二次函数系数abc与图像关系练习题

二次函数系数a、b、c与图像的关(6)由对称轴公式x二一就可确定2a+b的符号.

系

知识要点

选择题(共9小题)

二次函数y=ax2+bx+c系数符号确实定：

1.(2014?威海)已知二次函数y=axz+bx+c

(aWO)的图象如图，则下列说法：

(l)a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，那么a>0;否那么a<0.

①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=-

(2)b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=一七判断符号.

1；③当x=l时，y=2a；@am2+bm+a>0(mW-1).

(3)c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴,那么0();

其中正确的个数是()

否那么c<0.

(4)b2-4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，

A.lB2C3D.4

b2-4ac>0；1个交点，b2-4ac=0；没有交点，b2-4acV0.

2.(2021?仙游县二模)二次函数

(5)当x=l时,可确定a+b+c的符号，当X—1时，可确定a-b+c

y=ax2+bx+c(a=0)的图象如下图，给出以下

的符号.

结论：①a+b+c<0;②a-b+c<0;(3)b+2a<0;④abc>0.其中所

有正确结论的序号是〔)

A.③④B②③C①④D.①②③

3.（2014?南阳二模）二次函数y=ax2+bx+c

的图象如图所示，那么关于此二次函数的下

列四个结论：'

①a<0;②c>0;0b2-4ac>0;④三<0中，正确的结论有2b

A.1个D.4个

4.12021?襄城区模拟〕函数y=X2+bx+c与

y二x的图象如图,有以下结论：

①bz-4c<0;②c-b+l=0;③3b+c+6=0;④

当l<x<3时,X2+(b-1)x+c<0.

其中正确结论的个数为()

A.1D.4

5.[2021?宜城市模拟〕如图是二次函数

y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=-l,\：I

且过点(-3,0)下列说法：弋・2"夕1

①abcVO；②2a-b=0；③4a+2b+cV0；④若1

(-5,y),(2,y)是抛物线上的两点，则y>y.

其中说法正确的选项是〔〕

A.①②B②③C②③④D.①②④

6.(2021?莆田质检)如图，二次函数y=X2+(2-m)

x+m-3的图象交y轴于负半轴,对称轴在y轴的右

侧，那么m的取值范围是〔)

A.m>2Bm<3Cm>3D.2<m<3

7.（2021?玉林一模）如图是二次函数

y=ax2+bx+c图象的一局部，图象过点A3,

对称轴为x=-l.给出四个结论:

①b2>4ac;②2a+b=0;③3a+c=0;@a+b+c=0.

其中正确结论的个数是〔

)

A.1个D.4个

8.（2021?乐山市中区模拟）如图，.抛物线.，9.（2021?齐齐哈尔二模）二次函数y=ax2+bx+c（a>0）的

y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1,0）,顶点坐标图象与x轴交于点〔-1,0）,%0）,且lVx«2,以下结论

为(1,n),与正确的个数为（）

y轴的交点在（0,2）、[0,3）之间（包含端①b<0;②c<0;®a+c<0;@4a-2b+c>0.

点）.有以下结论:

A.1个D.4个

1WaW2knW4

①当x>3时，y<0；②3a+b>0;®--；®3

其中正确的选项是（

10>[2021?重庆）抛物线y=ax2+bx+c（a

/0）在平面直角坐标系中的位置如下图，

A.①②B③④C①③D.①③④

那么以下结论中，正确的选项是1

）

A、a>0B>b<0C>c<0D>a+b+c>0

11、（2011?雅安）已知二次函数y=ax2+bx+c的

图象如图,其对称轴x=.l,给出以下结果①b2>4ac;②abc>0;

下说法:

③2a+b=0;④a+b+c>0;⑤a-b+cvO,那么正确的结论是（）

①c=0;②该抛物线的对称轴是直线x=-l;③当x=l时,y=2a;

A、①②③④B、②④⑤C、②③④D、①④⑤

④am2+bm+a>0（m=-l].

12、12021?孝感）如图，二次函数

♦i其中正确的个数是（）

y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶

点坐标为[12,1）,以下结论：①ac<0;T-------------V

/万'A.1B2C3D.4

②a+b=O;©4ac-b2=4a;®a+b+c<0.其中

正确结论的个数是1）

A、1B、2C、3D、4

考二次函数图象与系数的关系.

答案点:

1.（2021?威海）二次函数y=ax2+bx+c（a=0）的图象如图，那么以

・选择题（共9小题）分由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据对称轴及

析：抛物线与X轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.

