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文档简介
山东专卷博雅闻道2024届高三上数学期末复习检测试题请考生注意:1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知满足,则的取值范围为()A. B. C. D.2.若复数满足,则对应的点位于复平面的()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知函数满足=1,则等于()A.- B. C.- D.4.某几何体的三视图如图所示,其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形,则此几何体的体积是()A. B. C. D.5.已知,是双曲线的两个焦点,过点且垂直于轴的直线与相交于,两点,若,则△的内切圆的半径为()A. B. C. D.6.已知向量,,且与的夹角为,则()A. B.1 C.或1 D.或97.一个正三棱柱的正(主)视图如图,则该正三棱柱的侧面积是()A.16 B.12 C.8 D.68.在复平面内,复数对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()A. B. C. D.10.已知函数,下列结论不正确的是()A.的图像关于点中心对称 B.既是奇函数,又是周期函数C.的图像关于直线对称 D.的最大值是11.若为虚数单位,则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限12.某网店2019年全年的月收支数据如图所示,则针对2019年这一年的收支情况,下列说法中错误的是()A.月收入的极差为60 B.7月份的利润最大C.这12个月利润的中位数与众数均为30 D.这一年的总利润超过400万元二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.的展开式中,常数项为______;系数最大的项是______.14.若、满足约束条件,则的最小值为______.15.在的展开式中,的系数为________.16.若双曲线C:(,)的顶点到渐近线的距离为,则的最小值________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知都是大于零的实数.(1)证明;(2)若,证明.18.(12分)已知椭圆的左、右焦点分别为、,点在椭圆上,且.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)设直线与椭圆相交于、两点,与圆相交于、两点,求的取值范围.19.(12分)如图,四棱锥,侧面是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面是的菱形,为棱上的动点,且.(I)求证:为直角三角形;(II)试确定的值,使得二面角的平面角余弦值为.20.(12分)万众瞩目的第14届全国冬季运动运会(简称“十四冬”)于2020年2月16日在呼伦贝尔市盛大开幕,期间正值我市学校放寒假,寒假结束后,某校工会对全校100名教职工在“十四冬”期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查,得到如图频数分布直方图:(1)若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“冰雪迷”,否则定义为“非冰雪迷”,请根据频率分布直方图补全列联表;并判断能否有的把握认为该校教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有关;(2)在全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取6名,再从这6名“冰雪迷”中选取2名作冰雪运动知识讲座.记其中女职工的人数为,求的分布列与数学期望.附表及公式:0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828,21.(12分)在平面直角坐标系中,已知椭圆的中心为坐标原点焦点在轴上,右顶点到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为.(1)求椭圆的标准方程;(2)若是椭圆上关于轴对称的任意两点,设,连接交椭圆于另一点.求证:直线过定点并求出点的坐标;(3)在(2)的条件下,过点的直线交椭圆于两点,求的取值范围.22.(10分)在平面直角坐标系中,,,且满足(1)求点的轨迹的方程;(2)过,作直线交轨迹于,两点,若的面积是面积的2倍,求直线的方程.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
设,则的几何意义为点到点的斜率,利用数形结合即可得到结论.【详解】解:设,则的几何意义为点到点的斜率,作出不等式组对应的平面区域如图:由图可知当过点的直线平行于轴时,此时成立;取所有负值都成立;当过点时,取正值中的最小值,,此时;故的取值范围为;故选:C.【点睛】本题考查简单线性规划的非线性目标函数函数问题,解题时作出可行域,利用目标函数的几何意义求解是解题关键.对于直线斜率要注意斜率不存在的直线是否存在.2、D【解析】
