广西“智桂杯”2022届高三年级上册理数大数据精准诊断性大联考试卷

广西“智桂杯”2022届高三上学期理数大数据精准诊断性大联考试卷

阅卷人

-------------------、单选题（共12题；共24分）

得分

1.（2分）（2022高三上•）已知集合/={久|田<3},B={-3,-2,0,2,3},则ACB=（）

A.{-2,2}B.{-2,0}

C.{-2,0,2}D.{一3,-2,0,2,3}

【答案】C

【解析】【解答】由|%|<3得—3<x<3,所以4={x||x|<3}={x[—3<x<3},又因为B=

{-3,-2,0,2,3）,所以ACB={-2,0,2}。

故答案为：C

【分析】利用绝对值不等式求解方法求出集合A,再利用交集的运算法则求出集合A和集合B的交

集。

2.（2分）（2022高三上）已知复数2=，，贝弦在复平面上对应的点在（）

L—L

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】【解答】因为z=Q=百练非"=二为=一4+全，

JL—I（JL—I八JL十ZLL

所以z=-3,

所以z在复平面上对应的点为（-与》，

所以Z在复平面上对应的点在第二象限。

故答案为：B

【分析】利用复数的乘除法运算法则求出复数z,再利用复数的几何意义求出复数对应的点的坐标，

再结合点的坐标确定点所在的象限。

3.（2分）（2022高三上•）在平面直角坐标系中，若角a的顶点在原点，始边在％轴的正半轴，终边在

第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（）

A.sin（a-%）B.cos（a+今

C•sin(7T+a)D.—cos(7r—a)

【答案】A

【解析】【解答】由诱导公式有sin（a-刍=-cosa,又因为a为第二象限角，cosa<0,.1.sin（a-

今）>0；由诱导公式有cos（a+*）=-sina,又因为a为第二象限角，sina>0,二cos（a+*）<0；

由诱导公式有sin（?r+a）=—sina,又因为a为第二象限角，sina>0,sin（7T+a）<0；由诱导公

式有—cos（?r—a）=cosa,又因为a为第二象限角，cosa<0,—cos（7r—a）<0O

故答案为：A.

【分析】利用已知条件结合诱导公式，再利用三角函数值在各象限的符号，从而找出三角函数值中

大于零的选项。

4.（2分）（2022高三上•）下列命题是真命题的是（）

A.有甲、乙、丙三种个体按3:1:2的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9,则样本容量

为30

B,若甲组数据的方差为5,乙组数据的方差为7,则这两组数据中较稳定的是乙

C.数据1,2,3,4,4,5的平均数、中位数相同

D.数据1,2,2,2,3,4,4,4,5,5,6的众数是2和4

【答案】D

【解析】【解答】解：对于A：样本容量为9+乔泊=18,A不符合题意；

对于B：方差越小数据越集中，故甲较稳定，B不符合题意；

对于C：数据1,2,3,4,4,5的平均数为表1+2+3+4+4+5）=容中位数为竽=幺C

不符合题意；

对于D：数据1,2,2,2,3,4,4,4,5,5,6的众数是2和4,D符合题意；

故答案为：D

【分析】利用已知条件结合分层抽样的方法，再结合方差的求解方法结合方差与稳定性的关系，再

利用平均数和中位数公式、众数定义，进而找出真命题的选项。

5.（2分）（2022高三上）某几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1）,则该几何体的体

积为（）

【解析】【解答】由三视图知，原几何体是棱长为6的正方体中的三棱锥ABC,且AB=3,

由正方体的性质可知：SMBC=；X3x6=9,三棱锥D-/BC的底面ABC上的高为6,

二该几何体的体积为V=|x9x6=18o

故答案为：C.

