【圆相关证明与计算】类型一-圆的基本性质证明与计算（原卷版）

PAGE类型一圆的基本性质证明与计算【典例1】如图．点A，B，C，D，E均在⊙O上．∠BAC＝15°，∠CED＝30°，则∠BOD的度数为（）A．45° B．60° C．75° D．90°【典例2】如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，则∠ADC的度数是（）A．70° B．110° C．130° D．140°【典例3】如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（）A．3α+β＝180° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90°【典例4】如图，在中，，以点O为圆心，2为半径的圆与交于点C，过点C作交于点D，点P是边上的动点．当最小时，的长为（）A． B． C．1 D．【典例5】如图，是的内接三角形，，是直径，，则的长为（）A．4 B． C． D．【典例6】如图，是的直径，弦，垂足为点．连接，．如果，，那么图中阴影部分的面积是（）．A． B． C． D．【典例7】如图,在四边形ABCD中，以AB为直径的半圆O经过点C,D．AC与BD相交于点E，CD2=CE·CA,分别延长AB,DC相交于点P，PB=BO，CD=2．则BO的长是_________．【典例8】如图，⊙O是正方形ABCD的内切圆，切点分别为E、F、G、H，ED与⊙O相交于点M，则sin∠MFG的值为．【典例9】如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则的值为（）A． B． C． D．【典例10】如图，CD是⊙O的直径，AB是弦(不是直径)，AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是()A．AE>BEB.eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))C．∠D＝eq\f(1,2)∠AECD．△ADE∽△CBE命题点2圆周角定理【典例11】如图，点O为优弧eq\o(AB,\s\up8(︵))所在圆的圆心，∠AOC＝108°，点D在AB的延长线上，BD＝BC，则∠D______．重难点1垂径定理及其应用【典例12】已知AB是半径为5的⊙O的直径，E是AB上一点，且BE＝2.(1)如图1，过点E作直线CD⊥AB，交⊙O于C，D两点，则CD＝_______；图1图2图3图4探究：如图2，连接AD，过点O作OF⊥AD于点F，则OF＝_____；(2)过点E作直线CD交⊙O于C，D两点．①若∠AED＝30°，如图3，则CD＝__________；②若∠AED＝45°，如图4，则CD＝___________．【变式训练1】如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上．若OA⊥BC，∠CDA＝30°，则弦BC的长为()A．4B．2eq\r(2)C.eq\r(3)D．2eq\r(3)【变式训练2】【分类讨论思想】已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，则弦AB和CD之间的距离是__________________eq\x(方法指导)1．垂径定理两个条件是过圆心、垂直于弦的直线，三个结论是平分弦，平分弦所对的优弧与劣弧．2．圆中有关弦的证明与计算，通过作弦心距，利用垂径定理，可把与圆相关的三个量，即圆的半径，圆中一条弦的一半，弦心距构成一个直角三角形，从而利用勾股定理，实现求解．3．事实上，过点E任作一条弦，只要确定弦与AB的交角，就可以利用垂径定理和解直角三角形求得这条弦长．重难点2圆周角定理及其推论【典例14】已知⊙O是△ABC的外接圆，且半径为4.(1)如图1，若∠A＝30°，求BC的长；(2)如图2，若∠A＝45°：①求BC的长；②若点C是eq\o(AB,\s\up8(︵))的中点，求AB的长；(3)如图3，若∠A＝135°，求BC的长．图1图2图3【变式训练3】如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC＝32°，则∠B的度数是()A．58°B．60°C．64°D．68°【变式训练4】将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为88°，30°，则∠ACB的大小为()A．15°B．28°C．29°D．34°eq\x(方法指导)1．在圆中由已知角求未知角，同(等)弧所对的圆心角和圆周角的关系是一个重要途径，其关键是找到同一条弧．2．弦的求解可以通过连接圆心与弦的两个端点，构建等腰三角形来解决．3．一条弦所对的两种圆周角互补，即圆内接四边形的对角互补．eq\x(模型建立)在半径已知的圆内接三角形中，若已知三角形一内角，可以求得此角所对的边．eq\x(易错提示)注意同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，避免把数量关系弄颠倒．重难点3圆内接四边形【典例14】如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC＝50°，则∠DBC的度数为()A．50°B．60°C．80°D．90°【思路点拨】延长AE交⊙O于点M，由垂径定理可得eq\o(CD,\s\up8(︵))＝2eq\o(DM,\s\up8(︵))，所以∠CBD＝2∠EAD.由圆内接四边形的对角互补，可推得∠ADE＝∠GBC，而∠ADE与∠EAD互余，由此得解．【变式训练5】如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是()A．80°B．120°C．100°D．90°【变式训练6】如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠A＝n°，则∠DCE＝____________eq\x(方法指导)1．找圆内角(圆周角，圆心角)和圆外角(顶角在圆外，两边也在圆外或顶点在圆上，一边在圆内，另一边在圆外)的数量关系时，常常会用到圆内接四边形的对角互补和三角形外角的性质．2．在同圆或等圆中，如果一条弧等于另一条弧的两倍，则较大弧所对的圆周角是较小弧所对圆周角的两倍．Ｋ能力提升1．如图，在⊙O中，如果eq\o(AB,\s\up8(︵))＝2eq\o(AC,\s\up8(︵))，那么()A．AB＝ACB．AB＝2ACC．AB＜2ACD．AB＞2AC2．如图，在半径为4的⊙O中，弦AB∥OC，∠BOC＝30°，则AB的长为()A．2B．2eq\r(3)C．4D．4eq\r(3)3．如图，在平面直角坐标系中，⊙O′经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于点B，C，分别作O′E⊥OC于点E，O′D⊥OB于点D.若OB＝8，OC＝6，则⊙O′的半径为()A．7B．6C．5D．44．如图，在⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC.若∠A＝60°，∠ADC＝85°，则∠C的度数是()A．25°B．27.5°C．30°D．35°5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与⊙O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为()A．15°B．35°C．25°D．45°6．如图，分别延长圆内接四边形ABDE的两组对边，延长线相交于点F，C.若∠F＝27°，∠A＝53°，则∠C的度数为()A．30°B．43°C．47°D．53°如图，小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2cm的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”(单位：cm)，请你帮小华算出圆盘的半径是________cm.8．如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E.(1)求证：DE＝DB；(2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．9．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝10，连接AC，BD，以BD为直径的圆交AC于点E.若DE＝3，则AD的长为()A．5B．4C．3eq\r(5)D．2eq\r(5)提示：过点D作DF⊥AC于点F，利用△ADF∽△CAB，△DEF∽△DBA可求解．10．如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是eq\o(AC,\s\up8(︵))的中点，DE⊥AB于点E，且DE交AC于点F，DB交AC于点G.若eq\f(EF,AE)＝eq\f(3,4)，则eq\f(CG,GB)＝_____________．11．如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC＝60cm.沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1＝30cm，∠B1D1C1＝120°.(1)图2中，弓臂两端B1，C1的距离