2024届云南师范大学实验中学高一数学第二学期期末学业质量监测试题含解析

2024届云南师范大学实验中学高一数学第二学期期末学业质量监测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知集合，，则A． B． C． D．2．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的等于（）．A． B． C． D．3．已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A． B． C． D．4．某林区改变植树计划，第一年植树增长率200%，以后每年的植树增长率都是前一年植树增长率的12，若成活率为100%，经过4A．14 B．454 C．65．直线与圆相交于两点，则弦长（）A． B．C． D．6．已知奇函数满足，则的取值不可能是（）A．2 B．4 C．6 D．107．在中，已知，那么一定是（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形8．函数的最大值是（）A． B． C． D．9．的内角的对边分别为,边上的中线长为,则面积的最大值为（）A． B． C． D．10．某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，……，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取50名学生进行体质测验.若66号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（）A．16 B．226 C．616 D．856二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若，方程的解为______.12．若正实数，满足，则的最小值是________.13．己知某产品的销售额y与广告费用x之间的关系如表：单位：万元01234单位：万元1015203035若求得其线性回归方程为，则预计当广告费用为6万元时的销售额为_____14．已知为等差数列，为其前项和，若，则，则______．15．函数的定义域是________16．设数列满足，且，则数列的前n项和_______________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，在长方体中，，点为的中点．（1）求证：直线平面；（2）求证：平面平面；（3）求直线与平面的夹角．18．已知数列的前项和为，点在直线上.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.19．某高校自主招生一次面试成绩的茎叶图和频率分布直方图均收到了不同程度的损坏，其可见部分信息如下，据此解答下列问题：（1）求参加此次高校自主招生面试的总人数、面试成绩的中位数及分数在内的人数；（2）若从面试成绩在内的学生中任选三人进行随机复查，求恰好有二人分数在内的概率.20．如图，在三棱柱中，平面平面，，，为棱的中点.(1)证明:；(2)求点到平面的距离.21．已知向量，.（1若，求实数的值：（2）若，求实数的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】分析：由题意先解出集合A,进而得到结果。详解：由集合A得,所以故答案选C.点睛：本题主要考查交集的运算，属于基础题。2、C【解题分析】从21开始，输出的数是除以3余2，除以5余3，满足条件的是23，故选C.3、B【解题分析】

利用椭圆的性质列出不等式求解即可．【题目详解】方程1表示焦点在y轴上的椭圆，可得，解得1＜m．则m的取值范围为：（1，）．故选B．【题目点拨】本题考查椭圆的方程及简单性质的应用，基本知识的考查．4、B【解题分析】

由题意知增长率形成以首项为2，公比为12的等比数列，从而第n年的增长率为12n-2，则第n【题目详解】由题意知增长率形成以首项为2，公比为12的等比数列，从而第n年的增长率为1则第n年的林区的树木数量为an∴a1=3a0，a因此，经过4年后，林区的树木量是原来的树木量的454【题目点拨】本题考查数列的性质和应用，解题的关键在于建立数列的递推关系式，然后逐项进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.5、D【解题分析】试题分析：圆心到直线的距离为，所以弦长为.考点：直线与圆的位置关系．6、B【解题分析】

由三角函数的奇偶性和对称性可求得参数的值.【题目详解】由是奇函数得又因为得关于对称，所以，解得所以当时，得A答案；当时，得C答案；当时，得D答案；故选B.【题目点拨】本题考查三角函数的奇偶性和对称性，属于基础题.7、B【解题分析】

先化简sinAcosB＝sinC=，即得三角形形状.【题目详解】由sinAcosB＝sinC得所以sinBcosA=0,因为A,B∈（0，π），所以sinB＞0，所以cosA=0,所以A=,所以三角形是直角三角形.故答案为A【题目点拨】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.8、B【解题分析】

令，再计算二次函数定区间上的最大值。【题目详解】令则【题目点拨】本题考查利用换元法将计算三角函数的最值转化为计算二次函数定区间上的最值。属于基础题。9、D【解题分析】

作出图形，通过和余弦定理可计算出，于是利用均值不等式即可得到答案.【题目详解】根据题意可知，而，同理，而，于是，即，又因为，代入解得.过D作DE垂直于AB于点E，因此E为中点，故，而，故面积最大值为4，答案为D.【题目点拨】本题主要考查解三角形与基本不等式的相关综合，表示出三角形面积及使用均值不等式是解决本题的关键，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度较大.10、B【解题分析】

