2023-2024学年湖北省恩施州四校联盟高二（上）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年湖北省恩施州四校联盟高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z=1−2A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.设集合A={x|x2−A.[−2,3] B.[3,+3.已知直线l1：x+ay−a=0，lA.2 B.1或−3 C.−3 D.04.“a=2”是“函数f(x)=A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知a=(13A.C>b>a B.b>c6.已知sin(x−π6A.19 B.29 C.797.已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点(点M，N与点B，C不重合)，设AB=xA.1 B.1+22 C.8.平面内有四条平行线，相邻两条平行线的间距均为2，在每条直线上各取一点围成矩形，则该矩形面积的最小值是(

)A.93 B.16 C.7二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若{a,b,A.b+c，b，b−c B.a，a+b，a−b

C.a+b，10.已知函数f(x)=A.函数f(x)的单调递增区间是[1,+∞) B.不等式f(x)<1的解集是(11.已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的28个样本数据的方差为s12，平均数为x−1；去掉的两个数据的方差为s22，平均数为x−2；原样本数据的方差为sA.x−=x−1

B.15s2=14s12+s12.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1A.异面直线DD1与B1F所成角的余弦值为255

B.点P为正方形A1B1C1D1内一点，当DP/​/平面B1EF时，DP的最小值为3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.平面向量a与b的夹角为135°，已知a=(−1,1)，14.点P(−3,−1)到直线l：(15.设函数f(x)=sin(2x+π6)(x∈[0,3π216.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA=四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

△ABC的三个顶点是A(4,0)，B(6,8)，C18.(本小题12分)

在平面直角坐标系中，已知三点A(−3,4)，B(3,2)，C(1,0)．

(1)若点D在线段AB上运动，求直线19.(本小题12分)

一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球．

(1)求第二次取到绿球的概率；

(2)如果是n个红球，6个绿球，已知取出的2个球都是绿球的概率为51220.(本小题12分)

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asinB+3bcosA=21.(本小题12分)

如图1，已知平面四边形BCMN是矩形，AD//BC，BC=kAB(k>0)，将四边形ADMN沿AD翻折，使平面ADMN⊥平面BCDA，再将△ABC沿着对角线AC翻折，得到△AB1C，设顶点B1在平面ABCD上的投影为O．

22.(本小题12分)

如图，在八面体PABCDQ中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面PAD/​/平面QBC，二面角P−AB−C与二面角Q−CD−A的大小都是30°，AP=CQ=3

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：z=1−2ii3=1−2i−i=2.【答案】B

【解析】解：由x2−x−6≥0，即(x+2)(x−3)≥0，解得x≥3或x≤−2，

所以A={x|3.【答案】D

【解析】解：由l1⊥l2，得1⋅a+a⋅[−(2a−4.【答案】A

【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性的性质是解决本题的关键．

结合函数的单调性，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】

解：∵函数f(x)=|x−a|在区间[a,+∞)上为增函数，

∴要使函数f(x)=5.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了对数函数性质，将a、b、c分别与0、1比较，即可得出结论．

【解答】

解：由题意，a=1312=33∈0,1，

，b6.【答案】A

【解析】解：因为sin(x−π6)=23，

所以cos(2x−π37.【答案】A

【解析】解：∵G为△ABC的重心，

∴AG=23×12(AB+AC)=13(xAM+yAN)，

又∵G在线段MN上，

∴13x+13y=1，

∴x+y=8.【答案】B

【解析】解：如图ABCD为矩形，设∠EAD=θ，θ∈(0,π2)，

则AD=2sinθ，AB=4cosθ，

所以矩形ABCD的面积为S=2sin9.【答案】AB【解析】【分析】

利用共面向量定理直接求解．

本题考查共面向量的判断，考查共面向量定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．【解答】

解：{a,b,c}构成空间的一个基底，

对于A，(b+c)+(b−c)=2b，∴b+c，b，b−c共面，故A正确；

对于B，(a+b)+(a−b)=2a，∴10.【答案】CD【解析】解：对A：令x2−2x>0，解得x>2或x<0，故f(x)的定义域为I=(−∞,0)∪(2,+∞)，∵y=log3u在定义域内单调递增，u=x2−2x在(−∞,0)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，故f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，A错误；

对B11.【答案】AB【解析】解：A.剩下的28个样本数据的和为28x1−，去掉的两个数据和为2x2−，原样本数据和为30x−，所以28x1−+2x2−=30x−，因为x−=x−2，所以x−=x−1，故A选项正确；