【分析】利用已知条件，由三视图知原几何体是棱长为6的正方体中的三棱锥。-ABC,且AB=3,

由正方体的性质结合三角形的面积公式可知三角形4ABC的面积和三棱锥D-ABC的底面ABC上的

高为6,再结合三棱锥的体积公式求出该几何体的体积。

6.（2分）（2022高三上）已知征了均为单位向量，若口一2瓦=8，则向量五与另的夹角为（）

A.JB.JC.穹D.至

bJ36

【答案】B

【解析】【解答】由「一2百=8，得|五_24=3,

即五2+4fe2—4a-b=3'

设单位向量五与石的夹角为0,

则有1+4—4cos8=3,

解得COS8=4又因为g0,兀］，所以吟。

故答案为：B

【分析】利用已知条件结合单位向量的定义，再结合数量积求向量的模的公式，再利用数量积的运

算法则结合数量积的定义，从而求出单位向量方与B的夹角的余弦值，再利用两向量夹角的取值范

围，进而求出向量4与B的夹角。

7.（2分）椭圆需+g=i的焦点为尸1，&，点P在椭圆上，若\PF2\=2,贝1JN&PF2的大

小为（）

A.150°B.135°C.120°D.90°

【答案】C

【解析】【解答】由题意，I&F2I=2V7.|PFi|+\PF2\=6,又\PF2\=2,则\PFX\=4,

777

由余弦定理可得……f2：骑槌产=-1.

=

故ZF1PF2=120°.

故答案为：C.

【分析】根据椭圆的定义可得|PF1|=4,|FiFz|=2位,再利用余弦定理即可得到结论.

8.（2分）（2022高三上）被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：C=Wlog2（l+》），其

中C为最大数据传输速率，单位为bit/s；W为信道带宽，单位为Hz；点为信噪比.香农公式在5G技术

中发挥着举足轻重的作用.当全=99,W=2000Hz时，最大数据传输速率记为的；在信道带宽不变

的情况下，若要使最大数据传输速率翻一番，则信噪比变为原来的多少倍（）

A.2B.9C.99D.101

【答案】D

【解析】【解答】当》=99,W=2000Hz时，

s

Cl=WZlog2(l+给=20001og2(l+99)=40001og210,

c

由80001og210=20001og2(l+书)，

得410g210=log2(l+,).所以需=9999,

所以黑101,即信噪比变为原来的101倍。

故答案为：D

【分析】利用已知条件结合对数的运算法则，从而得出信噪比变为原来的倍数。

9.(2分)(2020高二下•泸县月考)已知定点B(3,0),点4在圆(%4-I)2+y2=4上运动，则线

段AB的中点M的轨迹方程是()

A.(%+I)2+y2=1B.(%—2)2+y2=4

C.(x—l)2+y2=1D.(x+2)2+=4

【答案】C

【解析】【解答】设M(x,y)，则火孙,后)满足(当已孕)=(“).故刍丁.故做2支一

3,2y).

又点A在圆(%+I,+y2=4上.故(2%-3+I)2+(2y)2=4=>(x-I)2+y2=1.

故选：C

2

【分析】设M(x,y)再表达出A的坐标代入圆方程(x+l)+y2=4化简即可.

10.(2分)(2022高三上•)函数/(%)=Asin3%+⑴)(3>0,切<今)的部分图象如图所示，/(%)

的图象与y轴交于M点，与无轴交于C点，点N在/(久)的图象上，点M、N关于点C对称，则下列说法中

正确的是()

B.函数/(%)的最小正周期是2兀

C.函数人乃的图象关于直线％=穿对称

O

D.函数/(x)的图象向右平移着后，得到函数g(x)的图象，则g(x)为偶函数

【答案】A

【解析】【解答】点M、N关于点C对称，贝忆［,0),T=2-(5+J)=7r,所以B不符合题意；

由3=竿=2,可得/(%)=Zsin(2x+0),代入(金,/),可得sin/+@)=1,

解得8=界2/OT,kEZ,\(p\<则0即/'(x)=4sin(2x+&),

因为/(%=4sin(等+9=0,所以/(%)的图象关于点管,0)对称，C不符合题意；

由图象可得/(%)在《+卜兀,乌+人兀)，kCZ递减，则/(%)在(萼，粤)递减，所以A符合题意；

函数/(%)的图象向右平移系后，可得g(x)=Asin2x,是奇函数，D不符合题意.

