吉林省松原市长岭县2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷

吉林省松原市长岭县2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷（解析版）一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．（2分）如图是一个由4个相同的长方体组成的立体图形，它的主视图是（）A． B． C． D．2．（2分）△ABC和△DEF相似，且相似比为，那么△DEF和△ABC的面积比为（）A． B． C． D．3．（2分）如图，是反比例函数在第二象限的图象，则k的可能取值是（）A．2 B．﹣2 C． D．4．（2分）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦且CD⊥AB，BC＝6，AC＝8，则sin∠ABD的值是（）A． B． C． D．5．（2分）如图，在△ABC中，点D在AB上，BD＝2AD，DE∥BC交AC于E，则下列结论不正确的是（）A．BC＝3DE B．＝ C．△ADE∽△ABC D．S△ADE＝S△ABC6．（2分）如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）A．5cosαm B．m C．5sinαm D．m二、填空题（每小题3分，共24分）7．（3分）在Rt△ABC中，若|sinA﹣1|+，则∠C＝．8．（3分）反比例函数y＝关于y轴对称的函数的解析式为．9．（3分）将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是．10．（3分）如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是．11．（3分）如图，过原点O的直线与反比例函数y1，y2的图象在第一象限内分别交于点A，B，且A为OB的中点，若函数y1＝，则y2与x的函数表达式是．12．（3分）已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为3：4，△ABC的周长为6，则△A'B'C'的周长为．13．（3分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为．14．（3分）小芳的房间有一面积为3m2的玻璃窗，她站在室内离窗子4m的地方向外看，她能看到窗前面一幢楼房的面积有m2（楼之间的距离为20m）．三、解答题（每小题5分，共20分）15．（5分）在△ABC中，|cos∠A﹣|+（1﹣tan∠B）2＝0，求∠A，∠B，∠C的度数．16．（5分）若反比例函数y＝的图象经过第二、四象限，求m的值和该反比例函数的表达式．17．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，cos∠ABC＝，D为AC上一点，而且∠DBC＝30°，求AD的长．18．（5分）如图，一艘轮船从离A观察站的正北海里处的B港出发向东航行，观察站第一次测得该船在A地北偏东30°的C处；半小时后，又测得该船在A地的北偏东60°的D处，求此船的速度．四、解答题（每小题7分，共28分）19．（7分）在平面直角坐标系中，反比例函数y＝的图象过点A（，2）．（1）求k的值；（2）如图，在反比例y＝（x＞0）上有一点C，过A点的直线l⊥y轴，并与OC的延长线交于B，且OC＝2BC，求点C的坐标．20．（7分）在平面直角坐标系中，点A关于y轴的对称点为点B，点A关于原点O的对称点为点C．（1）若A点的坐标为（1，2），请你在给出的坐标系中画出△ABC．设AB与y轴的交点为D，则＝；（2）若点A的坐标为（a，b）（ab≠0），则△ABC的形状为．21．（7分）如图，将边长为6cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在Q处，EQ与BC交于点G．（1）求EF的长（2）求△EBG的周长．22．（7分）已知图①和图②中的每个小正方形的边长都是1个单位，请在方格纸上按要求画出格点三角形．（1）在图①中画△A1B1C1，使得△A1B1C1∽△ABC，且相似比为2：1；（2）在图②中画△MNP，使得△MNP∽△DEF，且周长比为．五、解答题（每小题8分，共16分）23．（8分）如图是函数y＝与函数y＝在第一象限内的图象，点p是y＝的图象上一动点，PA⊥x轴于点A，交y＝的图象于点C，PB⊥y轴于点B，交y＝的图象于点D．（1）求证：D是BP的中点；（2）求出四边形ODPC的面积．24．（8分）如图，点A，B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，点A（m，2），点B的横坐标是4，过点B作BC⊥x轴于点C，连接AC，AB．（1）用含m的式子表示BC，则BC＝；（2）当0＜m＜4时，求△ABC的面积S（用含m的式子表示）；（3）在（2）的条件下，当△ABC的面积S最大时，求反比例函数y＝的解析式．六、解答题（每小题10分，共20分）25．（10分）已知△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC＝2，CD＝CE＝，点P、Q分别为AB、DE的中点，连接PQ、CP、CQ、BD．猜想：如图①，当点D在AC上时，线段BD和PQ的大小关系是．探究：如图②，把△DCE绕着点C旋转一定的角度时，线段BD和PQ的大小关系是什么？