利用复数模的计算、复数的除法化简复数,再根据复数的几何意义,即可得答案;【详解】,对应的点,对应的点位于复平面的第四象限.故选:D.【点睛】本题考查复数模的计算、复数的除法、复数的几何意义,考查运算求解能力,属于基础题.3、C【解析】
设的最小正周期为,可得,则,再根据得,又,则可求出,进而可得.【详解】解:设的最小正周期为,因为,所以,所以,所以,又,所以当时,,,因为,整理得,因为,,,则所以.故选:C.【点睛】本题考查三角形函数的周期性和对称性,考查学生分析能力和计算能力,是一道难度较大的题目.4、C【解析】由三视图可知,该几何体是下部是半径为2,高为1的圆柱的一半,上部为底面半径为2,高为2的圆锥的一半,所以,半圆柱的体积为,上部半圆锥的体积为,所以该几何体的体积为,故应选.5、B【解析】
设左焦点的坐标,由AB的弦长可得a的值,进而可得双曲线的方程,及左右焦点的坐标,进而求出三角形ABF2的面积,再由三角形被内切圆的圆心分割3个三角形的面积之和可得内切圆的半径.【详解】由双曲线的方程可设左焦点,由题意可得,由,可得,所以双曲线的方程为:所以,所以三角形ABF2的周长为设内切圆的半径为r,所以三角形的面积,所以,解得,故选:B【点睛】本题考查求双曲线的方程和双曲线的性质及三角形的面积的求法,内切圆的半径与三角形长周长的一半之积等于三角形的面积可得半径的应用,属于中档题.6、C【解析】
由题意利用两个向量的数量积的定义和公式,求的值.【详解】解:由题意可得,求得,或,故选:C.【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式,属于基础题.7、B【解析】
根据正三棱柱的主视图,以及长度,可知该几何体的底面正三角形的边长,然后根据矩形的面积公式,可得结果.【详解】由题可知:该几何体的底面正三角形的边长为2所以该正三棱柱的三个侧面均为边长为2的正方形,所以该正三棱柱的侧面积为故选:B【点睛】本题考查正三棱柱侧面积的计算以及三视图的认识,关键在于求得底面正三角形的边长,掌握一些常见的几何体的三视图,比如:三棱锥,圆锥,圆柱等,属基础题.8、B【解析】
化简复数为的形式,然后判断复数的对应点所在象限,即可求得答案.【详解】对应的点的坐标为在第二象限故选:B.【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的代数表示法及其几何意义,属于基础题.9、A【解析】
观察可知,这个几何体由两部分构成,:一个半圆柱体,底面圆的半径为1,高为2;一个半球体,半径为1,按公式计算可得体积。【详解】设半圆柱体体积为,半球体体积为,由题得几何体体积为,故选A。【点睛】本题通过三视图考察空间识图的能力,属于基础题。10、D【解析】
通过三角函数的对称性以及周期性,函数的最值判断选项的正误即可得到结果.【详解】解:,正确;,为奇函数,周期函数,正确;,正确;D:,令,则,,,,则时,或时,即在上单调递增,在和上单调递减;且,,,故D错误.故选:.【点睛】本题考查三角函数周期性和对称性的判断,利用导数判断函数最值,属于中档题.11、B【解析】
由共轭复数的定义得到,通过三角函数值的正负,以及复数的几何意义即得解【详解】由题意得,因为,,所以在复平面内对应的点位于第二象限.故选:B【点睛】本题考查了共轭复数的概念及复数的几何意义,考查了学生概念理解,数形结合,数学运算的能力,属于基础题.12、D【解析】
直接根据折线图依次判断每个选项得到答案.【详解】由图可知月收入的极差为,故选项A正确;1至12月份的利润分别为20,30,20,10,30,30,60,40,30,30,50,30,7月份的利润最高,故选项B正确;易求得总利润为380万元,众数为30,中位数为30,故选项C正确,选项D错误.故选:.【点睛】本题考查了折线图,意在考查学生的理解能力和应用能力.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
求出二项展开式的通项,令指数为零,求出参数的值,代入可得出展开式中的常数项;求出项的系数,利用作商法可求出系数最大的项.【详解】的展开式的通项为,令,得,所以,展开式中的常数项为;令,令,即,解得,,,因此,展开式中系数最大的项为.故答案为:;.【点睛】本题考查二项展开式中常数项的求解,同时也考查了系数最大项的求解,涉及展开式通项的应用,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.14、【解析】
作出不等式组所表示的可行域,利用平移直线的方法找出使得目标函数取得最小时对应的最优解,代入目标函数计算即可.【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示:联立,解得,即点,平移直线,当直线经过可行域的顶点时,该直线在轴上的截距最小,此时取最小值,即.故答案为:.【点睛】本题考查简单的线性规划问题,考查线性目标函数的最值问题,考查数形结合思想的应用,属于基础题.15、【解析】
根据二项展开式定理,求出含的系数和含的系数,相乘即可.【详解】的展开式中,所求项为:,的系数为.
