高中数学平面向量题型归纳复习

高中数学平面向量题型归纳复习

题型一、平面向量的基本概念

要点：向量、平行(共线)向量、相等向量、零向量、单位向量等基本概念.

1、判断正误(正确的打4,错误的打X)：

(1)有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段()

(2)共线的向量，起点不同，终点可以相同()

(3)长度相等但方向相反的两个向量不一定共线()

(4)方向相反的两个非零向量必不相等()

(5)若直线AB//CD,则荏〃丽()

(6)若荏〃而，则直线A8//C。()

(7)若alb,b//c,则a//c()

2、把平面上一切单位向量的终点放在同一点，那么这些向量的起点所构成的图形是—，把平行于某一

直线的一切向量平移到同一起点，则这些向量的终点构成的图形是.

3、己知A,B,C是不共线的三点，向量也与向量屉是平行向量，与就是共线向量，则加=.

4,如图所示菱形ABC。中，对角线AC,8。相交于。点，ZDAB=60°,分别以A,B,C,D,O中的不

同两点为始点与终点的向量中：D

(1)写出与苏平行的向量；A<j°

(2)写出与方模相等的向量.

题型二、平面向量的加减运算

1、判断正误(正确的打4,错误的打x)：

(I)AB-AB=O()

(2)OA-OB=AB()

2、下列四式中不能化简为标的是()

A.AB+CD+BCB.AD+MB+~BC+CM

C.OC-OA+CDD.MB+AD-BM

3、已知P为AABC所在平面内一点，当中+而=正时，点P位于AABC的()

A.AB边上B.BC边上C.内部D.外部

4、^\AB\=\AC\=\AB-AC\=2,则由+砌=.

5、已知长度相等的三个非零向量0X,面，3满足/+方+反=0,则由A,B,C三点构成的△A8C

的形状是_____三角形.

6、如图，OA,OB,OC在同一平面内，ZAOB=ZBOC=ZCOA=\20°,且|o4|=|os|=|dc|=l,求砺

+OB+OC.

7、如图，0在平行四边形A8C£＞外，已知砺=。，OB=b,OC^c,请用a,b,c表示说.

题型三、平面向量的数乘运算

1、判断正误(正确的打4,错误的打X)：

(1)若入0=0(九£/?),则九=0或。=0()

(2)若向量。//〃，则。=Za(XeR)()

(3)若向量b二入a(XGR),贝！Ja/力()

2、设M为平行四边形ABCD对角线的交点，。为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则

丽+丽+反+/等于()

A.0MB.20MC.30MD.40M

__1一一

3、在ZVIBC中，点。在边AB上，且=设C8=G,面=5,则函=（）

2

1_22_143

A.—G+—brB.+—6rC.-a+-bD.—a+—br

33335555

4、设P是△4BC所在平面内的一点，BC+2BA=3BP,则()

A.PC+PA=QB.PC+2PA=0C.PA+PB+PC=0D.2PC+PA=0

5、。是平面上一定点，4,B,C是平面上不共线的三个点，动点尸满足。户=Q4+ZI(A分+A。)，Xe[0,

+8),则尸的轨迹一定通过△ABC的()

A.外心B.垂心C.内心D.重心

/____\

6、已知0是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点尸满足。户=04+2盥+笛，

XG10,+00),则动点P的轨迹一定通过△A8C的()

A.重心B.垂心C.外心D.内心

7、已知向量m方不共线，若通=。+24B(j=-4a-b,CD=-5a-3b,则四边形A5CO是

()

A.梯形B.平行四边形C.矩形D.菱形

8、设向量a,b不平行，向量a-kb与2a+4)平行，则实数入二.

9、如图，已知两定点A、B,点P是直线AB上一点，且满足4户=*A反试用函,0豆表示。户.

8

10、设。是AABC内的一点，则0X+无+反=000是A48C的重心.

