2023-2024学年四川省成都重点中学高二（上）第三次月考数学试卷（12月份）（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年四川省成都重点中学高二（上）第三次月考数学试卷（12月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.甲乙两位同学进行乒乓球比赛，甲获胜的概率为0.4，现采用随机模拟的方法估计这两位同学打3局比赛甲恰好获胜2局的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，制定1，2，3，4表示甲获胜，用5，6，7，8，9，0表示乙获胜，再以每三个随机数为一组，代表3局比赛的结果，经随机模拟产生了30组随机数：

102

231

146

027

590

763

245

207

310

386

350

481

337

286

139

579

684

487

370

175

772

235

246

487

569

047

008

341

287

114

据此估计，这两位同学打3局比赛甲恰好获胜2局的概率为(

)A.13 B.310 C.252.与圆x2+y2=1A.一个椭圆上 B.一个圆上 C.一条抛物线上 D.双曲线的一支上3.若直线l1：mx+y+1=0与直线lA.2 B.−2 C.12 4.图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径AB=6，深度MO=2，信号处理中心F位于焦点处，以顶点O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，若PA.4 B.3 C.2 D.15.设F为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0A.2 B.3 C.2 6.三棱锥P−ABC中，△PAB和△ABC都是等边三角形，AB=A.12 B.1 C.32 D.与7.设圆C：x2+y2=3，直线l：x+3y−6=0，点A.[−12,1] B.[8.已知椭圆C1：x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)与双曲线C2：x2a2A.7 B.27 C.4二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yA.平均数 B.方差 C.众数 D.极差10.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，A.椭圆焦距为3 B.椭圆方程为x24+y2=11.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，A.BE⋅BF=6

B.B1G⊥平面BEF12.在矩形ABCD中，AB=23，BA.当EA+EC=8时，四棱锥E−ABCD体积的最大值为8

B.当EA2+EC2=16时，四棱锥E−AB三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.空间直角坐标系中，两平面α与β分别以n1=(2,1,1)与n2=14.口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件A=“取出的两球同色”，B=“取出的2球中至少有一个黄球”，C=“取出的2球至少有一个白球”，D=“取出的两球不同色”，E=“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为______．

①A与D为对立事件；②B与C是互斥事件；③C与15.已知抛物线M：x2=8y，直线l：y=kx+2与抛物线交于A，D两点，与圆：N：x2+y2−416.在平面直角坐标系xOy中，A(−12,0)，B(0,6)，点P四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

为进一步增强疫情防控期间群众的防控意识，使广大群众充分了解新冠肺炎疫情防护知识，提高预防能力，做到科学防护，科学预防．某组织通过网络进行新冠肺炎疫情防控科普知识问答．共有100人参加了这次问答，将他们的成绩(满分100分)分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]这六组，制成如图所示的频率分布直方图．

18.(本小题12分)

已知双曲线C和椭圆x24+y21=1有公共的焦点，且离心率为3．

(Ⅰ)求双曲线C的方程．

(Ⅱ)经过点M(2,1)作直线l交双曲线19.(本小题12分)

如图：三棱柱ABC−A1B1C1中，CA=a,CB=b,CC1=c,C20.(本小题12分)

已知圆C的圆心在y轴上，点P是圆C的上任一点，且当点P的坐标为(−95,−75)时，P到直线3x+4y−24=0距离最大．

(1)求圆的方程；

21.(本小题12分)

如图，四棱台ABCD−A1B1C1D1中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，AB=2A1B1=4，E、F分别为DC、BC的中点，上下底面中心的连线O1O垂直于上下底面，且O1O与侧棱所在直线所成的角为45°．

(122.(本小题12分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，点A(−1,32)在椭圆C上，点P是y轴正半轴上的一点，过椭圆C的右焦点答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】本题考查随机模拟，随机事件发生的概率，属于基础题．

