吉林省长春市新区2023--2024学年九年级上学期期末数学试卷+

吉林省长春市新区2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷（解析版）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）若使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥2 B．x＞2 C．x＜2 D．x≤22．（3分）用配方法解方程x2﹣6x+7＝0，配方后的方程是（）A．（x+3）2＝7 B．（x﹣3）2＝7 C．（x﹣3）2＝2 D．（x+3）2＝23．（3分）如图，直线a∥b∥c，直线m、n分别与直线a、b、c相交于点A、B、C和点D、E、F，若AB＝2，BC＝3，DE＝3，则EF＝（）A． B． C．4 D．4．（3分）如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A的仰角为37°，同时测得BC＝20米，则树的高AB（单位：米）为（）A．20tan37° B． C． D．20sin37°5．（3分）a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式2021﹣2a2﹣2a的值是（）A．2019 B．2021 C．2022 D．20236．（3分）已知点（﹣4，y1）、（﹣1，y2）、（2，y3）都在函数y＝﹣x2+5的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y27．（3分）在△ACB中，∠ABC＝90°，用直尺和圆规在AC上确定点D，使△BAD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（）A． B． C． D．8．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE＝2：3，连结AE，BD交于点F，若△DEF的面积为4，则四边形CEFB的面积等于（）A．50 B．35 C．31 D．20二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，若DF：AC＝1：3，则OE：OB＝．10．（3分）如果关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个同号实数根，则m的取值范围是．11．（3分）将抛物线y＝﹣x2向右平移2个单位所得函数解析式为．12．（3分）二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象如图所示，则函数值y≥0时，x的取值范围是．13．（3分）拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1：，坝高BC＝10m，则坡面AB的长度是m．14．（3分）如图，同学们在操场上玩跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，摇绳的甲、乙两名同学拿绳的手的间距为6米，到地面的距离AO与BD均为0.9米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为1.8米．身高为1.4米的小吉站在距点O水平距离为m米处，若他能够正常跳大绳（绳子甩到最高时超过他的头顶），则m的取值范围是．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）计算：2cos30°﹣tan60°+sin45°cos45°．16．（6分）2023年第19届亚运会在杭州举办．小蔡作为亚运会的志愿者“小青荷”为大家提供咨询服务．现有如图所示“杭州亚运会吉祥物”的三盒盲盒供小蔡选择，分别记为A，B，C．小蔡从中随机抽取两盒．请用列表或画树状图的方法，求小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是A和C的概率．17．（6分）每当秋冬季节交替的时间，感冒药品的销量就会大幅增长，药店利润也有所提高，某药店九月份的销售利润是5000元，而十一月份的销售利润为11250元，求该药店利润平均每月的增长率．18．（7分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高．（1）证明：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝6，BC＝10，求BD的长．19．（7分）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．（1）在图①中，画出△ABC中BC边上的中线AD．（2）在图②中，在AC边上找到一点E，连结BE，使S△ABE：S△BCE＝2：3．