11、若点。在A48C内，且满足284—63。+90。=0,设%BOC为ABOC的面积，SAABC为AA8C的面积,

则'纯"=________

Sgsc

题型四、平面向量基本定理

在△ABC中，已知丽友，P为AD上一点，且满足而=加m+3丽，则实数加的

1、如图,

29

值为(

2

A.-

3

2、在△ABC中，已知。是AB边上一点，若不方=2万片，CD=ACA+^iCB,则巳的值为)

A.1B.—C.2D.—

23

3、如图，四边形A8CD是正方形，延长CO至点E,使得DE=CD.若点P为线段。C上

的点，CP=PD.S.AP=mAE+nAB,则m-n=()

A.1B.2C.-1D.-2

4、若。，方是两个不共线的向量，若XS=2a+kb,BC=a+b,CD=2a-b,且A、B、。三点共线，则实

数攵的值等于

5、在△ABC中，中线AM,BN交于点O,^OM=AAB+juAN,则入+p=

__2I

6、如图所示，已知在△ABC中，AE=-AC,BD=—BC,BE交AO于点F,

33

AF=AAB+/aAC,则入+|i=

7,在平行四边形ABC。中，点E为CO的中点，BE与AC的交点为凡设而=4,而=＞，试用a,b表

示向量BF.

8、在AABC中，。是8c的中点，AE=-EC,AD.8E相交于点F,若舒=/丽,BF=(1FE,

2

试求入+四的值.

9、如图，在AABC中，已知丽=P是BN上一点，若可＞=〃*方+!北，求实数机的值.

24

10、如图，平行四边形A8CD中，点M在A3的延长线上，且8"=!

2

证：M、N、。三点共线.

--1―►2―-

11、如图，在△ABC中，E为边AC的中点，试问在边AC上是否存在一点。，使得8。=—8C+—BE?

若存在，说明点。的位置；若不存在，请说明理由.

12、如图所示，在AABC中，点M是A8的中点，且BN与CM相交于点E,设荏=mAC

2

=b,试用基底a,8表示向量荏.

13、在△OAB中，0。=,函，OD^-OB,与8c交于点M,设幅=4,OB^b,以a,8为基底表

42

示OM.

14、如图所示，平行四边形ABCD中，A月=a,

(1)试用向量a,8来表示丽，AM.

(2)AM.DV交于点。，求AO：0M的值.

题型五、平面向量坐标的线性运算

1、已知在平行四边形ABC。中，AD=(3,7),通=(-2,3),对角线AC,BD交于点、M,则丽的

坐标为()

2、已知向量M与单位向量e同向，且A(1,-2),B(-5,26一2),则e的坐标为()

3、已知A(-2,4),B(3,1),C(-3,-4),设Q=a,BC=b,CA=c.

(1)求2a-b+c；

(2)求满足。=痴+〃。的实数如

4、已知a=(1,2),b=(-3,2),当％为何值时，ka+b与。-3方平行？平行时是同向还是反向？

5、已知向量况=a,12),0B=(4,5),0C=(10,k).当Z为何值时，A,B,C三点共线？

6、已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5)及=+

求：(1)，为何值时，点尸在x轴上？在y轴上？在第二象限？

(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能,求出相应的f值？若不能，请说明理由.

题型六、平面向量的数量积

―,—.9___,__.

1、在△48C中，已知43・AC=—,AB=AC=3M,N分别是8c边上的三等分点，则AM-AN的值是

2r

()

1113八，

A.—B.—C.6D.7

22

l13—►-.11

2、在△A3。中，AB=2,AD=2^J2,E,C分别在线段AO,。。上，且AE=—AD,BC=—BD,ACBE二一,

343

则乙4二()

7c7C27r3万

A.—B.—C.D.—

4334

3、已知△ABC中，乙4二120。，且A8=3,AC=4,若丽=2通+近，且丽觉，则实数大的值为

)

