01-04-无穷小与无穷大

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第一章二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系一、无穷小第四节无穷小与无穷大当一、无穷小定义1.

若时,函数则称函数例如:函数当时为无穷小;函数时为无穷小;函数当为时的无穷小

.时为无穷小.说明:除0以外任何很小的常数都不是无穷小

!因为当时,显然C

只能是0!CC时,函数(或)则称函数为定义1.

若(或)则时的无穷小

.其中

为时的无穷小量.定理

.(无穷小与函数极限的关系)证:当时,有对自变量的其它变化过程类似可证.二、无穷大定义2

若任给

M>0,一切满足不等式的

x,总有则称函数当时为无穷大,

使对若在定义中将①式改为①则记作(正数X),记作总存在注意:1.无穷大不是很大的数,它描述的是函数一种性态.2.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!例如,

函数当但所以时,不是无穷大!例.证明证:

任给正数

M,要使即只要取则对满足的一切x,有所以若则直线为曲线的铅直渐近线.渐近线说明:三、无穷小与无穷大的关系若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大.则据此定理,关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.定理2.在自变量的同一变化过程中,说明:

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