（3）在图③中，在AB边上找到一点F，连结CF，使tan∠ACF＝．20．（7分）下表是某厂质检部门对该厂生产的一批排球质量检测的情况．抽取的排球数描取格品数5001000150020003000合格品数4719461425b2853合格品频率a0.9460.9500.9490.951（1）求出表中a＝，b＝．（2）从这批排球中任意抽取一个，是合格品的概率约是．（精确到0.01）（3）如果生产25000个排球，那么估计该厂生产的排球合格的有多少个？21．（8分）已知，抛物线y＝x2+2x﹣3与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．（1）直接写出A、B、C三点的坐标；（2）当﹣3≤x≤2时，求y的最大值与最小值之差．22．（9分）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，根据画出的图形，可以猜想：DE∥BC，且DE＝BC．对此，我们可以用演绎推理给出证明．（无需证明）【感知】如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，AD、CE是Rt△ABC的中线，M、N分别是AD和CE的中点，求MN的长；【应用】如图②，在Rt△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，将△ADE绕点A逆时针旋转一定的角度α（0°＜α＜∠BAC），连接BD、CE，若，则＝；【拓展】如图③，在等边△ABC中，D是射线BC上一动点（点D在点C右侧），连接AD，把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，连接BE，F是BE中点，连接DF、CF，若AB＝8，，则CF＝．23．（10分）如图，在▱ABCD中，AD＝10，AB＝8，BD⊥AB．点P从点A出发，沿折线AB﹣BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动（点P不与点A、B、C重合）．在点P的运动过程中，过点P作AB所在直线的垂线，交边AD或边CD于点Q，以PQ为一边作矩形PQMN，且QM＝4，MN与BD在PQ的同侧．设点P的运动时间为t（秒）．（1）tanA的值为．（2）直接写出线段BP的长．（用含t的代数式表示）（3）当△BDQ的面积等于6时，求t的值．（4）连接BQ，当BQ将矩形PQMN分成的两部分的面积比为1：7时，直接写出t的值．24．（12分）如图①，在平面直角坐标系内，抛物线与x轴交于O、B两点，与直线交于O、C两点，且抛物线的顶点A的坐标为（4，4）．（1）直接写出点B的坐标；△AOB的形状为：；（2）求抛物线的解析式；（3）如图②，点T（t，0）是线段OB上的一个动点，过点T作y轴的平行线交直线于点D，交抛物线于点E，以DE为一边，在DE的右侧作矩形DEFG，且DG＝2．①当矩形DEFG的面积随着t的增大而增大时，求t的取值范围；②当矩形DEFG与△AOB有重叠且重叠部分为轴对称图形时，直接写出t的取值范围．

参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）若使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥2 B．x＞2 C．x＜2 D．x≤2【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，∴x﹣2≥0，解得x≥2．故选：A．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．2．（3分）用配方法解方程x2﹣6x+7＝0，配方后的方程是（）A．（x+3）2＝7 B．（x﹣3）2＝7 C．（x﹣3）2＝2 D．（x+3）2＝2【分析】移项后两边都加上一次项系数一半的平方即可．【解答】解：∵x2﹣6x+7＝0，∴x2﹣6x＝﹣7，则x2﹣6x+9＝﹣7+9，即（x﹣3）2＝2，故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．3．（3分）如图，直线a∥b∥c，直线m、n分别与直线a、b、c相交于点A、B、C和点D、E、F，若AB＝2，BC＝3，DE＝3，则EF＝（）A． B． C．4 D．【分析】由平行线分线段成比例定理得到AB：BC＝DE：EF，代入有关数据即可求出FE的长．【解答】解：∵a∥b∥c，∴AB：BC＝DE：EF，∵AB＝2，BC＝3，DE＝3，∴2：3＝3：EF，∴EF＝．故选：D．【点评】本题考查平行线分线段成比例，关键是由平行线分线段成比例得到AB：BC＝DE：EF．4．（3分）如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A的仰角为37°，同时测得BC＝20米，则树的高AB（单位：米）为（）A．