22「10厂,-12

A.—B.—C.6D.—

1537

已知a,力均为单位向量，且（2。+力）•（a-2b）=一些,则向量〃，力的夹角为（）

4、

2

7171八3汽-5〃

A.—B.—C.——D.——

6446

已知向量a在向量。方向上的投影为-1,向量方在向量a方向上的投影为-,，且向=1，则依+2例=

5、

2

（）

A.273B.4C.2D.12

6、如图所示的矩形ABCD中，AB=4,AD=2,E,F分别为线段AB,DE的中点，则丽•次的值为

7、向量分满足|a|=l,\a-b\=—,。与b的夹角为60。，则步|=

2

8、如图，在平行四边形A8CZ）中，A2=3,AD=2,ZBAD=60°.

（1）求ABAC的值；

（2）求cosNBAC的值.

9、已知向量Q,。满足步|=5,\2a+b\=5y[3,\a-b\=5y/2,求的值.

27r

10、平面上三个单位向量a,b,c两两夹角都是——，求a-5与a+c的夹角.

3

11、如图，已知平行四边形A8C。中，BC=2,NBAD=45。，E为线段BC的中点，BFLCD,求乐•丽的

12、设a,8是两个不共线的非零向量.

(1)若a,山，-(a+b)三个向量的起点相同，终点在一直线上，求实数r的值;

3

(2)若回=|创=1且。与力夹角为60。，求向量公+2b与向量。与夹角的余弦值.

13^已知向量a二(4,-2),b-(-1,3),c=(6,8).

(1)求(a+b)c；(2)若a,(b-kc),求实数入的值.

14、已知a,b,c是同一平面内的三个向量，其中。=(1,2).

(1)若|c|=2百，且。与c共线，求c的坐标；

(2)若曲=好且。+25与2a/垂直，求a与)的夹角0.

2

15、已知a=(1,2),b=(-3,2),当人为何值时：

(1)ka+b与垂直？(2)依+)与a-3b平行？是同向还是反向?

(3)试用°,力表示c=(2,2).

16、已知向量。=(3,4),b=(-1,2).

(1)求向量。与入夹角的余弦值；

(2)若向量与4+2。平行，求入的值.

17、已知A(-1,2),B(2,8).

(1)若=—DA——AB,求丽的坐标；

33

(2)设G(0,5),若屈上而,BE//BG,求上点坐标.

18、已知a,b,c是同一平面内的三个向量，其中a=(1,2).

(1)若|c|=2石且c//a,求c的坐标；

(2)若。=(Lm)(T??<0)且a+2力与a-2b垂直，求a与》的夹角0.

19、已知向量a=(3,-),|Z>|=—,a与方的夹角为45。.

552

(1)求向量”在。方向上的投影；

(2)求a-b与a+b的夹角的余弦值.

20>已知向量Q=(1,2),b=(-2,1),k,r为正实数，x=a+(5+1)b,y=一一a+-b.

kt

(1)若工_Ly,求k的最大值；

(2)是否存在匕，，使W/y?若存在，求出攵的取值范围；若不存在，请说明理由.

参考答案:

题型一、1、(1)7(2)4(3)X(4)4(5)4(6)X(7)x2、单位圆、直线

3、04、(1)AD,BC,CB；(2)AD,BC,CB,AB,BA,反，CD,BD,DB题

型二、1、x(2)x2、D3、D4、2百5、等边6、07、OD=a+c-b

题型三、1、(1)T(2)x(3)42、D3、B4、B5、D6、D7、A

3__5__?

8、-29、-OA+-OB10、略11、一题型四、1、B2、C3、D4、0

889

9s-10、设荏=e“而=0,贝底=诟=02.:丽=，

23

——•1—•1——--.——.11——.—.——.311——-

C2,BM=-AB=-e,：.MN=BN-BM=—e”一ei.又：MD=AD-AM=e--Ci=3(-e^--e\)=3MN,

2t2322232

向量丽与丽共线.又M是公共点，故M、N、。三点共线.11、D