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第一章逻辑代数根底2024/1/101另一形状一种形状一、逻辑代数〔布尔代数、开关代数〕逻辑：事物因果关系的规律逻辑函数:逻辑自变量和逻辑结果的关系逻辑变量取值：0、1分别代表两种对立的形状高电平低电平真假是非有无……1001概述2024/1/102二、二进制数表示法1.十进制〔Decimal〕--逢十进一数码：0~9位权：2.二进制〔Binary〕--逢二进一数码：0，1位权：2024/1/1033.八进制〔Octal〕--逢八进一数码：0~7位权：4.十六进制(Hexadecimal)--逢十六进一数码：0~9,A(10),B(11),C(12),D(13),E(14),F(15)位权：恣意(N)进制数展开式的普遍方式：—第i位的系数—第i位的权2024/1/1045.几种常用进制数之间的转换(1)二-十转换：将二进制数按位权展开后相加(2)十-二转换：整数的转换--连除法26213余数2062132021101除基数得余数作系数从低位到高位2024/1/1050.812521.625021.250020.5000取整1100.62500.2500乘基数取整数作系数从高位到低位小数的转换--连乘法快速转换法：拆分法(26)10=16+8+2=24+23+21=(11010)2假设小数在连乘多次后不为0，普通按照准确度要求(如小数点后保管n位)得到n个对应位的系数即可。21.000011684212024/1/106(3)二-八转换:57(4)八-二转换:每位8进制数转换为相应3位二进制数011001.100111每3位二进制数相当一位8进制数011111101.1101000002341.0622024/1/107〔5〕二-十六转换：每4位二进制数相当一位16进制数A1〔6〕十六-二转换：每位16进制数换为相应的4位二进制数2024/1/108编码：用二进制数表示文字、符号等信息的过程。二进制代码：编码后的二进制数。用二进制代码表示十个数字符号0~9，又称为BCD码〔BinaryCodedDecimal〕几种常见的BCD代码：8421码余3码2421码5211码余3循环码其他代码：ISO码，ASCII〔美国信息交换规范代码〕三、二进制代码二-十进制代码：2024/1/1090十进制数1234567898421码余3码2421(A)码5211码余3循环码00000001001000110100010101100111100010010011010001010110100010011010101111000000000100100011010010111100110111101111011100000001010001000101010101111000100111001101110111111111001001100111110011101010权842124215211几种常见的BCD代码2024/1/10101.1.1根本和常用逻辑运算一、三种根本逻辑运算1.与逻辑：当决议一事件的一切条件都具备时，事件才发生的逻辑关系。功能表1.1根本概念、公式和定理灭灭灭亮断断断合合断合合与逻辑关系开关A开关B灯Y电源ABY2024/1/1011真值表〔Truthtable〕逻辑函数式与门〔ANDgate)逻辑符号与逻辑的表示方法：ABY&000100011011功能表灭灭灭亮断断断合合断合合ABYABY2024/1/10122.或逻辑：决议一事件结果的诸条件中，只需有一个或一个以上具备时，事件就会发生的逻辑关系。或门〔ORgate)或逻辑关系开关A开关B灯Y电源真值表逻辑函数式逻辑符号011100011011ABYABY≥12024/1/10133.非逻辑：只需条件具备，事件便不会发生；条件不具备，事件一定发生的逻辑关系。真值表逻辑函数式逻辑符号非门〔NOTgate)非逻辑关系1001AY1开关A灯Y电源RAY2024/1/1014二、逻辑变量与逻辑函数及常用复合逻辑运算1.逻辑变量与逻辑函数在逻辑代数中，用英文字母表示的变量称为逻辑变量。在二值逻辑中，变量的取值不是1就是0。逻辑函数：假设输入逻辑变量A、B、C∙∙∙的取值确定之后，输出逻辑变量Y的值也被独一确定，那么称Y是A、B、C∙∙∙的逻辑函数。并记作原变量和反变量：字母上面无反号的称为原变量，有反号的叫做反变量。逻辑变量：2024/1/1015(1)与非逻辑(NAND)(2)或非逻辑(NOR)(3)与或非逻辑(AND–OR–INVERT)(真值表略)111000011011AB&10002.几种常用复合逻辑运算ABY1Y2Y1、Y2的真值表AB≥1AB&CD≥12024/1/1016(4)异或逻辑(Exclusive—OR)(5)同或逻辑(Exclusive—NOR)(异或非)AB=1011000011011AB=1=A⊙BABY4100100011011ABY52024/1/10173.