并加以说明．拓展：如图③，△ABC和△DCE均为直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，且∠A＝∠E＝30°，CD＝1，BC＝，点P、Q分别为AB、DE的中点，连接PQ、BD，当∠PQD＝30°时，△BCD的面积是．26．（10分）实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数y＝﹣200x2+400x刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数y＝（k＞0）刻画（如图所示）．（1）根据上述数学模型计算：①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？②当x＝5时，y＝45，求k的值．（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．

参考答案与试题解析一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．（2分）如图是一个由4个相同的长方体组成的立体图形，它的主视图是（）A． B． C． D．【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【解答】解：从正面看易得第一层有2个正方形，第二层左边有一个正方形．故选：A．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．2．（2分）△ABC和△DEF相似，且相似比为，那么△DEF和△ABC的面积比为（）A． B． C． D．【分析】先求出△DEF和△ABC的相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．【解答】解：∵△ABC和△DEF相似，且相似比为，∴△DEF和△ABC的相似比为，∴△DEF和△ABC的面积比为．故选：D．【点评】本题考查了相似三角形面积的比等于相似比的平方的性质，相似三角形的相似比要注意顺序．3．（2分）如图，是反比例函数在第二象限的图象，则k的可能取值是（）A．2 B．﹣2 C． D．【分析】先根据反比例函数的图象判断出k的符号，再根据x＝﹣1时，y＜1即可判断出k的取值范围，找出符合条件的k的值即可．【解答】解：∵反比例函数的图象在第二象限，∴k＜0，故可排除A、C；∵x＝﹣1时，y＜1，∴＜1，∴k＞﹣1，故可排除B．故选：D．【点评】本题考查的是反比例函数的图象，即当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限．4．（2分）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦且CD⊥AB，BC＝6，AC＝8，则sin∠ABD的值是（）A． B． C． D．【分析】由垂径定理和圆周角定理可证∠ABD＝∠ABC，再根据勾股定理求得AB＝10，即可求sin∠ABD的值．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴弧AC＝弧AD，∴∠ABD＝∠ABC．根据勾股定理求得AB＝10，∴sin∠ABD＝sin∠ABC＝＝．故选：D．【点评】此题综合考查了垂径定理以及圆周角定理的推论，熟悉锐角三角函数的概念．5．（2分）如图，在△ABC中，点D在AB上，BD＝2AD，DE∥BC交AC于E，则下列结论不正确的是（）A．BC＝3DE B．＝ C．△ADE∽△ABC D．S△ADE＝S△ABC【分析】根据平行线分线段成比例定理、相似三角形的性质解答即可．【解答】解：∵BD＝2AD，∴AB＝3AD，∵DE∥BC，∴＝＝，∴BC＝3DE，A结论正确；∵DE∥BC，∴＝，B结论正确；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，C结论正确；∵DE∥BC，AB＝3AD，∴S△ADE＝S△ABC，D结论错误，故选：D．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质，灵活运用平行线分线段成比例定理、掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．6．（2分）如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）A．5cosαm B．m C．5sinαm D．m【分析】利用所给的角的余弦值求解即可．【解答】解：如图，过点B作BC⊥AF于点C，在Rt△ABC中，∵BC＝5米，∠CBA＝∠α．∴AB＝＝．故选：B．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用勾股定理是解题关键．二、填空题（每小题3分，共24分）7．（3分）在Rt△ABC中，若|sinA﹣1|+，则∠C＝60°．【分析】根据题意可得sinA＝1，cosB＝，根据特殊角的三角函数值可得∠A，∠B的度数，继而求得∠C的度数．【解答】解：由题意得：sinA＝1，cosB＝，可得∠A＝90°，∠B＝30°，故∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝60°．故答案为：60°．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，难度适中，解答本题的关键是熟记特殊角的三角函数值．