常微分方程-第一章 绪论

常微分方程

OrdinaryDifferentialEquation教材(TextBook)<<常微分方程>>〔第三版〕

王高雄周之铭朱思铭王寿松编高等教育出版社课程评分方法(GradingPolicies)

LectureGrade(100)=DailyGrade(20)+FinalExam(80)二、如何学习常微分方程?1.课前预习,培养浓厚的学习兴趣.聪明在于学习,天才在于积累.学而优那么用,学而优那么创.由薄到厚,由厚到薄.马克思一门科学,只有当它成功地运用数学时,才能到达真正完善的地步.华罗庚2.认真听课，养成正确的学习习惯.3.课后复习，锻造扎实的学习根底.常微分方程的根本情况介绍一、常微分方程模型例1试求作一曲线y=f(x)，使在其上每一点(x,y)处的切线斜率均是该点横坐标的2倍，且过点(1,2)。例2物体冷却问题将某物体置于空气中，在t＝0时刻时，测得它的温度为u0=150oC。10分钟后测得它的温度为u1=100oC，试确定该物体温度u与时间t的关系，并计算20分钟后该物体的温度。这里假定空气的温度始终保持为ua=24oC。

例3R－L－C电路问题。如下图，R－L－C电路是由电阻R、电感L、电容C和电源E串联组成的电路。其中，R、L、C常数，电源电动势是时间t的函数：E=e(t)。试建立当开关K合上后电流I(t)应满足的微分方程。例4单摆运动问题

单摆是一根长为l的线段的上端固定而下端系一质量为m的摆锤的简单机械装置。开始时将单摆拉开一个小角度φ0，然后放开，使其在摆锤的重力作用下在垂直平面上摆动。试建立单摆的运动方程。

此外，还有人口模型、传染病模型、生物种群模型等

二、微分方程的根本概念和开展历史方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比方线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。解这类问题的根本思想和初等数学解方程的根本思想很相似，也是要把研究的问题中函数和未知函数之间的关系找出来，从列出的包含未知函数及其导数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式－－－即求解微分方程。

牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。

微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，在公元17世纪，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。三、微分方程的研究方法研究微分方程的一般五种方法1、利用初等函数或初等函数的积分形式来导出微分方程的通解，常微分方程的解包括通解和特解。能用初等积分求通解的是非常少的，因此，人们转而研究特解的存在性问题。2、利用数学分析或非线性分析理论来研究微分方程解的存在性、延展性、解对初值的连续性和可微性问题。3、微分方程解析理论由于绝大多数微分方程不能通过求积分得到，而理论上又证明了解的存在性，因此，人们将未知函数〔即解〕的表示成级数形式，并引进特殊函数，如，椭圆函数、阿贝尔函数、贝塞尔函数等，并使微分方程和函数论及复变函数联系起来，产生了、微分方程解析理论。5、微分方程的定性和稳定性理论

1900年，希尔波特提出的23个问题中的第16个问题之一，至今未解决。4、微分方程的数值解法四、微分方程的讲授内容〔学时64〕1、根本概念2、一阶微分方程的初等解法3、微分方程解的存在性理论4、高阶线性方程5、线性微分方程组6、微分方程的定性稳定性理论初步五、微分方程的教材特点1.1常微分方程的有关模型1.2常微分方程的有关概念1.3微分方程的开展历史本章主要内容第一章绪论本章主要介绍微分方程、微分方程的解以及微分方程的阶、解，微分方程组，动力系统等有关概念，同时介绍一些有关的微分方程模型。同学们应着重掌握微分方程的一些根本概念:解、通解、特解、阶数、初值条件等，了解微分方程的有关模型。1、单种群增长模型〔Logistic方程〕一、导出微分方程的一些实例§1.1微分方程的概念2、数学单摆模型凡含有自变量、未知函数以及未知函数的导数〔或微分〕的方程称为微分方程。例如：1〕如果微分方程中未知数只依赖于一个自变量，称为常微分方程。例如：二、微分方程的根本概念2〕如果微分方程中未知数依赖于两个或更多的自变量，称为偏微分方程。例如：注：我们不特别声明，就称常微分方程为微分方程或方程。方程的阶数：一个微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数，称为方程的阶数。如果一个微分方程关于未知函数及其各阶导数都是线性的，那么称它为线性微分方程，否那么称之为非线性微分方程。一般的n阶微分方程的形式为：其中：的函数。例如：是二阶非线性微分方程。是变量解和隐式解：为方程的解。将其代入方程后，能使它变成恒等式，那么称函数假设关系式决定的隐函数是为方程的隐式解。上述方程解称设例：有隐式解（任意常数）上的解。例：是在是在上的解。是定义在区间〔a,b〕上的n阶可微函数，把含有n个相互独立的任意常数称为n阶方程的通解。的解n阶方程的通解：若存在的一个邻域，使得那么称含有n个相互独立的常数。例：是的通解。因为而特解：在通解中确立了一组任意常数后所得的解称为特解。定解条件：为了确定微分方程的一个特定的解，我们通常给出这个解所必需满足的条件，这就是定解条件常见的定解条件是初始条件。是指如下的n个条件：的初始条件所谓阶微分方程其中是给定的个常数。求微分方程满足定解条件的解就是所谓的定解问题。当定解条件为初始条件时，相应的定解问题也就为初值问题。例：验证函数是微分方程的解。满足初始条件的解为微分方程的特解。初始条件不同，对应的特解也不同。解：求出所给的函数导数把及的表达式代入方程，得因此，函数是微分方程的解。内容小结1.微分方程的根本概念线性微分方程，非线性微分方程常微分方程，偏微分方程，微分方程的阶P272，3，4，6，8〔1〕〔3〕〔5〕初始条件作业微分方程的解，通解，特解牛顿(1642–1727)伟大的英国数学家,物理学家,天文学家和自然科学家.他在数学上的卓越奉献是创立了微积分.1665年他提出正并于1671他莱布尼兹(1646–1716)德国数学家,哲学家.他和牛顿同为微积分的创始人,

他在?学艺?杂志上发表的几篇有关微积分学的论文中,有的早于牛顿,

所用微积分符号也远远优于牛顿.

他还设计了作乘法的计算机,

系统地阐述二进制计数法,并把它与中国的八卦联系起来.(雅各布第一·伯努利)

书中给出的伯努利数在很多地方有用,伯努利(1654–1705)瑞士数学家,位数学家.标和极坐标下的曲率半径公式,1695年上的一件大事,而伯努利定理那么是大数定律的最早形式.年提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多1694年他首次给出了直角坐1713年出这是组合数学与概率论史此外,他对双纽线,悬链线和对数螺线都有深入的研究.欧拉(1707–1783)瑞士数学家.他写了大量数学经典著作,如?无穷小分析引论?,?微还写了大量力学,几何学,变分法教材.他在工作期间几乎每年都完成800页创造性的论文.他的最大奉献是扩展了微积分的领域,要分支(如无穷级数,微分方