逻辑符号对照曾用符号美国符号ABYABYABYAAY国标符号AB&A1ABYAB≥12024/1/1018国标符号曾用符号美国符号AB&ABYABYABYAB=1ABABYABYAB≥12024/1/1019或：0+0=01+0=11+1=1与：0·0=00·1=01·1=1非：二、变量和常量的关系(变量：A、B、C…)或：A+0=AA+1=1与:A·0=0A·1=A非：1.1.2公式和定理一、常量之间的关系(常量：0和1)2024/1/1020三、与普通代数类似的定理交换律结合律分配律[例1.1.1]证明公式[解]方法一：公式法2024/1/1021证明公式方法二：真值表法(将变量的各种取值代入等式两边，进展计算并填入表中)ABC0000010100111001011101110001000100011111000111110011111101011111相等2024/1/1022四、逻辑代数的一些特殊定理同一概A+A=AA·A=A复原律[例1.1.2]证明：德摩根定理AB0001101100011110110010101110011110001000相等相等德摩根定理2024/1/1023将Y式中“.〞换成“+〞,“+〞换成“.〞“0〞换成“1〞,“1〞换成“0〞原变量换成反变量，反变量换成原变量五、关于等式的三个规那么1.代入规那么：等式中某一变量都代之以一个逻辑函数，那么等式依然成立。例如，知(用函数A+C替代A)那么2.反演规那么：不属于单个变量上的反号应保管不变运算顺序：括号乘加留意:2024/1/1024例如：知反演规那么的运用：求逻辑函数的反函数那么将Y式中“.〞换成“+〞,“+〞换成“.〞“0〞换成“1〞,“1〞换成“0〞原变量换成反变量，反变量换成原变量知那么运算顺序：括号与或不属于单个变量上的反号应保管不变2024/1/10253.对偶规那么：假设两个表达式相等，那么它们的对偶式也一定相等。将Y中“.〞换成“+〞,“+〞换成“.〞“0〞换成“1〞,“1〞换成“0〞例如对偶规那么的运用：证明等式成立0·0=01+1=1运算顺序：括号与或2024/1/1026六、假设干常用公式推行2024/1/1027公式(4)证明：推论公式(5)证明：即=A⊙B同理可证A⊙B2024/1/1028七、关于异或运算的一些公式异或同或A⊙B(1)交换律(2)结合律(3)分配律(4)常量和变量的异或运算(5)因果互换律假设那么有=A⊙BA⊙B2024/1/1029一、规范与或表达式1.2逻辑函数的化简方法1.2.1逻辑函数的规范与或式和最简式规范与或式规范与或式就是最小项之和的方式最小项2024/1/10301.最小项的概念：包括一切变量的乘积项，每个变量均以原变量或反变量的方式出现一次。(2变量共有4个最小项)(4变量共有16个最小项)(n变量共有2n个最小项)……(3变量共有8个最小项)2024/1/10312.最小项的性质：0000000100000010000001000000100000010000001000000100000010000000000001010011100101110111ABC(1)任一最小项，只需一组对应变量取值使其值为1；(2)恣意两个最小项的乘积为0；(3)全体最小项之和为1。2024/1/10323.最小项的编号：把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之相应的十进制数，就是该最小项的编号，用mi表示。对应规律：原变量1反变量000000101001110010111011101234567m0m1m2m3m4m5m6m72024/1/10334.最小项是组成逻辑函数的根本单元任何逻辑函数都是由其变量的假设干个最小项构成，都可以表示成为最小项之和的方式。[例]写出以下函数的规范与或式：[解]或m6m7m1m32024/1/1034[例]写出以下函数的规范与或式：m7m6m5m4m1m0m8m0与前面m0相重2024/1/1035最简或与式最简与或非式二、逻辑函数的最简表达式及相互转换最简与或式最简与非-与非式最简或与非式最简或非-或非式最简或非-或式中心2024/1/10361.2.2逻辑函数的公式化简法一、并项法:[例1.2.8][例]〔与或式最简与或式〕公式定理2024/1/1037二、吸收法：[例1.2.10][例][例1.2.11]2024/1/1038三、消去法：[例][例1.2.13]2024/1/1039四、配项消项法：或或[例][例1.2.15]冗余项冗余项2024/1/1040综合练习：2024/1/10411.2.3逻辑函数的图形化简法一、逻辑变量的卡诺图(Karnaughmaps)卡诺图：1.二变量的卡诺图最小项方格图(按循环码陈列)(四个最小项)ABAB0101AB01012024/1/10422.变量卡诺图的画法三变量的卡诺图：八个最小项ABC01000110111110卡诺图的本质：逻辑相邻几何相邻逻辑不相邻逻辑相邻逻辑相邻紧挨着行或列的两头对折起来位置重合逻辑相邻：两个最小项只需一个变量不同逻辑相邻的两个最小项可以合并成一项，并消去一个因子。