8．（3分）反比例函数y＝关于y轴对称的函数的解析式为y＝．【分析】根据“两反比例函数关于y轴对称，比例系数k互为相反数”即可求得关于y轴对称的函数的解析式．【解答】解：反比例函数y＝关于y轴对称的函数的解析式为y＝．故答案为：y＝．【点评】本题考查了反比例函数的对称性，要求同学们熟练掌握．9．（3分）将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是．【分析】由∠BAC＝∠ACD＝90°，可得AB∥CD，即可证得△ABE∽△DCE，然后由相似三角形的对应边成比例，可得：，然后利用三角函数，用AC表示出AB与CD，即可求得答案．【解答】解：∵∠BAC＝∠ACD＝90°，∴AB∥CD，∴△ABE∽△DCE，∴，∵在Rt△ACB中∠B＝45°，∴AB＝AC，∵在Rt△ACD中，∠D＝30°，∴CD＝＝AC，∴＝＝．故答案为：．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．10．（3分）如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是．【分析】利用勾股定理求出AB、AO、BO的长，再由S△ABO＝AB•h＝AO•BO•sin∠AOB可得答案．【解答】解：由题意可知，AB＝2，AO＝＝2，BO＝＝2，∵S△ABO＝AB•h＝AO•BO•sin∠AOB，∴×2×2＝×2×2×sin∠AOB，∴sin∠AOB＝，故答案为：．【点评】本题主要考查锐角的三角函数，掌握三角形的面积公式是解题的关键．11．（3分）如图，过原点O的直线与反比例函数y1，y2的图象在第一象限内分别交于点A，B，且A为OB的中点，若函数y1＝，则y2与x的函数表达式是y2＝．【分析】过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，由于点A在反比例函数y1＝上，设A（a，），求得点B的坐标代入反比例函数的解析式即可求出结果．【解答】解：过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，∵点A在反比例函数y1＝上，∴设A（a，），∴OC＝a，AC＝，∵AC⊥x轴，BD⊥x轴，∴AC∥BD，∴△OAC∽△OBD，∴，∵A为OB的中点，∴＝，∴BD＝2AC＝，OD＝2OC＝2a，∴B（2a，），设y2＝，∴k＝2a•＝4，∴y2与x的函数表达式是：y2＝．故答案为：y2＝．【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数，相似三角形的判定和性质，反比例函数中k的几何意义要注意数形结合思想的运用．12．（3分）已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为3：4，△ABC的周长为6，则△A'B'C'的周长为8．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比计算即可得解．【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，∴△ABC的周长：△A′B′C′的周长＝3：4，∵△ABC的周长为6，∴△A′B′C′的周长＝6×＝8．故答案为：8．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形周长的比等于相似比的性质是解题的关键．13．（3分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为3cm2．【分析】由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．【解答】解：该几何体是一个三棱柱，底面等边三角形边长为2cm，底面三角形的高为cm，三棱柱的高为3cm，所以，其左视图为长方形，长为3cm，宽为cm，面积为3×＝3（cm2），故答案为3cm2．【点评】本题考查了三视图，三视图是中考经常考查的知识内容，难度不大，但要求对三视图画法规则要熟练掌握，对常见几何体的三视图要熟悉．14．（3分）小芳的房间有一面积为3m2的玻璃窗，她站在室内离窗子4m的地方向外看，她能看到窗前面一幢楼房的面积有108m2（楼之间的距离为20m）．【分析】在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，依此进行分析．【解答】解：根据题意：她能看到窗前面一幢楼房的图形与玻璃窗的外形应该相似，且相似比为＝6，故面积的比为36；故她能看到窗前面一幢楼房的面积有36×3＝108（m2）．【点评】本题考查了平行投影、视点、视线、位似变换、相似三角形对应高的比等于相似比等知识点．注意平行投影特点：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．三、解答题（每小题5分，共20分）15．（5分）在△ABC中，|cos∠A﹣|+（1﹣tan∠B）2＝0，求∠A，∠B，∠C的度数．【分析】先根据非负数的性质得到cos∠A﹣＝0，1﹣tan∠B＝0，则根据特殊角的三角函数值得到∠A、∠B的度数，然后根据三角形内角和定理计算出∠C的度数．【解答】解：∵|cos∠A﹣|+（1﹣tan∠B）2＝0，∴cos∠A﹣＝0，1﹣tan∠B＝0，即cosA＝，tanB＝1，∴∠A＝60°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣60°﹣45°＝75°．