20tan37° B． C． D．20sin37°【分析】通过解直角△ABC可以求得AB的长度．【解答】解：如图，在直角△ABC中，∠B＝90°，∠C＝37°，BC＝20m，∴tanC＝，则AB＝BC•tanC＝20tan37°．故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．5．（3分）a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式2021﹣2a2﹣2a的值是（）A．2019 B．2021 C．2022 D．2023【分析】先根据一元二次方程的定义得到a2+a﹣1＝0，再把2021﹣2a2﹣2a＝2021﹣2（a2+a），然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵a是方程x2+x+1＝0的一个根，∴a2+a﹣1＝0，∴a2+a＝1，∴2021﹣2a2﹣2a＝2021﹣2（a2+a）＝2021﹣2×1＝2019．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．6．（3分）已知点（﹣4，y1）、（﹣1，y2）、（2，y3）都在函数y＝﹣x2+5的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2【分析】根据函数的解析式求出函数图象的对称轴是y轴，根据函数的性质得出图象的开口向下，当x＜0时，y随x的增大而增大，根据二次函数的对称性和增减性即可得到．【解答】解：∵y＝﹣x2+5，∴函数图象的对称轴是y轴，图象的开口向下，∴当x＜0时，y随x的增大而增大，∵点（2，y3）关于对称轴的对称点的坐标是（﹣2，y3），且﹣4＜﹣2＜﹣1，∴y2＞y3＞y1，故选：C．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，解题的关键是能熟记二次函数的性质．7．（3分）在△ACB中，∠ABC＝90°，用直尺和圆规在AC上确定点D，使△BAD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（）A． B． C． D．【分析】若△BAD∽△CBD，可得∠ADB＝∠BDC＝90°，即BD是AC的垂线，根据作图痕迹判断即可．【解答】解：当BD是AC的垂线时，△BAD∽△CBD．∵BD⊥AC，∴∠ADB＝∠CDB＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠A+∠ABD＝∠ABD+∠CBD＝90°，∴∠A＝∠CBD，∴△BAD∽△CBD．根据作图痕迹可知，A选项中，BD是∠ABC的平分线，不与AC垂直，不符合题意；B选项中，BD是AC边上的中线，不与AC垂直，不符合题意；C选项中，BD是AC的垂线，符合题意；D选项中，AB＝AD，BD不与AC垂直，不符合题意．故选：C．【点评】本题考查尺规作图、相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解答本题的关键．8．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE＝2：3，连结AE，BD交于点F，若△DEF的面积为4，则四边形CEFB的面积等于（）A．50 B．35 C．31 D．20【分析】根据平行四边形性质，得到AB＝CD，AB∥CD，再根据DE：EC＝2：3从而得到DE：AB＝2：5，证明△DEF∽△BAF，得到＝，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得到S△BAF＝25，然后根据△DEF和△ADF的高相等，得到S△ADF＝10，从而求出S△BCD＝S△ABD＝35，即可求出四边形EFBC的面积．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，CD＝AB．∴△DFE∽△BFA，∴S△DEF：S△BAF＝DE2：AB2，，∵DE：EC＝2：3，∴DE：DC＝DE：AB＝2：5，∴S△DEF：S△ABF＝4：25，∵△DEF的面积为4，∴S△ABF＝25，∵△DEF和△ADF的高相等，且，∴S△ADF＝S△DEF＝×4＝10，∴S△ABD＝S△BAF+S△ADF＝25+10＝35，∴S△BCD＝35，∴四边形EFBC的面积＝S△BCD﹣S△DEF＝35﹣4＝31，故选：C．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，若DF：AC＝1：3，则OE：OB＝1：3．【分析】利用位似变换的性质解决问题即可．