解解：抛物线与y轴交于原点，

答：

c=0,（故①正确）；

该抛物线的对称轴是：二I坦二-L

直线X=l,〔故②正确）；

当x=l时,y=a+b+c

•••对称轴是直线x=-L

-b/2a=-1,b=2a,

y=3a,1故③错误)；

x二m对应的函数值为y=am2+bm+c,

x=-1对应的函数值为y=a-b+c,

又•••x二-1时函数取得最小值，

a-b+c<am2+bm+c,BPa-b<am2+bm,

Vb=2a,

.*.am2+bm+a>0(mW-1).〔故④正确).

应选：C.

点此题考查了二次函数图象与系数的关系•二次函数y=axz+bx+c

评：(aWO)系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴

的交点、抛物线与X轴交点的个数确定.

2.(2021?仙游县二模)二次函数y二ax外bx+c(aWO)的图象

如下图，给出以下结论：①a+b+c<0;②a-b+c<0;③b+2a<

0;©abc>0.其中所有正确结论的序号是〔)

A.③④B②③C①④D.①②③

*

考二次函数图象与系数的关系.

占.

八、、•

专数形结合.

题:

分由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判

析：断c的符号,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推

理,进而对所得结论进行判断.

解解：①当x=l时,y=a+b+c=O,故①错误；

答：

②当x=l时，图象与x轴交点负半轴明显大于T,

y=a-b+c<0,

故②正确；

③由抛物线的开口向下知a<0,

,对称轴为0<x=-上<1,

2a

,-2a+b<0,点二次函数y=ax2+bx+c系数符号确实定：

评：

故③正确；

(l)a由抛物线开口方向确定：开口方向向上,那么a>0;否那么

④对称轴为x=-上>0,a<02aa<0;

(2)b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x二-上判断符

2a

,a、b异号，即b>0,

号；

由图知抛物线与y轴交于正半轴，•一

c>0(3)c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴,那么c

>0;否那么c<0;

Aabc<0,

(4)当x=l时，可以确定y=a+b+c的值；当x=-l时，可以确

故④错误；

定y=a-b+c的值.

应选：B.

3.(2021?南阳二模)二次函数丫=2乂2+6乂+.的图象如下图，那么

关于此二次函数的以下四个结论：

®a<0;@c>0;③b2-4ac>0;®q<0中，正确的结论有况进行推理,进而对所得结论进行判断.

2b

()

解解：①，••图象开口向下，•♦•a<0;故本选项正确;

答：

A]B2C3②一•该二次函数的图象与y轴交于正半轴，•••c>0;故本选

项

正确;

考二次函数图象与系数的关系.③••-二次函数y=gx2+bx+c的图象与x轴有两个不相同交点,

根的判别式A=b2-4ac>0;故本选项正确;

④二•对称轴*=-上>(),•••包〈0;故本选项正确；2a2b

专数形结合.

综上所述,正确的结论有4个.

题:

应选D.

分由抛物线的开口方向判断a与。的关系，由抛物线与y轴的交

点此题主要考查了二次函数的图象和性质，解答此题关键是掌握

析：点判断c与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情

评：二次函数厂ax2+bx+c系数符号确实定，做题时要注意数形结合

思想的运用，同学们增强练习即可掌握,属于根底题.

4.12021?襄城区模拟)函数y=X2+bx+c与y=x的图象如图，有以

下结论：

①b2-4c<0;②c-b+1=0;③3b+c+6=0;④当l<x<3时，X2+(b-1)

x+c<0.

其中正确结论的个数为1)

A.1B2C3D.4

考二次函数图象与系数的关系.

占.

八、、•

分由函数y'+bx+c与x轴无交点，可得b2-4c<0;当x=-l时，

析：y=l-b+c>0;当x=3时，y=9+3b+c=3;当l<x<3时,二次函

数值小于一次函数值,可得X2+bx+cVx,继而可求得答案.

解解：；函数y=X2+bx+c与x轴无交点，

答：

.*.b2-4ac<0;

故①正确；

当x二T时，y=l-b+c〉0,

故②错误；

••，当x=3时,y=9+3b+c=3,

A3b+c+6=0;

③正确；

•♦-当lVx<3时，二次函数值小于一次函数值，

X2+bx+c<x,

X2+(b-1)x+c<0.

故④正确.

应选C.

点主要考查图象与二次函数系数之间的关系.此题难度适中，注

评：意掌握数形结合思想的应用.

5.(2021?宜城市模拟)如图是二次函数［axz+bx+c图象的一局部,

其对称轴为x=-l,且过点(-3,0)以下说法：

①abc<0;②2a-b=0;③4a+2b+c<0;④假设(-5,y),(2,y)

12

是抛物线上的两点，那么y>y.12

其中说法正确的选项是〔〕

A.①②B②③C②③④D.①②④

考二次函数图象与系数的关系.

占.