故答案为：A

【分析】利用已知条件结合正弦型函数的部分图象，进而求出正弦型函数的解析式，再利用换元法

将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的单调性，进而求出正弦型函数在区间(竽，岑)上的

单调性，利用正弦型函数的最小正周期公式，进而求出正弦型函数的最小正周期，再利用换元法将

正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的对称性，进而求出正弦型函数的对称轴，利用已知

条件结合正弦型函数的图象变换，从而得出函数g(x)的图象，再结合偶函数的图象的对称性，进而

判断出函数g(x)为偶函数，进而找出说法正确的选项。

11.(2分)(2022高三上)甲、乙、丙、丁4人站到共有4级的台阶上，若每级台阶最多站2人，

同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是()

A.204B.84C.66D.60

【答案】A

【解析】【解答】解：因为甲、乙、丙、丁4人站到共有4级的台阶上，且每级台阶最多站2人，所

以分为3类：

第一类，甲、乙、丙、丁各自站在一个台阶上，共有：牖=24种站法；

第二类，有2人站在同一台阶上，剩余2人站在另一个台阶上，共有：宠1.以・度=36种站法；

第三类，有2人站在同一台阶上，剩余2人各自站在一个台阶上，共有：或以“=144,

所以每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置的不同的站法总数是24+36+144=

204o

故答案为：A

【分析】利用已知条件结合分类加法计数原理，再利用分组的方法结合组合数公式和排列数公式，

进而求出不同的站法总数。

12.(2分)(2022高三上)已知关于工的函数/(%)=bx2-2bx+\x-l\+b2+b-4有唯一零点x=

a,贝必+b=()

A.-1B.3C.-l或3D.4

【答案】B

【解析】【解答】/(%)=b(x-l)2+|x-1|4-62-4,令t=x-l,

则有g(t)=bt2+|t|+b2-4是偶函数，

若只有唯一零点，则必过原点，即g(0)=0,从而匕=+2,

当b=—2时，有3个零点，舍去，

故b=2,此时t=a—1=0,贝Ija=1,故a+b=3。

故答案为：B

【分析】利用/(%)=b(x-1)2+1%-1|+匕2-4,令t=%-1,得出g(t)=况2+田+炉一4,再

利用已知条件结合偶函数的定义，从而判断出函数9(。=尻2+田+匕2—4是偶函数，若只有唯一

零点，则必过原点，即g(0)=0,再结合代入法得出b的值，再利用分类讨论的方法结合函数求零

点的方法，进而结合已知条件，从而求出a的值，进而求出a+b的值。

阅卷入

二、填空题（共4题；共4分）

得分

（2x—y>4

13.（1分）（2022高三上）已知实数x,y满足|x+2yW4,贝Ijz=3%一2y的最小值是

[y<o

【答案】6

【解析】【解答】画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示.

由z=3x-2y可得y=1-

平移直线y=|x结合图形可得，当直线y=|x-*经过可行域内的点A时，直线在y轴上的

截距最大，此时z取得最小值，

由题意得A点坐标为（2,0）,

,,^min=3x2=6，

即z=3x-2y的最小值是60

故答案为6。

【分析】利用二元一次不等式族组画出可行域，再利用可行域找出最优解，再结合最优解求出线性

目标函数的最小值。

14.（1分）（2022高三上）已知△ABC,点。在BC的延长线上，且AB=47=2,CD=1,AD=

V7,则△ABC的面积为.

【答案】V3

【解析】【解答】在△4C0中，AC=2,CD=1,AD=用、

222

由余弦定理可知,AC-{-CD-AD_4+1_7_1

2AC-CD=2x2x1-2

又因为N/CD€（0,兀），所以N4CD=等，所以N4CB=不

又因为=AC=2,所以△ABC为等边三角形,

所以△ABC的面积为3x2x2xsinJ=V3o

故答案为：V3o

【分析】利用已知条件结合余弦定理得出cosNHCD的值，再利用三角形中角的取值范围，所以

ZACDe（0,/r）,进而求出N4CD的值，进而结合两角互补的性质，从而求出NACB的值，再利用

AB=AC=2结合N4CB的值，所以△ABC为等边三角形，再利用三角形的面积公式结合三角形的形

状，进而求出三角形a/BC的面积。

15.（1分）（2022高三上）已知双曲线C:马一g=1的左'右焦点分别为鼻、/2，点P在双曲线上，

淤b

△P&F2的内切圆圆心为/,且满足两•隔=可•隔，PF2IF/2，则双曲线。的离心率

为.