【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，若DF：AC＝1：3，∴△ABC∽△DEF，EF∥BC，∴EF：BC＝DF：AC＝1：3，∴OE：OB＝EF：BC＝1：3，故答案为：1：3．【点评】本题考查位似变换，解题的关键是理解位似变换的性质，灵活运用所学知识解决问题．10．（3分）如果关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个同号实数根，则m的取值范围是0＜m≤1．【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝22﹣4m≥0，解得m≤1，设方程两根分别为x1，x2，由于x1+x2＝﹣2＜0，而方程有两个同号实数根，所以x1x2＝m＞0，于是可得到m的取值范围．【解答】解：根据题意得Δ＝22﹣4m≥0，解得m≤1，设方程两根分别为x1，x2，而x1+x2＝﹣2＜0，则x1x2＝m＞0，所以m的取值范围为0＜m≤1．故答案为0＜m≤1．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝．也考查了根的判别式．11．（3分）将抛物线y＝﹣x2向右平移2个单位所得函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2．【分析】根据二次函数的平移规律“左加右减”即可得出答案．【解答】解：将抛物线y＝﹣x2向右平移2个单位所得函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2．故答案为：y＝﹣（x﹣2）2．【点评】本题考查了二次函数的平移，熟练掌握二次函数的平移规律是解本题的关键．12．（3分）二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象如图所示，则函数值y≥0时，x的取值范围是x≤﹣1或x≥2．【分析】根据函数图象求出与x轴的交点坐标，再由图象得出答案．【解答】解：由x2﹣x﹣2＝0可得，x1＝﹣1，x2＝2，观察函数图象可知，当x≤﹣1或x≥2时，函数值y≥0．故答案为：x≤﹣1或x≥2．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，正确利用数形结合进行解答是解题关键．13．（3分）拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1：，坝高BC＝10m，则坡面AB的长度是20m．【分析】利用坡比的定义得出AC的长，进而利用勾股定理求出AB的长．【解答】解：∵迎水坡AB的坡比是1：，坝高BC＝10m，∴＝＝，解得：AC＝10，则AB＝＝20（m）．故答案为：20．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确利用坡比的定义求出AC的长是解题关键．14．（3分）如图，同学们在操场上玩跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，摇绳的甲、乙两名同学拿绳的手的间距为6米，到地面的距离AO与BD均为0.9米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为1.8米．身高为1.4米的小吉站在距点O水平距离为m米处，若他能够正常跳大绳（绳子甩到最高时超过他的头顶），则m的取值范围是1＜m＜5．【分析】以AO所在直线为y轴，以地面所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，选定抛物线上两点C（3，1.8），A（0，0.9）解答即可．【解答】解：如图，由题意可知C（3，1.8），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+1.8，把A（0，0.9）代入y＝a（x﹣3）2+1.8，得a＝﹣0.1，∴所求的抛物线的解析式是y＝﹣0.1（x﹣3）2+1.8，当y＝1.4时，﹣0.1（x﹣3）2+1.8＝1.4，解得x1＝1，x2＝5，∴则m的取值范围是1＜m＜5．故答案为：1＜m＜5．【点评】本题考查了二次函数的应用及坐标的求法，此题为数学建模题，解答本题的关键是注意审题，将实际问题转化为求函数最值问题，培养自己利用数学知识解答实际问题的能力．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）计算：2cos30°﹣tan60°+sin45°cos45°．【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可．【解答】解：2cos30°﹣tan60°+sin45°cos45°＝2×﹣+×＝﹣+＝．【点评】本题考查的是特殊角是三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．