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：熟练记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键．16．（5分）若反比例函数y＝的图象经过第二、四象限，求m的值和该反比例函数的表达式．【分析】利用反比例函数的性质确定出m的值，进而求出表达式即可．【解答】解：∵反比例函数y＝mx的图象经过第二、四象限，∴m2﹣5＝﹣1，m＜0，解得：m＝﹣2，则反比例函数解析式为y＝﹣．【点评】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．17．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，cos∠ABC＝，D为AC上一点，而且∠DBC＝30°，求AD的长．【分析】首先根据余弦定义计算出BC的长，再利用勾股定理可计算出AC的长，再次利用特殊角的三角函数值计算出CD的长，再根据线段的和差关系可得AD长．【解答】解：∵cos∠ABC＝，∠C＝90°，∴＝，∵AB＝10，∴BC＝10×＝6，∴，∵∠DBC＝30°，∴CD＝BC•tan30°＝6×＝2，∴AD＝AC﹣CD＝8﹣2．【点评】此题主要考查了解直角三角形，关键是掌握特殊角的三角函数值，以及勾股定理的应用．18．（5分）如图，一艘轮船从离A观察站的正北海里处的B港出发向东航行，观察站第一次测得该船在A地北偏东30°的C处；半小时后，又测得该船在A地的北偏东60°的D处，求此船的速度．【分析】根据已知及三角函数可求得AC的长，根据等腰三角形的性质可求得CD的长，已知时间则不难求得其速度．【解答】解：在Rt△ABC中，．…（5分）由题意，得∠CAD＝∠CDA＝30°，…（6分）∴CD＝AC＝20（海里）.20÷0.5＝40（海里/时）．答：此船的速度是40海里/时．…（8分）【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用﹣方向角问题，关键是转化为解直角三角形解答．四、解答题（每小题7分，共28分）19．（7分）在平面直角坐标系中，反比例函数y＝的图象过点A（，2）．（1）求k的值；（2）如图，在反比例y＝（x＞0）上有一点C，过A点的直线l⊥y轴，并与OC的延长线交于B，且OC＝2BC，求点C的坐标．【分析】（1）把A点坐标代入y＝中可求出k的值；（2）作CE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，如图，证明△OCE∽△OBF，利用相似比可求出CE的长，从而得到C点的纵坐标，然后利用反比例函数解析式可确定C点坐标．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象过点A（，2），∴k＝×2＝3；（2）作CE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，如图，∵AB⊥y轴，∴BF＝2，∵CE∥BF，∴△OCE∽△OBF，∴＝，而OC＝2BC，∴CE＝BF＝，当y＝时，＝，解得x＝，∴C点坐标为（，）．【点评】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式：先设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝xk（k为常数，k≠0）；再把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程；接着解方程，求出待定系数；然后写出解析式．也考查了反比例函数的性质．20．（7分）在平面直角坐标系中，点A关于y轴的对称点为点B，点A关于原点O的对称点为点C．（1）若A点的坐标为（1，2），请你在给出的坐标系中画出△ABC．设AB与y轴的交点为D，则＝；（2）若点A的坐标为（a，b）（ab≠0），则△ABC的形状为直角三角形．【分析】（1）由A点的坐标为（1，2），而点A关于y轴的对称点为点B，点A关于原点O的对称点为点C，根据关于原点对称的坐标特点得到B点坐标为（﹣1，2），C点坐标为（﹣1，﹣2），则D点坐标为（0，2），利用三角形面积公式有S△ADO＝OD•AD＝×2×1＝1，S△ABC＝BC•AB＝×4×2＝4，即可得到＝；（2）点A的坐标为（a，b）（ab≠0），则B点坐标为（﹣a，b），C点坐标为（﹣a，﹣b），则AB∥x轴，BC∥y轴，AB＝2|a|，BC＝2|b|，得到△ABC的形状为直角三角形．【解答】解：（1）∵A点的坐标为（1，2），点A关于y轴的对称点为点B，点A关于原点O的对称点为点C，∴B点坐标为（﹣1，2），C点坐标为（﹣1，﹣2），连AB，BC，AC，AB交y轴于D点，如图，D点坐标为（0，2），∴S△ADO＝OD•AD＝×2×1＝1，S△ABC＝BC•AB＝×4×2＝4，∴＝；（2）点A的坐标为（a，b）（ab≠0），则B点坐标为（﹣a，b），C点坐标为（﹣a，﹣b），AB∥x轴，BC∥y轴，AB＝2|a|，BC＝2|b|，∴△ABC的形状为直角三角形．故答案为：；直角三角形．【点评】本题考查了关于原点对称的坐标特点：点P（a，b）关于原点的对称点P′的坐标为（﹣a，﹣b）．也考查了关于x轴、y轴对称的坐标特点以及三角形的面积公式．21．