B.设x1<x2<x3<⋯<x29<x30，s12=128[(x2−x1−)2+(x312.【答案】AC【解析】解：对于A选项，∵DD1//BB1，如图，

∴在Rt△BB1F中，∠BB1F即为异面直线DD1与B1F|所成的角，

∴cos∠BB1F=BB1B1F=212+22=255，

∴异面直线DD1与B1F所成的角的余弦值为255，故A正确；

对于B选项，如图，

取A1D1的中点M，D1C1的中点N，取AD的中点S，连接MN，DM，DN，A2S，SF，

∵SF//AB//A1B1.SF=AB=A1B1，

∴四边形A1B1FS为平行四边形，

∴SA1//B1F.∵A1S//DM，∴MD//B1F，同理可得DN//B1E，

又DM⊄面B1EF，B1F⊂面B1EF，DN⊄面B1EF，B1E⊂面B1EF，DM/​/面B1EF，DN/​/面B1EF，

又DM∩DN=D，DM，DN⊂面DMN，面DMN//面B1EF，又DP/​/面B1EF，P∈面A1B1C1D1，

∴P轨迹为线段MN，

∴在△DMN中，过D作DP⊥MN，此时DP取得最小值，

在Rt△DD1M中，D1M=1,D1D=2,∴DM=5，

在RtΔDD1N中，D1N=1,D1D=2,∴DN=5，

在Rt△MD1N中，D1N=1,D1M=1,∴MN=2，

∴如图，

在Rt△DPN中，DP=DN2−(MN2)2=5−12=322，

即DP的最小值为322，而DP的最大值为5，故B错误；

对于C选项，过点D1、E、F的平面截正方体ABCD−A1B1C1D1，

∵平面AA1D1D/​/平面BB1C1C则过点D1、E、F的平面必与AA1与CC1交于两点，

设过点D1、E、F的平面必与AA1与CC1分别交于M、N，

∵13.【答案】10【解析】解：因为a=(−1,1)，

所以|a|=(−1)2+12=2，

又a与b的夹角为135°且|14.【答案】2【解析】解：直线l：(1+3λ)x+(1+λ)y−2−4λ=0即(3x+y−4)λ+(x+y−2)=0，

令15.【答案】4π【解析】解：设t=2x+π6，则t∈[π6,19π6]，

作出函数y=sinx(x∈[π6,19π6])的图象及直线y=89，如图，它们有4个交点时，

由正弦函数对称性知t1+t2=16.【答案】[4【解析】解：因为sinA=2−2cosA，所以sin2A+cos2A=(2−2cosA)2+cos2A=1，

5cos2A−8cosA+3=0，因为A为锐角，0<cosA<1，所以cosA=17.【答案】解：(1)由题设，BC的中点坐标为(6+02,8+22)=(3,5)，则中线的斜率5−03−4=−5，

则边BC上的中线所在直线的方程为y=−5⋅(【解析】(1)求BC的中点坐标并求直线斜率，应用点斜式求直线方程；

(2)18.【答案】解：(1)根据题意，可得kAC=0−41+3=1，kBC=0−21−3=−1，

因为直线AC的倾斜角为锐角，直线BC的倾斜角为钝角，

所以当点D在线段AB上运动时，直线CD的斜率k满足k≥1或k≤−1，即k∈(−∞,−1]∪[1,+∞)【解析】(1)求出直线AC、BC的斜率，根据斜率与倾斜角的关系，得出直线CD的斜率的取值范围；

(2)分两种情况：①直线l经过原点；②直线l19.【答案】解：(1)从10个球中不放回地随机取出2个共有10×9=90

种，即n(Ω)=90，

设事件A=“两次取出的都是红球”，则n(A)=4×3=12，

设事件B=“第一次取出红球，第二次取出绿球”，则n(B)=6×4=24，

设事件C=“第一次取出绿球，第二次取出红球”，则n(C)=6×4=24，

【解析】(1)根据互斥事件的概率、古典概型的概率求法求第二次取到绿球的概率；

(2)由题意有n(D)20.【答案】解：(1)因为asinB+3bcosA=0，

由正弦定理得sinAsinB+3sinBcosA=0，

因为sinB>0，

所以s【解析】(1)根据题意，利用正弦定理化简得sinA+3cosA=0，得到t21.【答案】解：(1)证明：∵点B1在平面ABCD上的射影为O，则点O恰好落在边AD上，

∴平面AB1D⊥平面ACD，又CD⊥AD，

∴CD⊥平面AB1D，

∴AB1⊥CD，

又∵AB1⊥CB1，

∴AB1⊥平面B1CD，

设AB=x，BC=AD=2x，则NB1=x2−1，

∵AB1⊥B1D，∴△ANB1∽△B【解析】(1)根据题意利用线面垂直判定定理证明，利用△ANB1∽△B1MD求AB的值；

(2)判断O22.【答案】解：(1)证明：因为ABCD为正方形，所以AB⊥AD，又PD⊥AB，AD∩PD=D，AD，PD⊂平面PAD，

所以AB⊥平面PAD，所以∠P