16．（6分）2023年第19届亚运会在杭州举办．小蔡作为亚运会的志愿者“小青荷”为大家提供咨询服务．现有如图所示“杭州亚运会吉祥物”的三盒盲盒供小蔡选择，分别记为A，B，C．小蔡从中随机抽取两盒．请用列表或画树状图的方法，求小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是A和C的概率．【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是A和C的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是A和C的结果有2种，∴小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是A和C的概率为＝．【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．17．（6分）每当秋冬季节交替的时间，感冒药品的销量就会大幅增长，药店利润也有所提高，某药店九月份的销售利润是5000元，而十一月份的销售利润为11250元，求该药店利润平均每月的增长率．【分析】设该药店利润平均每月的增长率为x，根据某药店九月份的销售利润是5000元，而十一月份的销售利润为11250元，列出一元二次方程，解之取其正值即可．【解答】解：设该药店利润平均每月的增长率为x，依题意得：5000（1+x）2＝11250，整理得：（1+x）2＝2.25，解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合题意，舍去）．答：该药店利润平均每月的增长率为50%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．18．（7分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高．（1）证明：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝6，BC＝10，求BD的长．【分析】（1）根据已知条件得出∠BDA＝∠BAC，又∠B为公共角，于是得出△ABD∽△CBA；（2）根据相似三角形的性质即可求出BD的长．【解答】（1）证明：∵AD是斜边BC上的高，∴∠BDA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BDA＝∠BAC，又∵∠B为公共角，∴△ABD∽△CBA；（2）解：由（1）知△ABD∽△CBA，∴，∴，∴BD＝3.6．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟知有两个角相等的两个三角形相似是解题的关键．19．（7分）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．（1）在图①中，画出△ABC中BC边上的中线AD．（2）在图②中，在AC边上找到一点E，连结BE，使S△ABE：S△BCE＝2：3．（3）在图③中，在AB边上找到一点F，连结CF，使tan∠ACF＝．【分析】（1）取BC的中点D，连接AD即可．（2）取格点M，N，使AM＝2，CN＝3，AM∥CN，连接MN交AC于点E，则点E即为所求．（3）取格点G，使AC＝AG，AC⊥AG，取AG与网格线的交点H，连接CH交AB于点F，则点F即为所求．【解答】解：（1）如图①，AD即为所求．（2）如图②，取格点M，N，使AM＝2，CN＝3，AM∥CN，连接MN交AC于点E，连接BE，则△AEM∽△CEN，∴，∴S△ABE：S△BCE＝2：3，则点E即为所求．（3）如图③，取格点G，使AC＝AG，AC⊥AG，取AG与网格线的交点H，则，即，连接CH交AB于点F，∴tan∠ACF＝，则点F即为所求．【点评】本题考查作图—应用与设计作图、三角形的中线、解直角三角形等知识，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．20．（7分）下表是某厂质检部门对该厂生产的一批排球质量检测的情况．抽取的排球数描取格品数5001000150020003000合格品数4719461425b2853合格品频率a0.9460.9500.9490.951（1）求出表中a＝0.942，b＝1898．（2）从这批排球中任意抽取一个，是合格品的概率约是0.95．（精确到0.01）（3）如果生产25000个排球，那么估计该厂生产的排球合格的有多少个？【分析】（1）根据表中数据计算即可；（2）利用频数估算出概率即可；（3）根据概率计算即可．【解答】解：（1）471÷500＝0.942，2000×0.949＝1898．故答案为：0.942，1898；（2）由题意知，从这批排球中任意抽取一个是合格品的概率估计值是0.95；故答案为：0.95；（3）25000×0.95＝23750（个）．