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文档简介
2024届福建省云霄立人学校数学高一下期末教学质量检测试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:“一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯多少?”现有类似问题:一座5层塔共挂了363盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍,则塔的底层共有灯A.81盏 B.112盏 C.162盏 D.243盏2.掷两颗均匀的骰子,则点数之和为5的概率等于()A. B. C. D.3.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图,若输入的a,b分别为5,2,则输出的()A.5 B.4 C.3 D.94.在中,内角,,的对边分别为,,,且,,为的面积,则的最大值为()A.1 B.2 C. D.5.设,,,则,,的大小关系是()A. B. C. D.6.若向量,,则()A. B. C. D.7.若某扇形的弧长为,圆心角为,则该扇形的半径是()A. B. C. D.8.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示,为了了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()A., B., C., D.,9.函数的单调增区间是()A. B.C. D.10.已知在等差数列中,的等差中项为,的等差中项为,则数列的通项公式()A. B.-1 C.+1 D.-3二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11.已知向量,满足,且在方向上的投影是,则实数_______.12.在数列中,,则___________.13.已知均为正数,则的最大值为______________.14.在公差为的等差数列中,有性质:,根据上述性质,相应地在公比为等比数列中,有性质:____________.15.的内角的对边分别为.若,则的面积为__________.16.已知等腰三角形底角的余弦值等于,则这个三角形顶角的正弦值为________.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知圆:.(1)过的直线与圆:交于,两点,若,求直线的方程;(2)过的直线与圆:交于,两点,直接写出面积取值范围;(3)已知,,圆上是否存在点,使得,请说明理由.18.2013年11月,总书记到湖南湘西考察时首次作出了“实事求是、因地制宜、分类指导精准扶贫”的重要指示.2014年1月,中央详细规制了精准扶贫工作模式的顶层设计,推动了“精准扶贫”思想落地.2015年1月,精准扶贫首个调研地点选择了云南,标志着精准扶贫正式开始实行.某单位立即响应党中央号召,对某村6户贫困户中的甲户进行定点帮扶,每年跟踪调查统计一次,从2015年1月1日至2018年12月底统计数据如下(人均年纯收入):年份2015年2016年2017年2018年年份代码1234收入(百元)25283235(1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程,并估计甲户在2019年能否脱贫;(注:国家规定2019年脱贫标准:人均年纯收入为3747元)(2)2019年初,根据扶贫办的统计知,该村剩余5户贫困户中还有2户没有脱贫,现从这5户中抽取2户,求至少有一户没有脱贫的概率.参考公式:,,其中为数据的平均数.19.已知函数,(1)求函数的最小正周期;(2)设的内角的对边分别为,且,,,求的面积.20.已知,,且(1)求的定义域.(2)判断的奇偶性,并说明理由.21.如图半圆的直径为4,为直径延长线上一点,且,为半圆周上任一点,以为边作等边(、、按顺时针方向排列)(1)若等边边长为,,试写出关于的函数关系;(2)问为多少时,四边形的面积最大?这个最大面积为多少?
参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】
从塔顶到塔底每层灯盏数可构成一个公比为3的等比数列,其和为1.由等比数列的知识可得.【题目详解】从塔顶到塔底每层灯盏数依次记为a1,a2,a3故选D.【题目点拨】本题考查等比数列的应用,解题关键是根据实际意义构造一个等比数列,把问题转化为等比数列的问题.2、B【解题分析】
试题分析:掷两颗均匀的骰子,共有36种基本事件,点数之和为5的事件有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)这四种,因此所求概率为,选B.考点:概率问题3、B【解题分析】
由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出,分析循环中各变量的变化情况,可得答案.【题目详解】当时,,,满足进行循环的条件;当时,,,满足进行循环的条件;当时,,,满足进行循环的条件;当时,,,不满足进行循环的条件;故选:B【题目点拨】本题主要考查程序框图,解题的关键是读懂流程图各个变量的变化情况,属于基础题.4、C【解题分析】
先由正弦定理,将化为,结合余弦定理,求出,再结合正弦定理与三角形面积公式,可得,化简整理,即可得出结果.【题目详解】因为,所以可化为,即,可得,所以.又由正弦定理得,,所以,当且仅当时,取得最大值.故选C【题目点拨】本题主要考查解三角形,熟记正弦定理与余弦定理即可,属于常考题型.5、D【解题分析】
首先确定题中,,的取值范围,再根据大小排序即可.【题目详解】由题知,,,,所以排序得到.故选:D.【题目点拨】本题主要考查了比较指数对数的大小问题,属于基础题.6、B【解题分析】
根据向量的坐标运算,先由,求得,再求的坐标.【题目详解】因为,所以,所以.故选:B【题目点拨】本题主要考查了向量的坐标运算,还考查了运算求解的能力,属于基础题.7、D【解题分析】
