2024届甘肃省武威市第二中学 数学高一第二学期期末学业水平测试模拟试题含解析

2024届甘肃省武威市第二中学数学高一第二学期期末学业水平测试模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．过点且与直线垂直的直线方程是．A． B． C． D．2．将甲、乙两个篮球队5场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知以下结论正确的是()A．甲队平均得分高于乙队的平均得分中乙B．甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数C．甲队得分的方差大于乙队得分的方差D．甲乙两队得分的极差相等3．已知函数，点A、B分别为图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，O为坐标原点，若△OAB为锐角三角形，则的取值范围为（）A． B． C． D．4．下列关于函数（）的叙述，正确的是（）A．在上单调递增，在上单调递减B．值域为C．图像关于点中心对称D．不等式的解集为5．若变量满足约束条件则的最大值为()A．4 B．3 C．2 D．16．已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点，则（）A． B． C． D．7．如图所示，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（）A． B． C． D．8．等差数列的首项为.公差不为，若成等比数列，则数列的前项和为（）A． B． C． D．9．与直线平行，且到的距离为的直线方程为A． B． C． D．10．在区间上任取两个实数，则满足的概率为()A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面结论中，正确结论的编号是________．(写出所有正确结论的编号)12．设函数，则使得成立的的取值范围是_______________．13．等比数列{an}中，a1＜0，{an}是递增数列，则满足条件的q的取值范围是______________．14．某公司调查了商品的广告投入费用（万元）与销售利润（万元）的统计数据，如下表：广告费用（万元）销售利润（万元）由表中的数据得线性回归方程为，则当时，销售利润的估值为___．（其中：）15．向量满足，，则向量的夹角的余弦值为_____．16．某奶茶店的日销售收入y(单位:百元)与当天平均气温x(单位:)之间的关系如下:x012y5221通过上面的五组数据得到了x与y之间的线性回归方程:；但现在丢失了一个数据，该数据应为____________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知集合，，求.18．某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示频率分直方图.（1）求图中x的值；（2）求这组数据的平均数和中位数；（3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数3:2，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率.19．已知同一平面内的三个向量、、，其中（1，2）．（1）若||＝2，且与的夹角为0°，求的坐标；（2）若2||＝||，且2与2垂直，求在方向上的投影．20．在上海自贸区的利好刺激下，公司开拓国际市场，基本形成了市场规模；自2014年1月以来的第个月（2014年1月为第一个月）产品的内销量、出口量和销售总量（销售总量=内销量+出口量）分别为、和（单位：万件），依据销售统计数据发现形成如下营销趋势：，（其中，为常数，），已知万件，万件，万件.（1）求，的值，并写出与满足的关系式；（2）证明：逐月递增且控制在2万件内；21．已知函数，为实数．（1）若对任意，都有成立，求实数的值；（2）若，求函数的最小值．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】

根据与已知直线垂直的直线系方程可假设直线为，代入点解得直线方程.【题目详解】设与直线垂直的直线为：代入可得：，解得：所求直线方程为：，即本题正确选项：【题目点拨】本题考查利用两条直线的垂直关系求解直线方程的问题，属于基础题.2、C【解题分析】

由茎叶图分别计算甲、乙的平均数，中位数，方差及极差可得答案．【题目详解】29；30，∴∴A错误；甲的中位数是29，乙的中位数是30，29<30,∴B错误；甲的极差为31﹣26＝5，乙的极差为32﹣28＝4，5∴D错误；排除可得C选项正确，故选C．【题目点拨】本题考查了由茎叶图求数据的平均数，极差，中位数，运用了选择题的做法即排除法的解题技巧，属于基础题.3、B【解题分析】

△OAB为锐角三角形等价于,再运算即可得解.【题目详解】解：由题意可得,,由△OAB为锐角三角形，则,即，解得：，即的取值范围为，故选：B.【题目点拨】本题考查了三角函数图像的性质，重点考查了向量数量积的运算，属中档题.4、D【解题分析】

运用正弦函数的一个周期的图象，结合单调性、值域和对称中心，以及不等式的解集，可得所求结论.【题目详解】函数（），在，单调递增，在上单调递减；值域为；图象关于点对称；由可得，解得：.故选：D.【题目点拨】本题考查三角函数的图象和性质，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.5、B【解题分析】

先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值.【题目详解】作出约束条件，所对应的可行域（如图阴影部分）变形目标函数可得，平移直线可知，当直线经过点时，直线的截距最小，代值计算可得取最大值故选B.【点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.6、C【解题分析】

利用三角函数定义即可求得：，，再利用余弦的二倍角公式得解.【题目详解】因为角的终边过点，所以点到原点的距离所以，所以故选C【题目点拨】本题主要考查了三角函数定义及余弦的二倍角公式，考查计算能力，属于较易题．7、A【解题分析】