答：估计该厂生产的排球合格的有23750个．【点评】本题考查的是利用频率估计概率，熟知当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率是解题的关键．21．（8分）已知，抛物线y＝x2+2x﹣3与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．（1）直接写出A、B、C三点的坐标；（2）当﹣3≤x≤2时，求y的最大值与最小值之差．【分析】（1）令x＝0，y＝0列式求解即可得到答案；（2）得到的解析式顶点式后，结合﹣3≤x≤2，可得当x＝﹣1时y有最小值，当x＝2时y有最大值，再计算可以得解．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣3，∴C（0，﹣3），当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，∴A（﹣3，0），B（1，0）；（2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，开口向上，∴在﹣3≤x≤2范围当x＝﹣1时，y最小值＝﹣4；当x＝2时，y最大值＝5，∴y的最大值与最小值之差为9．【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，解题时需要熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．22．（9分）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，根据画出的图形，可以猜想：DE∥BC，且DE＝BC．对此，我们可以用演绎推理给出证明．（无需证明）【感知】如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，AD、CE是Rt△ABC的中线，M、N分别是AD和CE的中点，求MN的长；【应用】如图②，在Rt△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，将△ADE绕点A逆时针旋转一定的角度α（0°＜α＜∠BAC），连接BD、CE，若，则＝；【拓展】如图③，在等边△ABC中，D是射线BC上一动点（点D在点C右侧），连接AD，把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，连接BE，F是BE中点，连接DF、CF，若AB＝8，，则CF＝4或2．【分析】【感知】设AC、CE交于点G，连接DE，由∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，求得AC＝＝4，因为AD、CE是Rt△ABC的中线，所以DE∥AC，DE＝AC＝2，所以△DGE∽△AGC，则＝＝＝，所以DG＝AD，EG＝CE，而DM＝AD，EN＝CE，可证明＝＝，则△MGN∽△DGE，所以＝＝，可求得MN＝DE＝；【应用】由＝，得BC＝2AB，则AC＝＝AB，由＝＝，得＝，而∠BAD＝∠CAE＝α，所以△ABD∽△ACE，则＝＝，于是得到问题的答案；【拓展】分两种情况讨论，一是CF∥DE，则＝＝1，所以CD＝BC＝8，则CF＝CD＝4；二是CF与DE不平行，作GE∥CF交BD的延长线于点G，因为＝＝1，所以CG＝BC＝8，则CF＝GE，由旋转得DE＝CD，∠CDE＝120°，则CF＝CD＝DE，∠EDG＝60°，所以GE＝DE，则△DEG是等边三角形，所以GE＝GD＝DE＝CD＝CG＝4，则CF＝GE＝2，于是得到问题的答案．【解答】解：【感知】如图①，设AC、CE交于点G，连接DE，∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，∴AC＝＝＝4，∵AD、CE是Rt△ABC的中线，∴D、E分别为CB、AB的中点，∴DE∥AC，DE＝AC＝2，∴△DGE∽△AGC，∴＝＝＝，∴DG＝AD，EG＝CE，∵M、N分别是AD和CE的中点，∴DM＝AD，EN＝CE，∴MG＝AD﹣AD＝AD，NG＝CE﹣CE＝CE，∴＝＝，＝＝，∵＝，∠MGN＝∠DGE，∴△MGN∽△DGE，∴＝＝，∴MN＝DE＝，∴MN的长是．【应用】如图②，∵＝，∴BC＝2AB，∵∠ABC＝90°，∴AC＝＝＝AB，∴＝，∵AD＝AB，AE＝AC，∴＝＝，∴＝，由旋转得∠BAD＝∠CAE＝α，∴△ABD∽△ACE，∴＝＝，故答案为：.【拓展】如图③，CF∥DE，∵△ABC是等边三角形，AB＝8，∴BC＝AB＝8，∵F是BE中点，∴FE＝BF，∴＝＝1，∴CD＝BC＝8，∴CF＝CD＝4；如图④，CF与DE不平行，作GE∥CF交BD的延长线于点G，∵＝＝1，∴CG＝BC＝8，∴CF＝GE，由旋转得DE＝CD，∠CDE＝120°，∴CF＝CD＝DE，∠EDG＝180°﹣∠CDE＝60°，∴GE＝DE，∴GE＝DE，∴△DEG是等边三角形，∴GE＝GD＝DE＝CD＝CG＝4，∴CF＝GE＝2，综上所述，CF＝4或CF＝2，故答案为：4或2．