新教材适用2023-2024学年高中数学第7章复数7.2复数的四则运算7.2.1复数的加减运算及其几何意义课件新人教A版必修第二册

第七章复数7.2复数的四则运算7.2.1复数的加、减运算及其几何意义必备知识•探新知关键能力•攻重难课堂检测•固双基素养目标•定方向素养目标•定方向熟练掌握复数的代数形式的加、减运算法则，理解复数加、减法的几何意义．通过本节课的学习，体会数学运算素养及数学抽象素养.必备知识•探新知

复数的加、减法运算法则

知识点

1设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝____________________，z1－z2＝____________________.(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)i复数加法的运算律

知识点

2(1)交换律：__________________；(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝__________________.z1＋z2＝z2＋z1z1＋(z2＋z3)[拓展]

1．对复数的加法法则的理解．(1)两个复数相加，类似于两个多项式相加：实部与实部相加，虚部与虚部相加．很明显，两个复数的和仍然是一个确定的复数．但是两个虚数之和不一定是一个虚数，如(－i)＋i＝0.(2)当z1，z2都是实数时，把它们看作复数时的和就是这两个实数的和．(3)复数的加法可以推广到多个复数相加的情形：各复数的实部分别相加，虚部分别相加．2．对复数的减法法则的理解．(1)两个复数相减，类似于两个多项式相减：把z＝a＋bi(a，b∈R)看成关于“i”的多项式，则复数的减法类似于多项式的减法，只需要“合并同类项”就可以了．(2)很明显，两个复数的差是一个确定的复数．但是两个虚数之差不一定是一个虚数，如(3＋2i)－2i＝3.3．运算律：实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立．实数的移项法则在复数中仍然成立．4．运算结果：两个复数的和(差)是唯一确定的复数．练一练：1．已知复数z1＝5＋3i，z2＝3－7i，则z1＋z2等于(

)A．－4i B．8C．8－4i D．2＋10i[解析]

z1＋z2＝5＋3i＋3－7i＝8－4i.2．已知复数z＋3i－3＝3－3i，则z＝(

)A．0 B．6iC．6 D．6－6i[解析]

∵z＋3i－3＝3－3i，∴z＝(3－3i)－(3i－3)＝6－6i.CD复数加、减法的几何意义

知识点

3A．－10＋8i B．10－8iC．0 D．10＋8iC复平面内两点间的距离

知识点

4想一想：类比绝对值|x－x0|的几何意，|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是什么？提示：|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是两个复数在复平面对应的点之间的距离.关键能力•攻重难

(1)(1＋2i)＋(7－11i)－(5＋6i)；(2)5i－[(6＋8i)－(－1＋3i)]；(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．[分析]

根据复数的加减运算法则即可求解．题|型|探|究题型一复数代数形式的加、减法运算典例1[解析]

(1)(1＋2i)＋(7－11i)－(5＋6i)＝(1＋7－5)＋(2－11－6)i＝3－15i.(2)5i－[(6＋8i)－(－1＋3i)]＝5i－(7＋5i)＝－7.(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i＝－a＋(4b－3)i(a，b∈R)．[归纳提升]

复数加、减运算的法则(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部．(2)复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项)：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算．

计算：(1)(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)；(2)(i2＋i)＋|i|＋(1＋i)．[解析]

(1)原式＝[(5－2)＋(－6－1)i]－(3＋4i)＝(3－7i)－(3＋4i)＝(3－3)＋(－7－4)i＝－11i.(2)原式＝(－1＋i)＋1＋(1＋i)＝(－1＋1＋1)＋(1＋1)i＝1＋2i.对点练习❶题型二复数加、减法及复数模的几何意义

如图，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应复数分别为0,3＋2i，－2＋4i，试求：典例2[分析]

要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量的相等直接给出所求的结论．[归纳提升]

利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．

已知四边形ABCD是复平面上的平行四边形，顶点A，B，C分别对应于复数－5－2i，－4＋5i,2，求点D对应的复数及对角线AC，BD的长．对点练习❷[解析]

如图，因为AC与BD的交点M是各自的中点，题型三复数加法、减法几何意义的应用

(1)如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是(

)典例3A[分析]

涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．[解析]

(1)设复数－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2.问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|＝1.所以|z＋i＋1|min＝1.所以|z|max＝2＋1＝3，|z|min＝2－1＝1.[归纳提升]

两个复数差的模的几何意义(1)|z－z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式．(2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆．

若本例(2)条件改为已知|z|＝1且z∈C，求|z－2－2i|(i为虚数单位)的最小值．[解析]

因为|z|＝1且z∈C，作图如图：对点练习❸易|错|警|示误解复数加法、减法的几何意义

A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角形AOB一定是(

)A．等腰三角形

B．直角三角形C．等边三角形

D．等腰直角三角形[错解]

A典例4B

△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的(

)A．外心

B．内心C．重心

D．垂心[解析]

由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A、B、C距离相等，∴P为△ABC的外心．对点练习❹A课堂检测•固双基1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1－z2＝(

)A．8i B．6C．6＋8i D．6－8i[解析]

∵复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，∴z1－z2＝(3＋4i)－(3－4i)＝8i.AA．4＋7i B．1＋3iC．4－4i D．－1＋6iC3．(多选题)下面关于|(3＋2i)－(1＋i)|的说法表述正确的是(

)A．点(3,2)与点(1,1)之间的距离B．点(3,2)与点(－1，－1)之间的距离C．点(2,1)到原点的距离D．坐标为(－2，－1)的向量的模[解析]

由复数的几何意义，知复数(3＋2i)，(1＋i)分别对应复平面内的点(3,2)与点(1,1)，所以|(3＋2i)－(1＋i)|表示点(3,2)与点(1,1)之间的距离，故A正确；(3＋2i)－(1＋i)＝2＋i，与向量(2,1)一一对应，(1＋i)－(3＋2i)＝－2－i，与向量(－2，－1)一一对应，故C、D正确．ACD4．如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1＋2i，－2＋i,0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为(

)A．3＋i B．3－iC．1－3i D．－1＋3iD5．设复数z1，z2在复平面内的对应点分别为A，B，若点A与B关于实轴对称，且2z1