由随机模拟产生了30组随机数中，表示打3局比赛甲恰好获胜2局的有9组随机数，根据概率公式，得到结果．【解答】

解：由题意知模拟打3局比赛甲恰好获胜2局的结果，经随机模拟产生了30组随机数，

在30组随机数中表示打3局比赛甲恰好获胜2局的有：102，146，245，310，481，337，139，235，246，共9组随机数，

∴所求事件的概率为930=310．2.【答案】D

【解析】解：由x2+y2−8x+12=0，得(x−4)2+y2=4，

画出圆x2+y2=1与(x−4)2+y2=4的图象如图，

设圆P3.【答案】D

【解析】解：∵直线mx+y+1=0与直线2x+y−2=0互相垂直，

∴−4.【答案】B

【解析】解：设抛物线的方程为y2=2px(p>0)，

因为AB=6，MO=2，

所以点A(2,3)在抛物线上，

所以9=4p，故p=94，

所以抛物线的方程为y2=92x，

所以抛物线的焦点F的坐标为(98,0)，准线方程为x=−98，

在方程y2=92x中取x=155.【答案】A

【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．

方法一：根据题意画图，由图形的对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a的关系，可求双曲线的离心率．

方法二：由题意画出图形，先求出|PQ|，再由|【解答】

解：方法一：设PQ与x轴交于点A，由对称性可知PQ⊥x轴，

又∵|PQ|=|OF|=c，

∴|PA|=c2，

∴PA为以OF为直径的圆的半径，

∴A为圆心，|OA|=c2，

∴Pc2,c2，又P点在圆x2+y2=a2上，

∴c24+c24=a2，即c22=6.【答案】A

【解析】解：如图所示，

取AB的中点E，连接PE，CE，

∵△PAB，△ABC为等边三角形，

∴PE⊥AB，CE⊥AB，∵PE∩CE=E，

∴AB⊥面PEC，∵PC⊂面7.【答案】C

【解析】【分析】本题考查圆的方程，直线与圆的位置关系，属于较难题．

解题的关键是结合图形，利用几何知识，判断出PO【解答】

解：圆C外有一点P，圆上有一动点Q，∠OPQ在PQ与圆相切时取得最大值，

因为sin∠OPQ=QOPO，QO为定值，即半径，

PO变大，则sin∠OPQ变小，由于∠OPQ∈(0,π2)，

所以∠OPQ也随之变小，可以得知，

当∠OPQ=60°，且PQ与圆相切时，PO=2，

而当PO>2时，Q在圆上任意移动，∠OPQ8.【答案】B

【解析】解：设P为第一象限的交点，|PF1|=m、|PF2|=n，

则m+n=2a1、m−n=2a2，

解得m=a1+a2、n=a1−a2，

在△PF1F29.【答案】BD【解析】解：两组数据的平均数、众数均相差为c，故AC错误，

由D(X+b)=D(X)线性公式可知，方差不变，故B正确；

由极差的定义可知，极差不变，故10.【答案】BC【解析】解：因为△AF1B的周长为8，所以4a=8，得a=2，

因为y=x−3过F2，所以c=3，所以b2=a2−c=c2=4−3=1，所以椭圆的焦距为23，故A错误；

所以椭圆的方程为程为x24+y2=1，故B正确；11.【答案】AB【解析】解：建系如图，则根据题意可得：

B(0,0,0)，E(1,2,2)，F(0,2,1)，G(2,1,0)，B1(0,0,2)，

∴BE=(1,2,2)，BF=(0,2,1)，B1G=(2,1,−2)，EF=(−1,0,−1)，

12.【答案】AB【解析】解：在矩形ABCD中，AB=23，BC=2，E为平面ABCD外一点，

对于A，由EA+EC=8>AC=AB2+BC2=4，

则在平面ACE内，点E的轨迹为以A，C为焦点的椭圆上，

易知该椭圆的焦距AC=4=2c，EA+EC=2a=8，

则b=a2−c2=23，

由椭圆的性质，可知点E到AC的距离最大值为EF=23，

此时EF⊥AB且AF=BF，如图：

当EF为四棱锥E−ABCD的高时，四棱锥E−ABCD的体积可取得最大值，如图：

此时平面ABE⊥平面ABCD，则四棱锥E−ABCD的体积可取得最大值13⋅EF⋅AB⋅BC=13×23×23×2=8，故13.【答案】(1【解析】解：设直线l的一个方向向量为a=(x,y,z)，