【答案】V2+1

【解析】【解答】由两.丽=可•两，即两•丽一可•时=0,即时•（配一可）=可］

2

斤7=0,所以PF11/尸2，又因为/尸2是NPF20的角平分线，所以&F2=PF2，即2C=J，即2ac=

a

b2,所以c?—a2=2ac,从而e2—2e—1=0,解得e=应+1或6=—a+1（舍去）。

故答案为：鱼+1。

【分析】由两•丽=可•两结合数量积的运算法则和两向量垂直数量积为0的等价关系，所以

PFi1/F2,再利用/F2是NPBa的角平分线，所以％&=「尸2,再利用焦距的定义结合两点距离公

式，从而得出2ac=b2,再利用双曲线中a,b,c三者的关系式，所以c?一a?=2ac,再结合双曲线的

离心率公式变形，进而解方程结合双曲线的离心率的取值范围，从而求出双曲线的离心率的值。

16.（1分）（2022高三上）已知正四面体P—ABC的棱长为3/，点。分别为24,PB,PC上靠近P

的三等分点，平面DEF截正四面体P-4BC的外接球所得截面的面积为.

【答案】等

【解析】【解答】过P作PQJ•平面4BC于Q,交平面DEF于G.

p

根据对称性，球心在线段PQ上，设球心为。，连接0B,已知正四面体P-ABC的棱长为3夜，则

PB=3A/2,BQ=V6,PQ=2A/3,设球半径为R,则OQ=2百一R,在^OQB中由勾股定理，R*2=

（26—R，+6,解得/?=芋，点分别为PA,PB,PC上靠近P的三等分点，易得小四面体的高

PG=挛，则OG=OP-PG=^，平面。"截球所得的圆半径「2=解一"2=珞则截得的圆

363

面积为导。

故答案为：学,

【分析】过P作PQJL平面/BC于Q,交平面DEF于G,根据对称性，球心在线段PQ上，设球心为0,

连接。8,已知正四面体P-力BC的棱长为3鱼，从而求出PB,BQ,PQ的值，设球的半径为R,进而

得出0Q=2通-R,在三角形40QB中，由勾股定理得出球的半径，再利用点。,瓦口分别为

P4PB,PC上靠近P的三等分点，从而易得小四面体的高，进而结合几何法求出0G的长，再结合勾

股定理得出平面。“截球所得的圆的半径M=R2一0G2=学再利用圆的面积公式，进而求出截得

的圆的面积。

阅卷入

—三、解答题（共7题；共70分）

得分

17.（10分）（2022高三上）已知等差数列｛an｝满足的=9,+CLQ=22.

（1）（5分）求的通项公式；

（2）（5分）等比数列｛%｝的前n项和为%,且比=的，再从下面①②③中选取两个作为条件,

求满足又＜2021的n的最大值.

①匕3=01+02；②S3=7；③刈+1>bn.

(注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.)

【答案】(1)解：设等差数列｛即｝的公差为d,因(14+。8=22,贝IJ2a6=22,即a6=11,于是得

d=a6—a5=ll—9=2,

从而有即=a5+(n-5)x2=2n-1,

所以｛。九｝的通项公式是册=2n-1.

(2)解：选择①②：设等比数列｛,｝的公比为q,

因b1=。1，b3=ar+a2,由⑴知，3=1,%=4,而S3=7,则历=S3-①一优=2,即有q=

”=2

比’

于是得?=比仁武)=2"-1,因Sn<2021,即2"-1<2021,而neN*,解得nW10,贝IJ

几max=10，

所以满足％<2021的九的最大值为1().

选择①③：设等比数列｛g｝的公比为q,

因打=。1，仇=。1+。2,由(1)知，则比=1,b3=4,由q2=1^=4,解得q=±2,又力几+i>

bn,则有q=2,

于是得s=比七，=2"-1,因Sn<2021,即2"-1<2021,而nCN*,解得nS10,贝IJ

几max=1°，

所以满足又<2021的九的最大值为10.

选择②③：设等比数列｛%｝的公比为小

因S3=7,由(1)知，br=1,则l+q+q2=7,解得q=2或q=-3,而“+〔>b九，则有q=2,

于是得Sn=勺在沪=2“一1,因Sn<2021,即邛一1<2021,而nCN*,解得nW10,贝IJ

Fax=10.

