2023-2024学年四川省内江市高三一模数学（理）模拟试题（含解析）

2023-2024学年四川省内江市高三一模数学（理）模拟试题1.本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.2.答第Ⅰ卷时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；答第Ⅱ卷时，用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区域内作答，字体工整，笔迹清楚；不能答在试题卷上.3.考试结束后，监考员将答题卡收回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1．已知是虚数单位，若，则的值是（

）A． B． C． D．12．集合，，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．3．如图是一个电子元件在处理数据时的流程图：则下列正确的是（

）A．B．C．若，则或D．若，则或4．若实数，满足，则的最大值为（

）A．5 B．7 C．9 D．65．已知，则（

）A．1 B．2 C．4 D．86．已知向量，，其中.若，则当恒成立时实数的取值范围是（

）A．或 B．或C． D．7．已知函数，若.且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．8．已知，且，则（

）A． B．C． D．9．随着生活水平的提高，私家车已成为许多人的代步工具．某驾照培训机构仿照北京奥运会会徽设计了科目三路考的行驶路线，即从A点出发沿曲线段B→曲线段C→曲线段D，最后到达E点．某观察者站在点M观察练车场上匀速行驶的小车P的运动情况，设观察者从点A开始随车子运动变化的视角为∠AMP（），练车时间为t，则函数＝的图像大致为（）A． B．C． D．10．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（

）A．8种 B．14种 C．20种 D．16种11．设函数是定义在上的奇函数，为的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围（

）A． B．C． D．12．已知函数有两个零点，则a的最小整数值为（

）A．0 B．1 C．2 D．3第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．数列中，，，若，则.14．在二项式的展开式中，含的项的系数是．15．某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：根据大量的测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布，用样本平均数和标准差分别作为、的近似值，其中样本标准差的近似值为50，现任取一辆汽车，则它的单次最大续航里程的概率为.（参考数据：若随机变量，则，，）16．设函数，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：①在有且仅有3个极大值点②在有且仅有2个极小值点③在单调递增④的取值范围是其中所有正确结论的编号是.三､解答题（共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22､23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分.17．已知等差数列的前项和为，，.(1)求及；(2)若，求数列的前项和.18．某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备加大研发资金投入，为了解年研发资金投入额（单位：亿元）对年盈利额（单位：亿元）的影响，通过对“十二五”和十三五规划发展10年期间年研发资金投入额和年盈利额数据进行分析，建立了两个函数模型：，，其中、、、均为常数，为自然对数的底数，令，，经计算得如下数据：(1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合度更好？(2)根据（1）的选择及表中数据，建立关于的回归方程；（系数精确到0.01）(3)若希望2024年盈利额为800亿元，请预测2024年的研发资金投入额为多少亿元？（结果精确到0.01）附：相关系数，参考数据：，.回归直线中：，.19．已知函数．（1）当时，求的极值；（2）若不等式恒成立，求整数a的最小值．20．的内角A，B，C所对的边分别为．(1)求A的大小；(2)M为内一点，的延长线交于点D，___________，求的面积．请在下面三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使存在，并解决问题．①M为的重心，；②M为的内心，；③M为的外心，．21．已知函数.（1）当时，试判断函数在上的单调性；（2）存在，，，求证.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂､错涂､漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分.22．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；（2）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值．23．已知a＋b＋c＝3，且a，b，c都是正数．（1）求证：（2）是否存在实数m，使得关于x的不等式－x2＋mx＋2≤a2＋b2＋c2对所有满足题设条件的正实数a，b，c恒成立？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由．1．D【分析】根据复数的运算法则，得到，结合复数相等的条件，求得的值，即可求解.【详解】由复数的运算法则，可得，因为，即，所以.故选：D.2．B【分析】利用数轴分析可得.【详解】由数轴可知，当时满足题意，即的取值范围为.故选：B3．D【分析】根据流程图的作用得，即可结合选项逐一代入求解.【详解】根据流程图可知，对于A，，故A错误，对于B，，故B错误，当时，或（舍去），当时，或（舍去），故当，则或，故C错误，D正确，故选：D4．C【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求的最大值．【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大．由，解得，即，代入目标函数得．即目标函数的最大值为故选：C．5．A对函数求导，并令代入可求得.将的值代入可得导函数，即可求得的值.【详解】函数，则，令代入上式可得，则，所以，则，故选：A.本题考查了导数的定义与运算法则，在求导过程中注意为常数，属于基础题.6．B【分析】先求出向量的模，然后由数量积定义结合三角函数有界性可得的最大值，然后可解.【详解】由题知，，所以，当同向时等号成立，所以，要使恒成立，只需，解得或.故选：B7．B【分析】画出的图象，数形结合可得，，然后利用基本不等式即可求出答案【详解】的图象如下：因为.且所以且所以，所以所以当且仅当，即时等号成立故选：B本题主要考查了对数函数的图象和性质，考查了基本不等式的运用，用到了数形结合的思想，属于中档题.8．A【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于的一元二次方程，求解得出，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.【详解】，得，即，解得或（舍去），又.故选：A.本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.9．D【分析】结合图象，根据单调性确定选项.【详解】观察图像，可知随着时间的增加，刚开始角度为0并且在增加，排除A；在蓝线中间一段变化不大，然后角度减少到达红线段，故排除B、C，接着角度增加，后面又略减少到绿线段，之后一直增加，并且角度要大于前面几段，故选:D．10．B【分析】分甲、乙都不在天和核心舱和甲、乙恰好有一人在天和核心舱两种情况求解可得.【详解】第一类，甲、乙都不在天和核心舱共有种；第二类，甲、乙恰好有一人在天和核心舱，先排天和核心舱有种，然后排问天实验舱与梦天实验舱有种，所以，甲、乙恰好有一人在天和核心舱共有种.综上，甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验共有种.故选：B11．A【分析】先构造新函数，通过求导，再结合已知条件可判断出当时，，当时，，最后分情况解不等式可得答案.【详解】令，，当时，，，原函数单调递增，又因为，所以当时，，此时，，所以，当时，，此时，，所以，所以当时，，又因为是奇函数，当时，，求，分两种情况求解，当时，，只需，解得，当时，，只需，解得所以的范围是故选：A12．C【分析】先将函数化为，令，进而只需说明在R上有两个零点，然后对函数求导，讨论出函数的单调区间和最值，最后通过放缩法解决问题.【详解】，设，，即函数在上单调递增，易得，于是问题等价于函数在R上有两个零点，，若，则，函数在R上单调递增，至多有1个零点，不合题意，舍去；若，则时，，单调递减，时，，单调递增.因为函数在R上有两个零点，所以，而，限定，记，，即在上单调递增，于是，则时，，此时，因为，所以，于是时，.综上：当时，有两个交点，a的最小整数值为2.故选：C.本题有一定难度，首先这一步的变形非常重要，注意此种变形的运用；其次，运用放缩法说明函数时，用到了（需证明），进而得到，这种处理方法非常普遍，注意归纳总结.13．9【分析】令，由递推公式可知为等比数列，然后可解.【详解】令，则，因为，所以数列是以2为首项和公比的等比数列，故数列的通项公式为,所以，，所以，，得，故914．10【详解】分析：先根据二项展开式的通项公式求含的项的项数，再确定对应项系数.详解：，所以令得，即含的项的系数是点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.15．【分析】计算，确定，再根据正态分布的性质计算概率即可.【详解】，故，.故16．①③④【分析】对①②可以通过作图判别，对于④令，根据题意得到不等式，解出范围即可，对于③证明出当时,即可.【详解】已知在有且仅有5个零点，如图，其图象的右端点的横坐标在上,此时在有且仅有3个极大值点,但在可能有2或3个极小值点,所以①正确,②不正确;令,且,在上有且仅有5个零点,在上有且仅有5个零点,,故④正确.当时,,又,,在上单调递增.在上单调递增,故③正确.故①③④关键点睛：令,利用整体思想将原函数转化为来研究.(2)当时,的图象可由的图象经过平移、伸缩变换得到,的增、减区间可通过讨论的增、减区间得到.17．(1)，(2)【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得公差和首项，即可求解，（2）根据裂项求和即可求解.【详解】（1）设公差为，则由，可得：，解得，所以，（2），故18．(1)模型的拟合程度更好.(2)(3)【分析】（1）计算相关系数得到，得到答案.（2）根据公式计算，，得到回归方程.（3）取，解方程得到答案.【详解】（1）设和的相关系数为，和的相关系数为，，，，因此从相关系数的角度，模型的拟合程度更好.（2）先建立关于的线性回归方程，由得，即，，，所以关于的线性回归方程为，即.（3），即，，，解得.所以2024年的研发资金投入量的约为亿元.19．（1），无极大值；（2）2.【分析】（1）将代入，求出导函数，利用导数与函数单调性之间的关系判断函数的单调性，进而求出极值.（2）不等式等价于在上恒成立，设，利用导数求出的最大值即可求解.【详解】解：（1）当时，，