由扇形的弧长公式列方程得解.【题目详解】设扇形的半径是,由扇形的弧长公式得:,解得:故选D【题目点拨】本题主要考查了扇形的弧长公式,考查了方程思想,属于基础题.8、B【解题分析】
试题分析:由题意知,样本容量为,其中高中生人数为,高中生的近视人数为,故选B.【考点定位】本题考查分层抽样与统计图,属于中等题.9、D【解题分析】
化简函数可得y=2sin(2x),把“2x”作为一个整体,再根据正弦函数的单调增区间,求出x的范围,即是所求函数的增区间.【题目详解】,由2kπ≤2x2kπ得,kπx≤kπ(k∈z),∴函数的单调增区间是[kπ,kπ](k∈z),故选D.【题目点拨】本题考查了正弦函数的单调性应用,一般的做法是利用整体思想,根据正弦函数(余弦函数)的性质进行求解.10、D【解题分析】试题分析:由于数列是等差数列,所以的等差中项是,故有,又有的等差中项是,所以,从而等差数列的公差,因此其通项公式为,故选D.考点:等差数列.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、1【解题分析】
在方向上的投影为,把向量坐标代入公式,构造出关于的方程,求得.【题目详解】因为,所以,解得:,故填:.【题目点拨】本题考查向量的数量积定义中投影的概念、及向量数量积的坐标运算,考查基本运算能力.12、-1【解题分析】
首先根据,得到是以,的等差数列.再计算其前项和即可求出,的值.【题目详解】因为,.所以数列是以,的等差数列.所以.所以,,.故答案为:【题目点拨】本题主要考查等差数列的判断和等差数列的前项和的计算,属于简单题.13、【解题分析】
根据分子和分母的特点把变形为,运用重要不等式,可以求出的最大值.【题目详解】(当且仅当且时取等号),(当且仅当且时取等号),因此的最大值为.【题目点拨】本题考查了重要不等式,把变形为是解题的关键.14、【解题分析】
根据题中条件,类比等差数列的性质,可直接得出结果.【题目详解】因为在公差为的等差数列中,有性质:,类比等差数列的性质,可得:在公比为等比数列中,故答案为:【题目点拨】本题主要考查类比推理,只需根据题中条件,结合等差数列与等比数列的特征,即可得出结果,属于常考题型.15、【解题分析】
本题首先应用余弦定理,建立关于的方程,应用的关系、三角形面积公式计算求解,本题属于常见题目,难度不大,注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查.【题目详解】由余弦定理得,所以,即解得(舍去)所以,【题目点拨】本题涉及正数开平方运算,易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误.解答此类问题,关键是在明确方法的基础上,准确记忆公式,细心计算.16、【解题分析】
已知等腰三角形可知为锐角,利用三角形内角和为,建立底角和顶角之间的关系,再求解三角函数值.【题目详解】设此三角形的底角为,顶角为,易知为锐角,则,,所以.【题目点拨】给值求值的关键是找准角与角之间的关系,再利用已知的函数求解未知的函数值.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)或;(2);(3)存在,理由见解析【解题分析】
求得圆的圆心和半径.(1)设出直线的方程,利用弦长、勾股定理和点到直线距离列方程,解方程求得直线的斜率,进而求得直线的方程.(2)利用三角形的面积公式列式,由此求得面积取值范围.(3)求得三角形外接圆的方程,根据圆和圆的位置关系,判断出点存在.【题目详解】圆心为,半径为.(1)直线有斜率,设:,圆心到直线的距离为,∵,则由,得,直线的方程为或(2)依题意可知,三角形的面积为,由于,所以,所以.(3)设三角形的外接圆圆心为(),半径为,由正弦定理得,,所以,所以圆的圆心为,所以圆的方程为,圆与圆满足圆心距:,∴圆与圆相交于两点,圆上存在两个这样的点,满足题意.【题目点拨】本小题主要考查直线和圆的位置关系,考查圆和圆的位置关系,考查三角形的面积公式,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.18、(1);甲户在2019年能够脱贫;(2)【解题分析】
(1)由已知数据求得与的值,得到线性回归方程,取求得值,说明甲户在2019年能否脱贫;(2)列出从该村剩余5户贫困户中任取2户的所有可能情况,利用随机事件的概率计算公式求解.【题目详解】(1)根据表格中数据可得,,由,,可得.∴关于的线性回归方程,当时,(百元),∵3850>3747,∴甲户在2019年能够脱贫;(2)设没有脱贫的2户为,另3户为,所有可能的情况为:共有10种可能.其中至少有一户没有脱贫的可能情况有7种.∴至少有一户没有脱贫的概率为.【题目点拨】本题主要考查线性回归方程的求法,考查随机事件概率的求法,是中档题.19、(1);(2).【解题分析】
(1)利用二倍角和辅助角公式可将函数整理为,利用求得结果;(2)由,结合的范围可求得;利用两角和差正弦公式和二倍角公式化简已知等式,可求得;分别在和两种情况下求解出各边长,从而求得三角形面积.【题目详解】(1)的最小正周期:(2)由得:,即:,,解得:,由得:即:若,即时,则:若,则由正弦定理可得:由余弦定理得:解得:综上所述,的面积为:【题目点拨】本题考查正弦型函数的最小正周期、三角形面积的求解,涉及到正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、两角和差正弦公式、二倍角公式、辅助角公式的应用,考查学生对于三角函数、三角恒等变换和解三角形知识的掌握.20、(1);(2)偶函数,理由见解析.【解题分析】
(1)根据对数的真数大于零可求得和的定义域,取交集可得定义域;(2)整理可得,验证得,得到函数为偶函数.【题目详解】(1)令得:定义域为令得:定义域为的定义域为(2)由题意得:,为定义在上的偶函数【题目点拨】本题考查函数定义域的求解、奇偶性的判断;求解函数定义域的关键是明确对数函数要求真数必须大于零,且需保证构成函数的每个部分都有意义.21、(1);(2)θ=时,四边形OACB的面积最大,其最大面积为.【解题分析】
(1)根据余弦定理
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