所以满足Sn<2021的门的最大值为10.

【解析】【分析】(1)利用已知条件结合等差数列的性质，进而求出等差数列的第六项的值，再利用

等差数列的性质，进而求出公差，再结合等差数列的性质，进而求出等差数列的通项公式。

(2)选择①②：设等比数列｛也｝的公比为q,再利用必=%,3=由+。2，由⑴知,瓦=1,

加=4,再利用S3=7,从而结合等比数列的前n项和公式结合等比数列的通项公式，进而求出公比

的值，再结合等比数列前n项和公式结合Sn<2021,再利用neN*,从而求出n的取值范围，进而

求出n的最大值，从而得出满足又<2021的n的最大值；

a

选择①③：设等比数列｛%｝的公比为q，再利用比=。1，b3=i+02>由⑴知,则d=1,3=

4,再利用等比数列的通项公式求出公比的值，再结合"+i>b”，从而结合数列的单调性，进而求出

满足要求的公比的值，再利用等比数列前n项和公式结合Sn<2021,再利用neN*,从而求出n的

取值范围，进而求出n的最大值，从而得出满足Sn<2021的n的最大值；

选择②③：设等比数列｛时｝的公比为q,再利用S3=7,由（1）知，>=1,再结合等比数列前n项

和公式，从而求出公比的值，再利用九+i>",从而结合数列的单调性，进而求出满足要求的公比

的值，再利用等比数列前n项和公式结合又<2021,再利用neN*,从而求出n的取值范围，进而

求出n的最大值，从而得出满足S”<2021的n的最大值。

18.（10分）（2022高三上）某网站统计了某网红螺狮粉在2020年7月至11月的总销售量y（单

位：万），得到以下数据：

月份工7891011

销售量y1012111220

乏\~y广Tl1（勺一乃（无一，）

（参考公式：相关系数,

▽“，.参考数据：内“3.162,线性回归方

〉。尸）>⑶「力

乙=1。=1

七1（石一工）0「力乙日勺乃一九句

程：9=8%+6,其中°=--="77，a=y-bx）

〉（%j—%）〉xf—nx£

乙"i=l

2

<2n(ad-bc')—其中7i=a+h+c+d.

K-(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

临界值表：

P(K2>ko)0.0100.0050.001

k。6.6357.87910.828

（1）（5分）根据表中所给数据，用相关系数r加以判断，是否可用线性回归模型拟合y与x的关

系？若可以，求出y关于x之间的线性回归方程；若不可以，请说明理由；

（2）（5分）为调查顾客对该网红螺蛔粉的喜欢情况，随机抽查了200名顾客，得到如下列联

表，请填写下面的2X2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“顾客是否喜欢该网红螺蝴粉与性别

有关”.

喜欢不喜欢总计

男100

女60

总计11()

【答案】（1）解：由已知得'%=9,y—13,

W「1（工一工）2=10，2广1d-y）2=64,2：=1（々_X）仇一/=20

205/W„

r=-,…"==―=—7—«n0.7Q911,

710x642/104

因为|r|x|0.791|e[0.75,1].

说明y与x的线性相关关系很强.，可用线性回归模型拟合y与x的关系

b=而=2,a=y—=13—18=—5,

则y关于％的线性回归方程为：y=2%-5.

⑵解：2x2列联表如下所示：

喜欢不喜欢总计

男7030100

女4060100

总计11090200

2

2一200x(70x60-40x30)，〜g[0.8，

K—100x100x110x90~18.182>10.828

・•.有99.9%的把握认为顾客是否喜欢网红螺狮粉与性别有关.

【解析】【分析】（1）利用已知条件结合相关系数求解方法，从而求出|川。|0.791|€[0.75,1],说明

y与x的线性相关关系很强，可用线性回归模型拟合y与久的关系，再利用最小二乘法，进而求出y关

于％之间的线性回归方程。

（2）利用已知条件填写2x2列联表，再利用独立性检验的方法，进而判断出有99.9%的把握认为

顾客是否喜欢网红螺螂粉与性别有关。

19.（10分）（2022高三上）如图，四棱锥P—4BCD中，AB//CD,BC1CD.BC=CD=PD=2,

力B=4,侧面P4B是以4B为斜边的等腰直角三角形.

p

（1）（5分）求证：CDJ.PD；

（2）（5分）作出平面24。与平面PBC的交线m,并求直线m与平面P4B所成角的大小.