（7分）如图，将边长为6cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在Q处，EQ与BC交于点G．（1）求EF的长（2）求△EBG的周长．【分析】（1）根据勾股定理即可求出EF的长度；（2）证明△AEF∽△BGE，列出关于△BGE的三边长的比例式，求出三边的长度即可解决问题．【解答】解：（1）设EF＝xcm，∵EF＝DF，∴DF＝xcm，则AF＝（6﹣x）cm，∵AE＝AB＝3cm，由勾股定理得：x2＝32+（6﹣x）2，解得：x＝，∴EF＝cm；（2）由（1）AF＝6﹣x＝6﹣＝（cm），由题意得：∠GEF＝∠D＝90°，∠A＝∠B＝90°，∴∠AEF+∠AFE＝∠AEF+∠BEG，∴∠AFE＝∠BEG；∴△AEF∽△BGE，∴＝＝，∴＝＝，∴EG＝5，BG＝4，∴△EBG的周长＝5+3+4＝12（cm）．【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟记性质并求出△AEF的各边的长，然后利用相似三角形的性质求出△EBG的各边的长是解题的关键，也是本题的难点．22．（7分）已知图①和图②中的每个小正方形的边长都是1个单位，请在方格纸上按要求画出格点三角形．（1）在图①中画△A1B1C1，使得△A1B1C1∽△ABC，且相似比为2：1；（2）在图②中画△MNP，使得△MNP∽△DEF，且周长比为．【分析】（1）根据相似比得出各边扩大2倍，即可得出答案；（2）根据相似比得出各边扩大倍，即可得出答案．【解答】解：（1）如图①所示，△A1B1C1即为所作图形；（2）如图②所示，△MNP即为所作图形．【点评】此题主要考查了作图﹣相似变换以及勾股定理，根据题意得出对应边的长是解答本题的关键．五、解答题（每小题8分，共16分）23．（8分）如图是函数y＝与函数y＝在第一象限内的图象，点p是y＝的图象上一动点，PA⊥x轴于点A，交y＝的图象于点C，PB⊥y轴于点B，交y＝的图象于点D．（1）求证：D是BP的中点；（2）求出四边形ODPC的面积．【分析】（1）根据函数图象上的点满足函数解析式，可得P、D点坐标，根据线段中点的定义，可得答案；（2）根据图象割补法，可得面积的和差，可得答案．【解答】（1）证明：∵点P在函数y＝上，∴设P点坐标为（，m）．∵点D在函数y＝上，BP∥x轴，∴设点D坐标为（，m），由题意，得BD＝，BP＝，∴BP＝2BD，∴D是BP的中点．（2）解：∵S四边形OAPB＝6，S△OBD＝S△OAC＝，∴S四边形OCPD＝S四边形PBOA﹣S△OBD﹣S△OAC＝6﹣﹣＝3．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了函数图象上的点满足函数解析式，线段中点的定义，图形割补法是求图形面积的重要方法．24．（8分）如图，点A，B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，点A（m，2），点B的横坐标是4，过点B作BC⊥x轴于点C，连接AC，AB．（1）用含m的式子表示BC，则BC＝m；（2）当0＜m＜4时，求△ABC的面积S（用含m的式子表示）；（3）在（2）的条件下，当△ABC的面积S最大时，求反比例函数y＝的解析式．【分析】（1）把A坐标代入y＝求得k＝2m，然后把x＝4代入求得B的纵坐标，从而求得BC；（2）根据三角形面积公式即可求得；（3）把S△ABC＝﹣m2+m化成顶点式求得m的值，即可求得解析式．【解答】解：（1）∵点A（m，2）在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，∴k＝2m，∴y＝，∵点B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，点B的横坐标是4，过点B作BC⊥x轴于点C，∴y＝＝m，∴BC＝m；故答案为m．（2）S△ABC＝•m•（4﹣m）＝﹣m2+m（0＜m＜4）；（3）由S△ABC＝﹣m2+m＝﹣（m﹣2）2+1，∴当m＝2时，△ABC的面积S最大，∴当△ABC的面积S最大时，求反比例函数y＝的解析式为y＝．【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例系数k的几何意义以及反比例函数的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．六、解答题（每小题10分，共20分）25．（10分）已知△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC＝2，CD＝CE＝，点P、Q分别为AB、DE的中点，连接PQ、CP、CQ、BD．猜想：如图①，当点D在AC上时，线段BD和PQ的大小关系是BD＝．探究：如图②，把△DCE绕着点C旋转一定的角度时，线段BD和PQ的大小关系是什么？并加以说明．拓展：如图③，△ABC和△DCE均为直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，且∠A＝∠E＝30°，CD＝1，BC＝，点P、Q分别为AB、DE的中点，连接PQ、BD，当∠PQD＝30°时，△BCD的面积是．【分析】猜想：先求出∠PCQ＝90°，利用勾股定理求出PQ的长，再由勾股定理求出BD的长，即可确定数量关系；探究：根据，∠BCD＝∠PCQ，证明△BCD∽△PCQ，可得，即可得到BD＝PQ；拓展：连接PC、CQ，证明△CDQ为等边三角形，△BCD是直角三角形，求出BD＝，再求S△BCD＝即可．【解答】猜想：∵P点是AB的中点，△AB