如：m0m1m2m3m4m5m6m72024/1/1043五变量的卡诺图：四变量的卡诺图：十六个最小项ABCD0001111000011110当变量个数超越六个以上时，无法运用图形法进展化简。ABCDE00011110000001011010110111101100以此轴为对称轴〔对折后位置重合〕m0m1m2m3m4m5m6m7m12m13m14m15m8m9m10m11m0m1m2m3m8m9m10m11m24m25m26m27m16m17m18m19m6m7m4m5m14m15m12m13m30m31m28m29m22m23m20m21几何相邻几何相邻几何相邻三十二个最小项2024/1/10443.卡诺图的特点：用几何相邻表示逻辑相邻(1)几何相邻：相接—紧挨着相对—行或列的两头相重—对折起来位置重合(2)逻辑相邻：例如两个最小项只需一个变量不同化简方法：卡诺图的缺陷：函数的变量个数不宜超越6个。逻辑相邻的两个最小项可以合并成一项，并消去一个因子。2024/1/10454.卡诺图中最小项合并规律：(1)两个相邻最小项合并可以消去一个因子ABC01000111100432ABCD000111100001111019462024/1/1046(2)四个相邻最小项合并可以消去两个因子ABCD000111100001111004128321011ABCD0001111000011110571315BD028102024/1/1047(3)八个相邻最小项合并可以消去三个因子ABCD000111100001111004128321011ABCD0001111000011110571315B02810151394612142n个相邻最小项合并可以消去n个因子总结：2024/1/1048二、逻辑函数的卡诺图表示法1.根据变量个数画出相应的卡诺图；2.将函数化为最小项之和的方式；3.在卡诺图上与这些最小项对应的位置上填入1，其他位置填0或不填。[例]ABC0100011110111100002024/1/1049三、用卡诺图化简逻辑函数化简步骤:(1)画函数的卡诺图(2)合并最小项：画包围圈(3)写出最简与或表达式[例1.2.20]ABCD000111100001111011111111[解]2024/1/1050ABCD000111100001111011111111画包围圈的原那么：(1)先圈孤立项，再圈仅有一种合并方式的最小项。(2)圈越大越好，但圈的个数越少越好。(3)最小项可反复被圈，但每个圈中至少有一个新的最小项。(4)必需把组成函数的全部最小项圈完，并做仔细比较、检查才干写出最简与或式。不正确的画圈2024/1/1051[例][解](1)画函数的卡诺图ABCD000111100001111011111111(2)合并最小项：画包围圈(3)写出最简与或表达式多余的圈留意：先圈孤立项利用图形法化简函数2024/1/1052利用图形法化简函数[例][解](1)画函数的卡诺图ABCD00011110000111101111111111(2)合并最小项：画包围圈(3)写出最简与或表达式2024/1/1053[例]用图形法求反函数的最简与或表达式[解](1)画函数的卡诺图ABC010001111011110000(2)合并函数值为0的最小项(3)写出Y的反函数的最简与或表达式2024/1/10541.2.4具有约束的逻辑函数的化简一、约束的概念和约束条件(1)约束：输入变量取值所受的限制例如，逻辑变量A、B、C，分别表示电梯的升、降、停命令。A=1表示升，B=1表示降，C=1表示停。ABC的能够取值(2)约束项：不会出现的变量取值所对应的最小项。不能够取值0010101000000111011101111.约束、约束项、约束条件2024/1/1055(3)约束条件：(2)在逻辑表达式中，用等于0的条件等式表示。000011101110111由约束项相加所构的值为0的逻辑表达式。约束项：约束条件：或2.约束条件的表示方法(1)在真值表和卡诺图上用叉号(╳)表示。例如，上例中ABC的不能够取值为2024/1/1056二、具有约束的逻辑函数的化简[例]化简逻辑函数化简步骤:(1)画函数的卡诺图，顺序为：ABCD0001111000011110先填10111000000(2)合并最小项，画圈时╳既可以当1，又可以当0(3)写出最简与或表达式[解]╳2024/1/1057[例]化简逻辑函数约束条件[解](1)画函数的卡诺图ABCD00011110000111101111(2)合并最小项(3)写出最简与或表达式合并时，终究把╳作为1还是作为0应以得到的包围圈最大且个数最少为原那么。包围圈内都是约束项无意义(如下图)。留意：2024/1/10581.3逻辑函数的表示方法及其相互之间的转换1.3.1几种表示函数的方法一、逻辑表达式优点：书写简约方便，易用公式和定理进展运算、变换。缺陷：逻辑函数较复杂时，难以直接从变量取值看出函数的值。2024/1/1059二、