【答案】（1）证明：取AB中点为E,连接OE,PE,

'：AB//CD,BC1CD.BC=CD=PD=2,AB=4

...四边形BCDE是正方形，

：.AB1DE,

♦.•侧面PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，

：.AB1PE,

".'DE^PE=E

：.AB1平面PDE,

'：AB//CD,

平面PDE,又PCu平面PDE,

：.CD1PD

(2)解：延长/W,BC交于点Q,则直线PQ即为交线m,

由(1)知PD=DE=2,

又因为侧面R4B是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB=4

所以PE=2,

所以APDE是边长为2的正三角形，取DE中点为0,如图建系,

可得4(1,-2,0),6(1,2,0),P(0,0,回(?(-3,2,0),

AB=(0,4,0),PB=(1,2,-V3),QP=(3,-2,V3)

设平面P/B的法向量为n=(x,y,z),

则1n-AB=(x,y,z)-(0,4,0)=4y=0

In■丽=(x,y,z)■(1,—2,V3)=%—2y+V3z=0

取z=l,得n=(遮,0,1),sin(n,QP)=

所以直线m与平面PAB所成角的大小为60°.

【解析】【分析】⑴取AB中点为E,连接PE,再利用AB〃C。，BC1CD,BC=CD=PD=

2,AB=4,再利用正方形的定义，从而判断出四边形BCDE是正方形，所以AB1DE,再利用侧面

P4B是以4B为斜边的等腰直角三角形，所以再利用线线垂直，从而证出线面垂直，所以

直线力BJ_平面PDE,再利用4B〃CD,所以CDJ_平面PDE,再利用线面垂直的定义证出线线垂直，

从而证出CDLPDo

(2)延长AQBC交于点Q,则直线PQ即为交线m,由(1)知PD=DE=2,再利用侧面P4B是以AB为

斜边的等腰直角三角形，/B=4,所以PE=2,所以三角形aPDE是边长为2的正三角形，取DE中

点为0,从而建立空间直角坐标系，进而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再

利用数量积求向量夹角的公式，进而求出直线m与平面P4B所成角的正弦值，从而求出直线加与平面

P4B所成角的大小。

20.(10分)(2022高三上)如图，已知抛物线：C:/=y,M(0,l),/V(0,-l),过点M垂直于y轴的

垂线与抛物线C交于B,C,点D,E满足CE=；ICN,ND=XNB(0<A<1).

(1)(5分)求证：直线DE与抛物线有且仅有一个公共点；

(2)(5分)设直线DE与此抛物线的公共点为Q,记ABCQ与AOEN的面积分别为Si，S2,求知

的值.

【答案】(1)证明：易知设DQ,y),由而=2而，可得(x,y+l)=4(1,2),

故有。(儿24-1),同理EQ—1,1—2/1),

于是直线DE的方程是y-(2/1-1)=(4/1-2)(x-A),

2

y=(4A-2)x-(2A-1)

(xz=y

得到(％-(24-I))?=0,

此方程有两个相等的根：%=(22—1)代入①，得y=(24-I)2,

故直线DE与抛物线有且仅有一个公共点Q(22-1,(2A-I)2)

22

(2)解：S]=SMCQ=:|BC|./=1x2x(l-y(?)=|x2x(l-(2A-l))=4(A-A)

设直线。E与y轴交于G,则G(0,—(24-l)2),

于是S2=SM)EN=；|NG|•|切—=；,(—(24-l)2+1)-(A-(A—1))=2(A—A2)

【解析】【分析】⑴利用已知条件，易知8(1,1),C(—1,1),设D(x,y),由而=2而结合向量共线

的坐标表示，进而求出点。(尢22-1),同理得出EQ-l,l-24),再利用两点式求出直线DE的方

程，再与抛物线方程联立，得到(X-(24—1))2=0,再结合代入法得出y=(24-1)2,进而证出直

线DE与抛物线有且仅有一个公共点。

(2)利用已知条件结合三角形的面积公式，得出SI=SABCQ=4。-/),设直线DE与y轴交于G,

再结合赋值法和代入法，进而求出点G(0,-(24-1)2),再结合三角形的面积公式，得出$2=

SADEN=2(4-/)，进而求出§的值。

21.(10分)(2022高三上)已知函数f(x)=6以—乂

(1)(5分)若曲线y=/(%)在点(0,/(0))处切线的斜率为1,求/(%)的单调区间；

(2)(5分)若不等式a(7(x)+%+1)22(x+1)】nx对xe(0,+可)都成立，求a的取值范围.