【点评】此题重点考查三角形的中位线定理、相似三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理、等边三角形的判定与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．23．（10分）如图，在▱ABCD中，AD＝10，AB＝8，BD⊥AB．点P从点A出发，沿折线AB﹣BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动（点P不与点A、B、C重合）．在点P的运动过程中，过点P作AB所在直线的垂线，交边AD或边CD于点Q，以PQ为一边作矩形PQMN，且QM＝4，MN与BD在PQ的同侧．设点P的运动时间为t（秒）．（1）tanA的值为．（2）直接写出线段BP的长．（用含t的代数式表示）（3）当△BDQ的面积等于6时，求t的值．（4）连接BQ，当BQ将矩形PQMN分成的两部分的面积比为1：7时，直接写出t的值．【分析】（1）在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出BD的长，再利用正切的定义可求解．（2）分两种情形求解即可①当点P在AB边上时，0＜t＜4，当点P在BC边上时，4＜t＜9；（3）分两种情形：当点P在AB边上时，0＜t＜4，当点P在BC边上时，4＜t＜9，根据三角形的面积建立方程求解即可得出答案；（4）分四种情形分别求解即可，当0＜t≤2时，当2＜t＜4时，当4＜t≤6时，当6＜t＜9时．【解答】解：（1）在Rt△ABD中，AD＝10，AB＝8，BD⊥AB，∴BD＝＝＝6，∴tanA＝＝＝，故答案为：．（2）当点P在AB边上时，0＜t＜4，则AP＝2t，∴BP＝AB﹣AP＝8﹣2t；当点P在BC边上时，4＜t＜9，则BP＝2t﹣8；综上所述，BP＝．（3）∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝10，CD＝AB＝8，当点P在AB边上时，0＜t＜4，则AP＝2t，如图1，∴BP＝8﹣2t，∴S△BDQ＝BD•BP＝×6（8﹣2t）＝24﹣6t，由题意得24﹣6t＝6，解得：t＝3；当点P在BC边上时，4＜t＜9，如图2，BP＝2t﹣8，∴CP＝BC﹣BP＝10﹣（2t﹣8）＝18﹣2t，∵PQ∥BD，∴＝，即＝，∴DQ＝（2t﹣8）＝t﹣，∴S△BDQ＝BD•DQ＝×6（t﹣）＝t﹣，由题意得t﹣＝6，解得：t＝；综上所述，当△BDQ的面积等于6时，t的值为3或．（4）当点P在AB边上时，0＜t＜4，则AP＝2t，BP＝8﹣2t，令8﹣2t＝4，解得：t＝2，∵PQ∥BD，∴△APQ∽△ABD，∴＝，即＝，∴PQ＝t，当0＜t≤2时，如图3，设BQ交MN于K，∵四边形PQMN是矩形，∴MN∥PQ，MN＝PQ＝t，∴△BKN∽△BQP，∴＝，即＝，∴KN＝，∴MK＝MN﹣KN＝t﹣＝，由题意得：＝，∴S矩形PQMN＝8S△MQK，即4×t＝8××4×，解得：t＝﹣4（不符合题意，舍去）；当2＜t＜4时，如图4，BP＝8﹣2t，由题意得：＝，∴S矩形PQMN＝8S△BPQ，即4×t＝8××t（8﹣2t），解得：t1＝0（不符合题意，舍去），t2＝；当点P在BC边上时，4＜t＜9，则BP＝2t﹣8，如图5，当4＜t≤6时，设BQ交PN于K，则BP＝2t﹣8，DQ＝t﹣，∴CQ＝8﹣（t﹣）＝﹣t+，∵PQ∥BD，∴△CPQ∽△CBD，∴＝，即＝，∴PQ＝，∵PK∥CQ，∴△BPK∽△BCQ，∴＝，∴PK＝×CQ＝×（﹣t+）＝，由题意得：＝，∴S矩形PQMN＝8S△PQK，∴×4＝8×××，解得：t1＝，t2＝（舍去）；当6＜t＜9时，如图6，不符合BQ将矩形PQMN分成的两部分的面积比为1：7，故此种情况不存在；综上所述，t的值为或．【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用平行线分线段成比例定理，构建方程解决问题，属于中考压轴题．24．（12分）如图①，在平面直角坐标系内，抛物线与x轴交于O、B两点，与直线交于O、C两点，且抛物线的顶点A的坐标为（4，4）．（1）直接写出点B的坐标（8，0）；△AOB的形状为：等腰直角三角形；（2）求抛物线的解析式；（3）如图②，点T（t，0）是线段OB上的一个动点，过点T作y轴的平行线交直线于点D，交抛物线于点E，以DE为一边，在DE的右侧作矩形DEFG，且DG＝2．①当矩形DEFG的面积随着t的增大而增大时，求t的取值范围；②当矩形DEFG与△AOB有重叠且重叠部分为轴对称图形时，直接写出t的取值范围．【分析】（1）过点A作AH⊥BO于点H，利用点的坐标的特征，轴对称的性质