底面是一个直角梯形，其中，，，，可得，，均为直角三角形，最长的棱是，.故选：C.【题目点拨】本题考查了三视图，线面垂直的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.6、B【解题分析】

根据调和数列定义知为等差数列，再由前20项的和为200知，最后根据基本不等式可求出的最大值。【题目详解】因为数列为调和数列，所以，即为等差数列又，又大于0所以【题目点拨】本题考查了新定义“调和数列”的性质、等差数列的性质及其前n项公式、基本不等式的性质，属于难题。7、C【解题分析】

根据正弦定理和大角对大边判断①正确；利用余弦定理得到为钝角②正确；化简利用余弦定理得到③正确.【题目详解】①若,则；根据，则即，即，正确②若，则为钝角三角形；，为钝角，正确③若，则即，正确故选C【题目点拨】本题考查了正弦定理和余弦定理，意在考查学生对于正弦定理和余弦定理的灵活运用.8、D【解题分析】

由平面向量基本定理及单位向量可得点在的外角平分线上，且点在的外角平分线上，，，在中，由正弦定理得得解．【题目详解】因为所以，因为方向为外角平分线方向，所以点在的外角平分线上，同理，点在的外角平分线上，，，在中，由正弦定理得，故选：．【题目点拨】本题考查了平面向量基本定理及单位向量，考查向量的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．9、B【解题分析】

根据一元二次不等式解集与对应一元二次方程根的关系列方程组，解得a，c的值.【题目详解】由题意得为方程两根，所以，选B.【题目点拨】一元二次方程的根与对应一元二次不等式解集以及对应二次函数零点的关系，是数形结合思想，等价转化思想的具体体现，注意转化时的等价性.10、A【解题分析】

根据向量投影公式计算即可【题目详解】在方向上的投影是：故选：A【题目点拨】本题考查向量投影的概念及计算，属于基础题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

由图乙可得：第行有个数，且第行最后的一个数为，从第三行开始每一行的数从左到右都是公差为的等差数列，注意到，，据此确定n的值即可.【题目详解】分析图乙，可得①第行有个数，则前行共有个数，②第行最后的一个数为，③从第三行开始每一行的数从左到右都是公差为的等差数列，又由，，则，则出现在第行，第行第一个数为，这行中第个数为，前行共有个数，则为第个数．故填．【题目点拨】归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．12、1【解题分析】试题分析：由三角函数的诱导公式得sin750°=【考点】三角函数的诱导公式【名师点睛】本题也可以看作来自于课本的题，直接利用课本公式解题，这告诉我们一定要立足于课本．有许多三角函数的求值问题都是通过三角函数公式把一般的三角函数求值化为特殊角的三角函数求值而得解．13、【解题分析】

根据无穷等比数列的各项和的计算方法，即可求解，得到答案.【题目详解】由题意，数列的通项公式为，且，所以数列的各项和为.故答案为：.【题目点拨】本题主要考查了无穷等比数列的各项和的求解，其中解答中熟记无穷等比数列的各项和的计算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14、20【解题分析】

总体人数占的概率是1，也可以理解成每个人在整体占的比重一样，所以三组的频率为：，共有14人，即14人占了整体的0.7，那么整体共有人。【题目详解】前三组，即三组的频率为：，，解得：【题目点拨】此题考查概率，通过部分占总体的概率即可计算出总体的样本值，属于简单题目。15、【解题分析】试题分析：、、成等差数列考点：1．等差数列性质；2．等比数列通项公式16、2【解题分析】

根据极限存在首先判断出的值，然后根据极限的值计算出的值，由此可计算出的值.【题目详解】因为，所以，又因为，所以，所以.故答案为：.【题目点拨】本题考查根据极限的值求解参数，难度较易.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解题分析】

（1）利用线面平行的性质定理可得，从而得到.（2）连接，可证平面，从而得到.【题目详解】（1）因为平面，平面，平面平面，所以.又在直棱柱中，有，所以.(2)连接，因为棱柱为直棱柱，所以平面，又平面，所以.又因为，平面，平面，，所以平面.又平面，所以.在直棱柱中，有四边形为平行四边形.又因为，所以四边形为菱形，所以.又,平面,平面，所以平面，又平面，所以.【题目点拨】线线平行的证明，有如下途径：（1）利用平面几何的知识，如三角形的中位线、梯形的中位线等；（2）线面平行的性质定理；（3）面面平行的性质定理；（4）线面垂直的性质定理（同垂直一个平面的两条直线平行）.而线线垂直的证明，有如下途径：（1）利用平面几何的知识，如勾股定理等；（2）异面直线所成的角为；（3）线面垂直的性质定理；18、（1），；（2）.【解题分析】

（1）由函数的图象经过点且f（x）的图象有一条对称轴为直线，可得最大值A，且能得周期并求得ω，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式．（2）利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调递增区间．【题目详解】（1）函数f（x）＝Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0，）在一个周期内的图象经过点，，且f（x）的图象有一条对称轴为直线，故最大值A＝4，且,∴，∴ω＝1．所以.因为的图象经过点，所以，所以，.因为，所以，所以.（2）因为，所以，，所以，，即的单调递增区间为.【题目点拨】本题主要考查由函数y＝Asin（ωx+）的性质求解析式，通常由函数的最大值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出的值，考查了正弦型函数的单调性问题，属于基础题．19、(1)(2)【解题分析】

（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得，由，可求，结合范围，可求．（2）利用三角形的面积公式可求，进而根据余弦定理可得，即可计算得解的周长的值．【题目详解】解：（1）∵，∴由正弦定理可得：，即，∵，∴，∵，∴．（2）∵，，的面积为，，∴，∴由余弦定理可得：，∴解得：，∴的周长.【题目点拨】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．20、（1）奇函数；周期为，单调递减速区间：（2）证明见解析【解题分析】

（1）直接利用函数的性质写出结果．（2）利用单调性的定义和三角函数关系式的变换求出结果．【题目详解】（1）奇函数；周期为，单调递减区间：（2）任取，，，有因为，所以，于