【答案】(1)解：/'(%)=一L则/(0)=。-1=1,即a=2

/./(x)=2e2z-l,令/(x)=0,得4=一警

当》<-学时，/(x)<0；当x>—竽时，/(%)>0

故/(无)的单调递减区间为(一°,一苧)，单调递增区间为(一苧,+。)

(2)解：由题意可知，不等式矶6。“+1)>2(%+：)lnx变形为白⑪+l)lneax>(%2+l)lnx2.

设F(t)=(t+l)lnt(t>0),则尸(t)=Int+：+1,F(t)==

当0<t<1时尸(t)<0,即尸(t)在(0,1)上单调递减，当t>l时F(t)>0,即F(t)在(1,+叼上单调递

增，则F(t)在(0,+。)上有且只有一个极值点t=1,该极值点就是产⑷的最小值点，所以尸(t)N

F(l)=Ini+|+1=2>0,即尸(t)在(0,+。)上单调递增.

若使得对任意%>0,恒有+1)>2(%+成立.

则需对任意x>0,恒有F(eg)>尸(%2)成立.

即对任意x>0,恒有es>/成立，则q>等在(0,+。)恒成立.

设g(x)=^(xG(0,+a))则g(%)=⑵M"三⑵nx)_2-

当0<%<e时，g(x)>0,函数g(x)在(0,e)上单调递增

当久〉e时，g(x)<0,函数g(x)在(e,+8)上单调递减

则g(久)在(0,+。)上有且只有一个极值点％=e,该极值点就是g(x)的最大值点.

所以g(x)max=g(e)="，即a2工.

【解析】【分析】(1)利用已知条件结合导数的几何意义，进而求出实数a的值，从而求出函数的解

析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的单调区间。

(2)由题意可知，不等式a(eg+1)>2(x4-31nx变形为(6〃+l)lneax>(x2+l)lnx2,设

F(t)=(t+l)lnt(t>0),再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极值点，从而求出

函数的最小值点，进而求出函数的最小值，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而判断出函数

F(t)在(0,+叼上单调递增，若使得对任意久>0,恒有a(eg+1)>2(%+61nx成立，则需对任意

%〉0,恒有F(es)2尸(/)成立，即对任意x>0,恒有6公？%2成立，则。之竽在(0,+叼恒成

立，设9(%)=竿,1€(0,+8))，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极值点，

从而求出函数的最大值点，进而求出函数的最大值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而求出

实数a的取值范围。

22.(10分)(2022高三上)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线E的参数方程为［x=*sa

为参数)，直线，的参数方程为(t为参数，040<兀).以坐标原点为极点，无轴非负半轴为

极轴建立极坐标系.

(1)(5分)求曲线E和直线1的极坐标方程；

(2)(5分)直线/与曲线E交于4B两点，若初=2通，求直线/的斜率.

【答案】(1)解：•••曲线E的参数方程［x=£cosag为参数)，

(y=V3sina+3

:.x2+(y—3)2=3,即工2+y2—6y+6=0,

将p2=%2+y2,y=psin。代入，

**•曲线E的极坐标方程为p2-6psin。+6=0.

•••直线1的参数方程为官二；；；：,(t为参数，04/?<兀)，

・•・直线Z的极坐标方程为6=S(p£R,04/?V兀)

(2)解：将直线/的极坐标方程9=B(pWR,048<7)代入曲线E：p2—6psin0+6=0

得p2—6psing+6=0.

n

4=36sin2j5—24>0,sin2s>1

设点AS1，S)，B(J)2，B)，

由韦达定理得Pl+。2=6sin0,P1P2=6,

v0^4=2OB,•1•Pi=2P2，

解得sin0=满足A>0,又；0W0<Jr,二夕=可或

直线/的斜率k=tan0=±V3.

