2024届湖南省湘潭县一中、双峰一中、邵东一中、永州四中数学高一第二学期期末预测试题含解析

2024届湖南省湘潭县一中、双峰一中、邵东一中、永州四中数学高一第二学期期末预测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．经过点，斜率为2的直线在y轴上的截距为（）A． B． C．3 D．52．如图，在矩形中，，,点为的中点，点在边上，点在边上，且，则的最大值是()A． B． C． D．3．已知，且，，则（）A． B． C． D．4．已知点，，则与向量方向相同的单位向量为（）A． B． C． D．5．在中，已知，且满足，则的面积为（）A．1 B．2 C． D．6．若函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度变换得到，则的解析式是（）A． B．C． D．7．如图，是的直观图，其中轴，轴，那么是（）A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形8．如图是函数的部分图象，则下列命题中，正确的命题序号是①函数的最小正周期为②函数的振幅为③函数的一条对称轴方程为④函数的单调递增区间是⑤函数的解析式为A．③⑤ B．③④ C．④⑤ D．①③9．过两点A，B(，的直线倾斜角是，则的值是（）A．B．3C．1D．10．四边形，，，，则的外接圆与的内切圆的公共弦长（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．设，用，表示所有形如的正整数集合，其中且，为集合中的所有元素之和，则的通项公式为_______12．函数的定义域为_____________．13．设为实数，为不超过实数的最大整数，如，.记，则的取值范围为，现定义无穷数列如下：，当时，；当时，，若，则________.14．设当时，函数取得最大值，则______.15．已知是定义在上的奇函数，对任意实数满足，，则________.16．已知数列的通项公式，那么使得其前项和大于7.999的的最小值为______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，在四棱锥中，，底面是矩形，侧面底面,是的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面.18．已知函数.（1）求函数的定义域；（2）当为何值时，等式成立？19．已知的三个内角，，的对边分别为，，，函数，且当时，取最大值.（1）若关于的方程，有解，求实数的取值范围；（2）若，且，求的面积.20．的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．21．已知向量，．（1）若，在集合中取值，求满足的概率；（2）若，在区间内取值，求满足的概率．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

写出直线的点斜式方程，再将点斜式方程化为斜截式方程即可得解.【题目详解】因为直线经过点，且斜率为2，故点斜式方程为：，化简得：，故直线在y轴上的截距为.故选：B.【题目点拨】本题考查直线的方程，解题关键是应熟知直线的五种方程形式，属于基础题,2、A【解题分析】

把线段最值问题转化为函数问题，建立函数表达式，从而求得最值.【题目详解】设，，，，，，，，，，的最大值是.故选A.【题目点拨】本题主要考查函数的实际应用，建立合适的函数关系式是解决此题的关键，意在考查学生的分析能力及数学建模能力.3、C【解题分析】

根据同角三角函数的基本关系及两角和差的正弦公式计算可得.【题目详解】解：因为，．因为，所以．因为，，所以．所以．故选：【题目点拨】本题考查同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦公式，属于中档题.4、A【解题分析】

由题得，设与向量方向相同的单位向量为，其中，利用列方程即可得解.【题目详解】由题可得：，设与向量方向相同的单位向量为，其中，则，解得：或（舍去）所以与向量方向相同的单位向量为故选A【题目点拨】本题主要考查了单位向量的概念及方程思想，还考查了平面向量共线定理的应用，考查计算能力，属于较易题．5、D【解题分析】

根据正弦定理先进行化简，然后根据余弦定理求出C的大小，结合三角形的面积公式进行计算即可．【题目详解】在中，已知，∴由正弦定理得，即，∴＝＝，即＝.∵，∴的面积．故选D．【题目点拨】本题主要考查三角形面积的计算，结合正弦定理余弦定理进行化简是解决本题的关键,属于基础题．6、A【解题分析】

先化简函数，然后再根据图象平移得．【题目详解】由已知，∴．故选A．【题目点拨】本题考查两角和的正弦公式，考查三角函数的图象平移变换，属于基础题．7、D【解题分析】

利用斜二测画法中平行于坐标轴的直线，平行关系不变这个原则得出的形状．【题目详解】在斜二测画法中，平行于坐标轴的直线，平行关系不变，则在原图形中，轴，轴，所以，，因此，是直角三角形，故选D．【题目点拨】本题考查斜二测直观图还原，解题时要注意直观图的还原原则，并注意各线段长度的变化，考查分析能力，属于基础题．8、A【解题分析】

根据图象求出函数解析式，根据三角函数型函数的性质逐一判定．【题目详解】由图象可知，，最大值为，，因为图象过点，，由，即可判定错，正确，由得对称轴方程为，，故正确；由，，，函数的单调递增区间是，故错；故选：A【题目点拨】本题主要考查了根据图象求正弦型函数函数的解析式，及正弦型函数的性质，属于中档题．9、C【解题分析】试题分析：根据直线斜率的计算式有,解得．考点：直线斜率的计算式．10、C【解题分析】