八、、•

分根据抛物线开口方向得到a>0,根据抛物线的对称轴得b=2a>

0,那么2a-b=0,那么可对②进行判断；根据抛物线与y轴的交点

析：在X轴下方得到c<0,那么abc<0,于是可对①进行判断；由于••・x=2时,y>0,

x=-2时,y<0,那么得到4a-2b+c<0,那么可对③进行判断；通

•••4a+2b+c>0,所以③错误；

过点Q5,yl）和点［2,y2）离对称轴的远近对④进行判断.

•••点（-5,yl）离对称轴要比点〔2.2）离对称轴要远，

解解：：•抛物线开口向上，

•••y>y,所以④正确.

答：IS

・•・a>0,

应选D.

•••抛物线对称轴为直线x=-也=-1,

2a

点此题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c

•b=2a>。,那么2计=0,所以②正确；评：［2=0）,二次项系数a决定抛物

线的开口方向和大小，当a

•••抛物线与y轴的交点在x轴下方，

>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数

和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同

,••c<0,6aab

号时（即ab>0）,对称轴在丫轴左；当a与b异号时（即ab

•・abcvO,所以①正确;

<0）,对称轴在y轴右.〔简称：左同右异）.抛物线与y轴交于（0,

c).抛物线与x轴交点个数：/=b2-4ac>0时，抛关于m的不等式，由图象交y轴于负半轴也可得到关于m的

物线与x轴有2个交点；A=b2-4ac=0时,抛物线与x轴有1析：不等式，再求两个不等式的公共局部即可得解.

个交点；A=b2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.

解解：,•・二次函数y=x2+(2-m)x+m-3的图象交y轴于负半轴，

6.(2021?莆田质检)如图，二次函数y=x2+(2-m)x+m-3的图答：

m-3<0,

象交y轴于负半轴,对称轴在y轴的右侧,那么m的取值范围是()

解得m<3,

A.m>2Bm<3Cm>3D.2Vm<3

•••对称轴在y轴的右侧，

.x=2iM〉0,

考二次函数图象与系数的关系.

解得m>2,

点:

.2<m<3.

应选：D.

分由于二次函数的对称轴在y轴右侧，根据对称轴的公式即可得到

况进行推理,进而对所得结论进行判断.

点此题主要考查了二次函数的性质,解题的关键是利用对称轴的

评：公式以及图象与y轴的交点解决问题.

解解：二•抛物线的开口方向向下，

答：

7.（2021?玉林一模）如图是二次函数丫=a*2+6乂+.图象的一局部，图

,••a<0;

象过点A（-3,0）,对称轴为x=-l,给出四个结论：

•••抛物线与x轴有两个交点,

®b2>4ac;②2a+b=0;@3a+c=0;④a+b+c=0.

...b2-4ac>0,即b2>4ac,①正确;

其中正确结论的个数是（）

由图象可知：对称轴x=-[=-l,

A.1个B2个C3个D.4个...2a=b,2a+b=4a,

考二次函数图象与系数的关系.点：：

分由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交

析：点判断c与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情

VaAO,

•••2a+bW0,②错误;

・••图象过点A(-3,0),

9a-3b+c=0,2a=b,

所以9a-6a+c=0,c=-3a,③正确；

・••抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,

Ac>0

由图象可知：当x=l时y=0,

a+b+c=O,④正确.

应选C.

点考查了二次函数图象与系数的关系,解答此题关键是掌握二次

评：函数y=ax2+bx+c(a/0)系数符号由抛物线开口方向、对称轴、

抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定.

8.12021?乐山市中区模拟〕如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于

点A（-1,0）,顶点坐标为[l,n),与

y轴的交点在［0,2）、（0,3）之间〔包含端点〕.有以下结论:

①当x>3时，y<0;②3a+b〉0;0-lWaW-4

33

其中正确的选项是〔）

A.①②B③④C①③D.①③④

考二次函数图象与系数的关系.④把顶点坐标代入函数解析式得到n=a+b+c=&,利用c的取值3

解解：①•••抛物线丫=@乂2+6乂+.与x轴交于点AGl,()),对称

答:轴直线是x=l,

•••该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(3,0),

分①由抛物线的对称轴为直线X=l,一个交点A(-l,0),得到

析：另一个交点坐标,利用图象即可对于选项①作出判断；

•••根据图示知，当x>3时,y<0.

②根据抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴方程求得b与a

故①正确；

的关系是b=-2a,将其代入(3@+6),并判定其符号；

②根据图示知,抛物线开口方向向下,那么a<0.

③根据两根之积上二-3,得到a=-二然后根据c的取值范围利a

3

A

用不等式的性质来求a的取值范围；,..对称轴乂=—=l,2a

•・b二一2a,

范围可以求得n的取值范围.

••-3a+b=3a-2a=a(0,艮口3a+b<0.

故②错误;

③,••抛物线与X轴的两个交点坐标分别是（-1,0）,（3,0）,

-1X3=-3,

-=-3,那么a=aJ

,•，抛物线与y轴的交点在