根据题意，分析可得，由三角形面积公式计算可得△DEF和△ACF的面积，进而可得△ABC的面积，由几何概型公式计算可得答案．【题目详解】根据题意，为等边三角形，则，则，中，，其面积，中，，，其面积，则的面积，故在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率，故选：A.【题目点拨】本题主要考查几何概型中的面积类型，基本方法是：分别求得构成事件A的区域面积和试验的全部结果所构成的区域面积，两者求比值，即为概率．8、A【解题分析】

根据等比中项定义可得；利用和表示出等式，可构造方程求得；利用等差数列求和公式求得结果.【题目详解】由题意得：设等差数列公差为，则即：，解得：本题正确选项：【题目点拨】本题考查等差数列基本量的计算，涉及到等比中项、等差数列前项和公式的应用；关键是能够构造方程求出公差，属于常考题型.9、B【解题分析】试题分析：与直线平行的直线设为与的距离为考点：两直线间的距离点评：两平行直线间的距离10、B【解题分析】试题分析：因为，在区间上任取两个实数，所以区域的面积为4，其中满足的平面区域面积为，故满足的概率为，选B．考点：本题主要考查几何概型概率计算．点评：简单题，几何概型概率的计算，关键是认清两个“几何度量”．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、①②④【解题分析】用正方体ABCD-A1B1C1D1实例说明A1D1与BC1在平面ABCD上的投影互相平行，AB1与BC1在平面ABCD上的投影互相垂直，BC1与DD1在平面ABCD上的投影是一条直线及其外一点．故①②④正确．12、【解题分析】

根据函数的表达式判断出函数为偶函数，判断函数在的单调性为递增，根据偶函数的对称性可得，解绝对值不等式即可.【题目详解】解：，定义域为,因为，所以函数为偶函数.当时，易知函数在为增函数，根据偶函数的性质可知：由可知，所以，解得：或.故答案为：.【题目点拨】本题考查偶函数的性质和利用偶函数对称性的特点解决问题，属于基础题.13、【解题分析】试题分析：由题意可得，∴，解得0＜q＜1考点：等比数列的性质14、12.2【解题分析】

先求出，的平均数，再由题中所给公式计算出和，进而得出线性回归方程，将代入，即可求出结果.【题目详解】由题中数据可得：，，所以，所以，故回归直线方程为，所以当时，【题目点拨】本题主要考查线性回归方程，需要考生掌握住最小二乘法求与，属于基础题型.15、【解题分析】

通过向量的垂直关系，结合向量的数量积求解向量的夹角的余弦值．【题目详解】向量，满足，，可得：，，向量的夹角为，所以．故答案为．【题目点拨】本题考查向量的数量积的应用，向量的夹角的余弦函数值的求法．考查计算能力．属于基础题.16、4【解题分析】

根据回归直线经过数据的中心点可求.【题目详解】设丢失的数据为，则，，把代入回归方程可得，故答案为：4.【题目点拨】本题主要考查回归直线的特征，明确回归直线一定经过样本数据的中心点是求解本题的关键，侧重考查数学运算的核心素养.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、【解题分析】

根据集合A，B的意义，求出集合A，B，再根据交集的运算求得结果即可．【题目详解】对于集合A，，对于集合B，当x<1时，故B＝；故A∩B＝故答案为【题目点拨】本题考查了交集的运算，准确计算集合A,B是关键，是基础题．18、（1）0.02（2）平均数77，中位数（3）.【解题分析】

（1）由频率分布直方图的性质列方程能求出x．（2）由频率分布直方图能求出这组数据的平均数和中位数．（3）满意度评分值在[50，60）内有5人，其中男生3人，女生2人，记“满意度评分值为[50，60）的人中随机抽取2人进行座谈，2人均为男生”为事件A，利用古典概型能求出2人均为男生的概率．【题目详解】（1）由，解得.（2）这组数据的平均数为.中位数设为m，则，解得.（3）满意度评分值在内有人，其中男生3人，女生2人.记为记“满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，2人均为男生”为事件A则总基本事件个数为10个，A包含的基本事件个数为3个，利用古典概型概率公式可知.【题目点拨】本题考查频率平均数、中位数、概率的求法，考查频率分布直方图的性质、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19、（1）（2，4）（2）【解题分析】

（1）由题意可得与共线，设出的坐标，根据||＝2，求出参数的值，可得的坐标；

（2）由题意可得，再根据，求出

的值，可得在方向上的投影的值．【题目详解】（1）同一平面内的三个向量、、，其中（1，2），若||＝2，且与的夹角为0°，则与共线，故可设（t，2t），t＞0，∴2，∴t＝2，即（2，4）．（2）∵2||＝||，即||．∵2与2垂直，∴（2）•（2）＝2320，即83•20，即366，即•，∴在方向上的投影为．【题目点拨】本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量共线、垂直的性质，属于中档题．20、（1），（2）详见解析【解题分析】试题分析：（1）依题意：，将n取1，2，构建方程组，即可求得a，b的值，从而可得与满足的关系式；（2）先证明，于是，再用作差法证明，从而可得结论；试题解析：（1）依题意：，∴，∴……………①又，∴……………②解①②得从而（2）由于．但，否则可推得矛盾．故，于是．又，所以从而．考点：