故答案为:.【点睛】本题考查二项展开式定理的应用,属于基础题.16、【解析】
根据双曲线的方程求出其中一条渐近线,顶点,再利用点到直线的距离公式可得,由,利用基本不等式即可求解.【详解】由双曲线C:(,,可得一条渐近线,一个顶点,所以,解得,则,当且仅当时,取等号,所以的最小值为.故答案为:【点睛】本题考查了双曲线的几何性质、点到直线的距离公式、基本不等式求最值,注意验证等号成立的条件,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)答案见解析.(2)答案见解析【解析】
(1)利用基本不等式可得,两式相加即可求解.(2)由(1)知,代入不等式,利用基本不等式即可求解.【详解】(1)两式相加得(2)由(1)知于是,.【点睛】本题考查了基本不等式的应用,属于基础题.18、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)利用勾股定理结合条件求得和,利用椭圆的定义求得的值,进而可得出,则椭圆的标准方程可求;(Ⅱ)设点、,将直线的方程与椭圆的方程联立,利用韦达定理与弦长公式求出,利用几何法求得直线截圆所得弦长,可得出关于的函数表达式,利用不等式的性质可求得的取值范围.【详解】(Ⅰ)在椭圆上,,,,,,,又,,,,椭圆的标准方程为;(Ⅱ)设点、,联立消去,得,,则,,设圆的圆心到直线的距离为,则.,,,,的取值范围为.【点睛】本题考查椭圆方程的求解,同时也考查了椭圆中弦长之积的取值范围的求解,涉及韦达定理与弦长公式的应用,考查计算能力,属于中等题.19、(1)见解析;(II).【解析】
试题分析:(1)取中点,连结,以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能证明为直角三角形;(2)设,由,得,求出平面的法向量和平面的法向量,,根据空间向量夹角余弦公式能求出结果.试题解析:(I)取中点,连结,依题意可知均为正三角形,所以,又平面平面,所以平面,又平面,所以,因为,所以,即,从而为直角三角形.(II)法一:由(I)可知,又平面平面,平面平面,平面,所以平面.以为原点,建立空间直角坐标系如图所示,则,由可得点的坐标所以,设平面的法向量为,则,即解得,令,得,显然平面的一个法向量为,依题意,解得或(舍去),所以,当时,二面角的余弦值为.法二:由(I)可知平面,所以,所以为二面角的平面角,即,在中,,所以,由正弦定理可得,即解得,又,所以,所以,当时,二面角的余弦值为.20、(1)列联表见解析,有把握;(2)分布列见解析,.【解析】
(1)根据频率分布直方图补全列联表,求出,从而有的把握认为该校教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有关.(2)在全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取6名,则抽中男教工:人,抽中女教工:人,从这6名“冰雪迷”中选取2名作冰雪运动知识讲座.记其中女职工的人数为,则的可能取值为0,1,2,分别求出相应的概率,由此能求出的分布列和数学期望.【详解】解:(1)由题意得下表:男女合计冰雪迷402060非冰雪迷202040合计6040100的观测值为所以有的把握认为该校教职工是“冰雪迷”与“性别”有关.(2)由题意知抽取的6名“冰雪迷”中有4名男职工,2名女职工,所以的可能取值为0,1,2.且,,,所以的分布列为012【点睛】本题考查独立性检验的应用,考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法,考查古典概型、排列组合、频率分布直方图的性质等基础知识,考查运算求解能力,属于中档题.21、(1);(2)证明详见解析,;(3).【解析】
(1)根据题意列出关于的等式求解即可.(2)先根据对称性,直线过的
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