以为坐标原点，以为轴，轴建立平面直角坐标系，求出的外接圆与的内切圆的方程，两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，求出弦心距，进而可得公共弦长.【题目详解】解：以为坐标原点，以为轴，轴建立平面直角坐标系，过作交于点，则，故，则为等边三角形，故，的外接圆方程为，①的内切圆方程为，②①-②得两圆的公共弦所在直线方程为:,的外接圆圆心到公共弦的距离为，公共弦长为，故答案为：C.【题目点拨】本题考查两圆公共弦长的求解，关键是要求出两圆的公共弦所在直线方程，将两圆方程作差即可得到，是中档题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

把集合中每个数都表示为2的0到的指数幂相加的形式，并确定，，，，每个数都出现次，于是利用等比数列求和公式计算，可求出数列的通项公式．【题目详解】由题意可知，，，，是0，1，2，，的一个排列，且集合中共有个数，若把集合中每个数表示为的形式，则，，，，每个数都出现次，因此，，故答案为：．【题目点拨】本题以数列新定义为问题背景，考查等比数列的求和公式，考查学生的理解能力与计算能力，属于中等题．12、【解题分析】函数的定义域为故答案为13、【解题分析】

根据已知条件，计算数列的前几项，观察得出无穷数列呈周期性变化，即可求出的值。【题目详解】当时，，，，，……，无穷数列周期性变化，周期为2，所以。【题目点拨】本题主要考查学生的数学抽象能力，通过取整函数得到数列，观察数列的特征，求数列中的某项值。14、；【解题分析】f(x)＝sinx－2cosx＝＝sin(x－φ)，其中sinφ＝，cosφ＝，当x－φ＝2kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cosθ＝－sinφ＝－.15、【解题分析】

由奇函数的性质得出，由题中等式可推出函数是以为周期的周期函数，再利用周期性和奇偶性求出的值.【题目详解】函数是定义在上的奇函数，则，且对任意实数满足，，所以，函数是以为周期的周期函数，，，因此，，故答案为：.【题目点拨】本题考查抽象函数求值，利用题中条件推导出函数的周期是解题的关键，在计算时充分利用函数的周期性将自变的值的绝对值变小，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题.16、1【解题分析】

直接利用数列的通项公式，建立不等式，解不等式求出结果．【题目详解】解：数列的通项公式，则：，所以：当时，即：，当时，成立，即：的最小值为1．故答案为：1【题目点拨】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解题分析】

（1）利用即可证明；（2）由面面垂直的性质即可证明．【题目详解】证明：（1）在四棱锥中，底面是矩形，，又平面，平面；平面；（2）侧面底面，侧面平面，，平面，平面【题目点拨】本题考查了空间线面平行、垂直的证明，属于基础题.18、（1）；（2）.【解题分析】

（1）根据对数的真数大于零，得出，解出该不等式即可得出函数的定义域；（2）根据对数的运算性质可得出关于的方程，解出即可.【题目详解】（1）由，得，所以，函数定义域为；（2）由，得，即，可得：，即，即，或，由于，得，所以，不合题意，所以，当时，等式成立.【题目点拨】本题考查了对数运算以及简单的对数方程的求解，解题时不要忽略真数大于零这一条件的限制，考查运算求解能力，属于基础题.19、（1）；（2）.【解题分析】

（1）利用两角和差的正弦公式整理可得：，再利用已知可得：（），结合已知可得：，求得：时，，问题得解.（2）利用正弦定理可得：，结合可得：，对边利用余弦定理可得：，结合已知整理得：，再利用三角形面积公式计算得解.【题目详解】解：（1）.因为在处取得最大值，所以，,即.因为，所以，所以.因为，所以所以，因为关于的方程有解，所以的取值范围为．（2）因为，，由正弦定理，于是．又，所以.由余弦定理得：，整理得：，即，所以，所以.【题目点拨】本题主要考查了两角和、差的正弦公式应用，还考查了三角函数的性质及方程与函数的关系，还考查了正弦定理、余弦定理的应用及三角形面积公式，考查计算能力及转化能力，属于中档题．20、(1);(2).【解题分析】

(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得.(2)根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域.【题目详解】(1)根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得．，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.(2)因为是锐角三角形，由（1）知，得到，故，解得.又应用正弦定理，，由三角形面积公式有：.又因,故，故.故的取值范围是【题目点拨】这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查是锐角三角形这个条件的利用．考查的很全面，是一道很好的考题.21、（1）（2）【解题分析】

（1）首先求出包含的基本事件个数，由，由向