令得（或舍去），∵当时，，单调递减，当时，，单调递增，

∴，无极大值．

（2），即，即，∴，即，∴原问题等价于在上恒成立，设，则只需．

由，令，∵，∴在上单调递增，

∵，∴存在唯一的，使得，

∵当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，∴，

∴即可．∴，∴，故整数a的最小值为220．(1)(2)答案见解析【分析】(1)利用正弦定理以及二倍角公式求解；(2)根据正弦定理，余弦定理和面积公式即可求解.【详解】（1）∵，∴，即由正弦定理得，，即，∵，∴，∴，又，∴，∴（2）设外接圆半径为，则根据正弦定理得，，若选①：∵M为该三角形的重心，则D为线段的中点且，又，∴，即，又由余弦定理得，即，解得，∴；若选②：∵M为的内心，∴，由得，∵，∴，即，由余弦定理可得，即，∴，即，∵，∴，∴．若选③：M为的外心，则为外接圆半径，，与所给条件矛盾，故不能选③.21．（1）函数在上单调递增；（2）证明见解析.【分析】（1）求出，当时，的最小值大于零，则在上单调递增；（2）令，，将转化为，再构造函数利用导数证明最小值小于0.【详解】（1）(方法一)当时，，，当时，，所以，当时，函数在上单调递增.(方法二)当时，，，由，结合函数与图象可知：当时，，，所以两函数图象没有交点，且.所以当时，.所以，当时，函数在上单调递增.（2）证明：不妨设，由得，，.设，则，故在上为增函数，，从而，，，要证只要证，下面证明：，即证，令，则，即证明，只要证明：，设，，则在单调递减，当时，，从而得证，即，，即.关键点睛：双变量问题可通过换元将两个变量转化为一个变量，构造函数，利用导数来证明不等式．22．（1）；（2）【详解】试题分析：（1）设出P的极坐标，然后由题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程为；（2）利用（1）中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得面积的最大值为.试题解析：解：（1）设P的极坐标为（）（＞0），M的极坐标为（）由题设知|OP|=，=.由|OP|=