【解析】【分析】(1)利用已知条件结合参数方程与普通方程的转化方法，再结合极坐标与直角坐标

的互化公式，进而求出曲线E和直线I的极坐标方程。

(2)利用直线1与曲线E交于4B两点，联立二者方程结合判别式法和韦达定理，再利用向量共线

的坐标表示，进而求出直线I的倾斜角，再利用直线的倾斜角与直线的斜率的关系式，进而求出直线

I的斜率。

23.(10分)(2022高三上)设函数6%)=|x-3|-|x+1|.

(1)(5分)解不等式/(%)<—1；

(2)(5分)若f(x)W|x+a|恒成立,求实数a的取值范围.

4,工工一1,

【答案】(1)解：函数/(%)=|久一3|-1%+1|='—2%+2,-1<x<3,

-4,xN3.

当工<一1时，由/(%)<一1得：4<一1不成立，无解，

当一1<%<3时，由/(%)<—1得：一2x+2<—1,解得％>宗则有|<%<3,

当x23时，由/(%)<-1得：一4<一1恒成立，则有％23,

综上得：久>/

所以/(%)<一1的解集为(|,+。).

(2)解：在同一个坐标系中作出函数y=/(%)和y=闭的图象，点人一^旬在函数丫二八口的图象

上，如图，

而函数y=|x+a|的图象是由函数y=|%|图象向左或向右平移|a|个单位得到的，

当函数y=|久|图象向左(a>0)平移a个单位时，得到y=|x+a|的图象与函数y=f(x)的图象有两个

交占

在这两个交点之间，y=|x+a|的图象不在y=/(%)的图象上方，即存在x()使得+a]</(X()),不

满足题意，

当函数y=|x|图象向右(a<0)平移-a个单位时，得到y=|x+a|的图象，

平移到点A在y=|x+a|的图象上，即a=-3时，函数y=f(尤)的图象总是在y=|x+a|的图象及

下方，即恒有/(久)<|x+a|成立,

将y=团的图象继续向右平移，即a<—3时，函数y=/(x)的图象总是在y=|x+a|的图象的下

方，恒有/'(%)<|x+a|成立,

综上得a<—3,

所以实数a的取值范围a<-3.

【解析】【分析】(1)利用已知条件结合零点分段法，从而求出绝对值不等式/Xx)<-1的解集。

(2)在同一个坐标系中作出函数y=/'(%)和y=闭的图象，再利用点4(-1,4)在函数y=/(%)的图

象上，再结合函数的图像的平移变换，则函数y=|x+a|的图象是由函数y=|用图象向左或向右平

移|可个单位得到的，再利用分类讨论的方法结合函数的图像的平移变换，进而利用已知条件和不等

式恒成立问题求解方法，进而求出实数a的取值范围。

试题分析部分

1、试卷总体分布分析

总分：98分

客观题（占比）25.0(25.5%)

分值分布

主观题（占比）73.0(74.5%)

客观题（占比）13(56.5%)

题量分布

主观题（占比）10(43.5%)

2、试卷题量分布分析

大题题型题目量（占比）分值（占比）

填空题4(17.4%)4.0(4.1%)

解答题7(30.4%)70.0(71.4%)

单选题12(52.2%)24.0(24.5%)

3、试卷难度结构分析

序号难易度占比

1普通(56.5%)

2容易(13.0%)

3困难(30.4%)

4、试卷知识点分析

序号知识点（认知水平）分值（占比）对应题号

1直线与平面垂直的性质10.0(10.2%)19

2等比数列的前n项和10.0(10.2%)17

3直线与圆的位置关系10.0(10.2%)22

4直线与圆锥曲线的综合问题10.0(10.2%)20

5排列、组合及简单计数问题2.0(2.0%)11

6点的极坐标和直角坐标的互化10.0(10.2%)22

7复数代数形式的乘除运算2.0(2.0%)2

8简单线性规划1.0(1.0%)13

9导数的几何意义10.0(10.2%)21

10用空间向量求直线与平面的夹角10.0(10.2%)19

11轨迹方程2.0(2.0%)9

12平面向量共线（平行）的坐标表示10.0(10.2%)22

13运用诱导公式化简求值2.0(2.0%)3

14众数、中位数、平