新教材适用2023-2024学年高中数学第6章平面向量及其应用6.1平面向量的概念课件新人教A版必修第二册

第六章

平面向量及其应用6.1平面向量的概念必备知识•探新知关键能力•攻重难课堂检测•固双基素养目标•定方向素养目标•定方向1．通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义．2．理解平面向量的几何表示和基本要素．从力、速度、位移等实际情景入手，经历从具体到抽象的知识发展过程，发展学生的数学抽象素养及直观想象素养.必备知识•探新知

向量的基本概念与表示

知识点

11．向量的概念(1)向量：既有_______又有_______的量叫做向量．(2)数量：只有大小没有_______的量称为数量．2．有向线段(1)有向线段：具有_______的线段叫做有向线段．(2)表示方法：以A为起点，B为终点的有向线段记作______.(4)有向线段的三要素：_______、_______、_______.大小方向方向方向起点方向长度有向线段大小方向想一想：(1)向量与数量有什么区别？(2)向量与矢量有什么区别？提示：(1)数量只有大小没有方向，可以比较大小，如长度、质量、面积等．向量既有大小又有方向，因为方向不能比较大小，所以向量不能比较大小．(2)数学中的向量是从物理中的矢量(如位移、力、速度等)抽象出来的，但在这果我们仅考虑它的大小和方向；而物理中的这些量，既同时具备大小和方向这两个属性，又具备其他属性(如“力”是由大小、方向、作用点共同决定的)．练一练：1．下列量不是向量的是(

)A．力

B．速度C．质量

D．加速度2．已知向量a如图所示，下列说法不正确的是(

)B．方向是由M指向NC．起点是MD．终点是MCD向量的几个相关概念

知识点

201个单位长度相同相反共线相等相同[拓展]

1.向量中的平行与平面几何中的平行的区别向量中的“平行”“共线”是同一个概念，平行(共线)向量所在的直线可以平行，也可以重合，而平面几何中的平行不包括重合的情形．2．对相等向量、共线向量的理解(1)两定义中要素不同，共线向量只对“方向”有要求，而相等向量对“方向”“模”均有要求，因此共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量．两个非零共线向量包括四种情况：①方向相同且模相等；②方向相同但模不相等；③方向相反但模相等；④方向相反且模不相等．(2)①相等向量可以通过平移重合在一起，当两个向量的起点重合时，终点一定重合．②向量相等具有传递性，即a＝b，b＝c，则a＝c.而向量平行不具有传递性，若a∥b，b∥c，未必有a∥c.因为零向量平行于任意向量，当b＝0时，a，c可以是任意向量，但若b≠0，则必有a∥b，b∥c⇒a∥c.练一练：1．下列关于向量的说法中，正确的是(

)A．长度相等的两向量必相等B．两向量相等，其长度不一定相等C．向量的大小与有向线段的起点无关D．向量的大小与有向线段的起点有关2．下列说法正确的是(

)A．若|a|>|b|，则a>b B．若|a|＝|b|，则a＝bC．若a＝b，则a∥b D．若a≠b，则a，b不是共线向量CC关键能力•攻重难

给出下列命题：①0和0表示的含义相同；②两个向量，当且仅当它们的起点相同，终点相同时才相等；③若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上；其中所有正确命题的序号为_______.题|型|探|究题型一向量的有关概念典例1③④[分析]

利用向量定义、相等向量、单位向量的定义进行判断．[解析]

0表示数字，而0有方向，故①不正确．两个向量相等只要模相等且方向相同即可，而与起点和终点的位置无关，故②不正确．单位向量的长度为1，当所有单位向量的起点在同一点O时，终点都在以O为圆心，1为半径的圆上，故③正确．④显然正确，故所有正确命题的序号为③④.[归纳提升]

解决与向量概念有关问题的关键是突出向量的核心——方向和长度．如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任一向量共线．只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题．

下列说法中正确的是(

)A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小C．向量的大小与方向有关D．向量的模可以比较大小[解析]

不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A、B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小，故D正确.对点练习❶D题型二共线向量与相等向量问题

(多选题)(2023·山东省威海市期中)下列结论错误的是(

)A．若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－bB．若向量a与任一向量b平行，则a＝0C．起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量典例2AD[解析]

|a|＝|b|仅说明a与b的模相等，不能说明它们方向的关系，A错误；只有0与任一向量平行，B正确；相等向量的两个要素是大小相等、方向相同，与起点无关，C正确；[归纳提升]

共线向量的核心是方向相同或相反，大小没有限制；相等向量的核心是方向相同且大小相等；单位向量的核心是方向没有限制，但模等于1；零向量的核心是方向没有限制，模是0.

如图所示，△ABC中，三边长均不相等，E、F、D分别是AC，AB，BC的中点．对点练习❷[解析]

(1)∵E，F分别是AC，AB的中点，∴EF∥BC，题型三向量的几何表示及应用

在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量：典例3[归纳提升]

(1)准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的大小确定向量的终点．(2)注意事项：书写有向线段时，要注意起点和终点的不同；在书写字母表示时不要忘了字母上的箭头．对点练习❸易|错|警|示混淆向量的有关概念

给出下列四个命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若a＝b，b＝c，则a＝c；③若a∥b，则|a|＝|b|；④若a∥b，b∥c，则a∥c.其中，正确的命题有(

)A．0个 B．1个C．2个

D．3个典例4B[错解]

D[错因分析]

对向量的有关概念的理解错误，将向量的模与实数的绝对值混淆．[正解]

①忽略了0与0的区别，a＝0；②由相等向量的定义可知②正确；③两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等；④当b＝0时，a、c可以为任意向量，故a不一定平行于c.[误区警示]

明确向量及其相关概念的联系与区别：(1)区分向量与数量：向量既强调大小，又强调方向，而数量只与大小有关．(2)零向量和单位向量都是通过模的大小来确定的．零向量的方向是任意的．(3)平行向量也叫共线向量，当两共线向量的方向相同且模相等时，两向量为相等向量．

下列说法正确的是(

)A．平行向量就是向量所在直线平行的向量B．长度相等的向量叫相等向量C．零向量的长度为0D．共线向量是在一条直线上的向量[解析]

平行向量所在直线可以平行也可以重合，故A错；长度相等，方向不同的向量不是相等向量，故B错；共线向量即平行向量，不一定在同一条直线上，故D错．故选C．对点练习❹C课堂检测•固双基1．下列说法中，正确的个数是(

)①零向量是没有方向的；②向量的模是一个正实数；③相等向量一定是平行向量；④向量a与b不共线，则a与b都是非零向量．A．1 B．2C．3 D．4[解析]

对于①，零向量的方向是任意的，故①错误；对于②，零向量的模为0，故②错误；③正确，相等向量的方向相同，因此一定是平行向量；④显然正确．B2．正n边形有n条边，它们对应的向量依次为a1，a2，a3，…，an，则这n个向量(

)A．都相等

B．都共线C．都不共线

D．模都相等[解析]

因为多边形为正多边形，所以边长相等，所以各边对应向量的模都相等．D3．如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中相等的向量是____________(填序号)．(1)(4)4．给出以下5