抽样间隔为，由第三组中的第6个数被抽取到，结合226是第12组中的第6个数，从而可得结果．【题目详解】从这些新生中用系统抽样方法等距抽取50名学生进行体质测验,抽样间隔为，号学生被抽到，第四组中的第6个数被抽取到，226是第12组中的第6个数，被抽到,故选：B.【题目点拨】本题主要考查系统抽样的性质，确定抽样间隔是解题的关键，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

运用指数方程的解法，结合指数函数的值域，可得所求解．【题目详解】由，即，因，解得，即.故答案：.【题目点拨】本题考查指数方程的解法，以及指数函数的值域，考查运算能力，属于基础题.12、【解题分析】

将配凑成，由此化简的表达式，并利用基本不等式求得最小值.【题目详解】由得，所以.当且仅当，即时等号成立.故填：.【题目点拨】本小题主要考查利用基本不等式求和式的最小值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.13、【解题分析】

由已知表格中数据求得，，再由回归直线方程过样本中心点求得，得到回归方程，取即可求得答案．【题目详解】解：，，，．则，取，得．故答案为：【题目点拨】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．14、【解题分析】

利用等差中项的性质求出的值，再利用等差中项的性质求出的值.【题目详解】由等差中项的性质可得，得，由等差中项的性质得，.故答案为：.【题目点拨】本题考查等差数列中项的计算，充分利用等差中项的性质进行计算是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.15、【解题分析】

根据的值域为求解即可.【题目详解】由题.故定义域为.故答案为：【题目点拨】本题主要考查了反三角函数的定义域,属于基础题型.16、【解题分析】令三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见证明；(2)见证明；(3)【解题分析】

（1）连接，交于，则为中点，连接OP，可证明，从而可证明直线平面；（2）先证明AC⊥BD，，可得到平面，然后结合平面，可知平面平面；（3）连接，由（2）知，平面平面，可知即为与平面的夹角，求解即可.【题目详解】（1）证明：连接，交于，则为中点，连接OP，∵P为的中点，∴，∵OP⊂平面，⊄平面，∴平面；（2）证明：长方体中，，底面是正方形，则AC⊥BD，又⊥面，则．∵⊂平面，⊂平面，，∴平面．∵平面，∴平面平面；（3）解：连接，由（2）知，平面平面，∴即为与平面的夹角，在长方体中，∵，∴．在中，．∴直线与平面的夹角为．【题目点拨】本题考查了线面平行、面面垂直的证明，考查了线面角的求法，考查了学生的空间想象能力和计算求解能力，属于中档题.18、（1）（2）【解题分析】

（1）先由题意得到，求出，再由，作出，得到数列为等比数列，进而可求出其通项公式；（2）先由（1）得到，再由错位相减法，即可求出结果.【题目详解】解：（1）由题可得.当时，，即.由题设，，两式相减得.所以是以2为首项，2为公比的等比数列，故.（2）由（1）可得，所以，.两边同乘以得.上式右边错位相减得.所以.化简得.【题目点拨】本题主要考查求数列的通项公式，以及数列的前项和，熟记等比数列的通项公式与求和公式，以及错位相减法求数列的和即可，属于常考题型.19、（1）；；（2）0.6【解题分析】

(1)从分数落在,的频率为,人数为2,求出总人数的值,从而求出面试成绩的中位数及分数在,内的人数;(2)用列举法列出所有可能结果,确定其中符合要求的事件,即可求出概率.【题目详解】(1)∵分数落在的频率为,人数为2,∴,故,∵分数在的人数为15人,∴分数在的人数为人,又∵分数在的人数为人,∴分数在的人数为人,面试成绩的中位数为分;(2)由(1)知分数在的有5人,分数在内的有3人,记分数在的5人为1,2,3,4,5号,分数在内的3人为1,2,3号,则从这5人中任选3人的基本事件为:123,124,125,134,135,145,234,235,245,345,共10种方式;其中恰有2人的分数在内的基本事件为:124,125,134,135,234,235,共6种方式,所以所求概率为.【题目点拨】本题考查频率分布直方图和茎叶图的综合应用,考查古典概型的概率求法,属于基础题.20、(1)见解析；(2)【解题分析】

（1）作为棱的中点，连结，，通过证明平面可得.（2）根据等体积法：可求得.【题目详解】(1)证明:连接，.∵，，∴是等边三角形.作为棱的中点，连结，，∴.∵平面平面，平面平面，平面，∴平面.∵平面，∴.∵，∴是菱形.∴.又，分别为，的中点，∴，∴.又，∴平面.又平面，∴.(2)解:连接，∵，，∴为正三角形.∵为