由两平面α与β分别以n1=(2,1,1)与n2=(0,2,1)为其法向量，

可得a⋅n1=2x+y+14.【答案】①④【解析】解：口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，

事件A=“取出的两球同色”，B=“取出的2球中至少有一个黄球”，

C=“取出的2球至少有一个白球”，D=“取出的两球不同色”，E=“取出的2球中至多有一个白球”．

在①中，A与D为对立事件，故①正确；

在②中，B与C能同时发生，不是互斥事件，故②错误；

在③中，C与E能同时发生，不是对立事件，故③错误：

在④中，∵C∪E=Ω，∴P(C∪E)=1，故④正确；15.【答案】9+【解析】解：因为抛物线M的方程为x2=8y，

所以抛物线M的焦点为F(0,2)，准线y=−2，

则直线y=kx+2过抛物线的焦点F，

当k=0时，联立y=2与x2=8y可得，x=±4

所以|AF|=|DF|=4，则1|AF|+1|DF|=12；

当k≠0时，如图，

过A作AK⊥y轴于K，设抛物线的准线交y轴于E，

则|EK|=|EF|+|FK|=p+|16.【答案】[−【解析】【分析】本题主要考查圆与圆的位置关系的应用，及数形结合思想的运用，属于中档题．

利用平面向量数量积坐标运算，结合圆与圆位置关系数形结合可得．【解答】

解：设P(x,y)，由PA⋅PB⩽20，得(−12−x)(−联立方程组x解得x=1,y=7或x=−5,17.【答案】解：(1)由图可知，10×(2×0.005+a+0.02+0.025+0.03)=1，解得a=0.015．

这100人问答成绩的平均数约为45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72．

(2)用分层随机抽样的方法从问答成绩在[60,80)内的人中抽取一个容量为5的样本，

则问答成绩在[60,70)内的有22+3×5=2人，分别记为A，B；

问答成绩在【解析】(1)由频率之和为1即可求解a，由平均数的计算公式即可求解平均数，

(218.【答案】解：(Ⅰ)椭圆x24+y21=1焦点F1(−3,0)，F2(3,0)，

设双曲线C的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，

由题意可知，c=3a2+b2=c2e=ca=3，解得a2=【解析】(Ⅰ)根据已知条件，结合椭圆、双曲线的性质，即可求解；

(Ⅱ)根据已知条件，设出直线l的方程，再与双曲线的方程联立，再结合韦达定理，以及中点坐标公式，即可求解．

本题主要考查直线与圆锥曲线的综合，考查转化能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)A1N=A1A+AN=−AA1+12AB=−CC1+12(CB−CA)=−12a+12b−c，【解析】(1)先将A1N用a,b,c表示，再根据向量的模和数量积的运算律即可得解；

(2)先将20.【答案】解：(1)由题意，PC垂直直线3x+4y−24=0，设圆心C(0,a)，

当P的坐标为(−95,−75)时，kPC=a+7595=5a+79，

∴5a+79⋅(−34【解析】(1)当P到直线3x+4y−24=0距离最大时，PC与3x+4y−24=21.【答案】解：(1)证明：因为OO1⊥平面ABCD，

以点O为坐标原点，DA,OF,OO1的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

因为侧棱所在直线与上下底面中心的连线OO1所成的角为45°，

所以OO1=2，

则B(2,2,0)，D1(−1,−1,2)，C1(−1,1,2)，F(0,2,0