吉林省白城市通榆县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析）

2023－2024学年第一学期期末测试卷九年级数学（总分120分，时间120分钟）一、单项选择题：（每小题2分，共12分）1．“瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用．瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产．下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．

B．

C．

D．

2．下列事件必然发生的是（

）A．某人买一张彩票就中了大奖 B．李明同学下次数学考试满分C．三点确定一个圆 D．两点确定一条直线3．用配方法将方程变形为，则的值是（

）A．4 B．5 C．6 D．74．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，若∠B=60°，则∠1的度数是（）A．15° B．25° C．10° D．20°5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若AB=OA=OB，则∠C等于（）A．30° B．40° C．60° D．80°6．如图，抛物线的对称轴为，点P、点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为，则点Q的坐标为（

）A． B． C． D．二、填空题：（每小题3分，共24分）7．点关于原点对称的点的坐标是．8．不透明的袋子中装有5个球，其中有2个红球、3个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率为．9．将抛物线向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到抛物线解析式为．10．如图，分别切于点A，B，Q是优弧上一点，若，则的度数是．11．如图，在中，直径，是弦，于E，，则．

12．某小区2021年绿化面积为2000平方米，计划2023年底绿化面积要达到2880平方米，如果每年的增长率相同为x，则根据题意可列方程为．13．若一个三角形的两边长分别是4和6，第三边的长是方程x2﹣17x+60＝0的一个根，则该三角形的第三边长是．14．如图，是某公园一圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管OA＝1.25m，A处是喷头，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，水落地后形成一个圆，圆心为O，直径为线段CB．建立如图所示的平面直角坐标系，若水流路线达到最高处时，到x轴的距离为2.25m，到y轴的距离为1m，则水落地后形成的圆的直径CB＝m．三、解答题（每小题5分，共20分）15．解方程：（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．16．京剧脸谱是京剧艺术独特的表现形式．京剧表演中，经常用脸谱象征人物的性格，品质，甚至角色和命运．如红脸代表忠心耿直，黑脸代表强悍勇猛．现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“红脸”，另外一张卡片的正面图案为“黑脸”，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率．（图案为“红脸”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“黑脸”的卡片记为B）17．关于x方程有实数根，求m的取值范围．18．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条夹角为，的长为，贴纸部分的长为，求贴纸部分的周长．四、解答题（每小题7分，满分28分）19．如图，已知的三个顶点的坐标分别为．(1)将绕坐标原点逆时针旋转．画出对应的图形，直接写出点A的对应点的坐标；(2)在格点图内，若四边形为平行四边形，请直接写出第四个顶点的坐标．20．如图，的直径，D为⊙O上一点，，过点D的切线交的延长线于点C．(1)求的度数；(2)求阴影部分的面积．21．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．22．已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB=AC，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．

(1)求证：DC=BD(2)求证：DE为⊙O的切线五、解答题（每小题8分，共16分）23．某种小商品的成本价为10元/kg，市场调查发现，该产品每天的销售量w（kg）与销售价x（元/kg）有如下关系w=﹣2x+100，设这种产品每天的销售利润为y（元）．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？24．有这样一个问题：如图，的内切圆与斜边相切于点，，，求的面积（用含的式子表示）.小冬根据学习几何的经验，先从特殊情况开始探究：解：如图，令，，设的内切圆分别与相切于点，的长为根据切线长定理，得，，根据勾股定理得，整理，得所以请你参考小冬的做法.解决以下问题：（1）当时，求的面积；（2）当时，直接写出的面积（用含的式子表示）为.六、解答题（每小题10分，共20分）25．已知为等边三角形，点D为直线的一个动点（点D不与B、C重合），以为边作菱形（A、D、E、F逆时针排列），使，连接．

(1)如图1，当点D在边上时，求证：①；②；(2)如图2，点D在的延长线上且其他条件不变时，结论是否成立？若不成立，请写出之间存在的数量关系，并说明理由．26．已知:如图，二次函数y=x2+(2k-1)x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点，(1)求这个二次函数的解析式．(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6.求点B的坐标．

参考答案与解析

1．B【分析】根据圆的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答．【详解】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，选项错误；B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，选项错误；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，选项错误．故选B．【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．D【分析】本题考查了事件的分类，确定圆的条件；根据各选项逐项分析判断，即可求解．【详解】解：A.某人买一张彩票就中了大奖，是随机事件，故该选项不正确，不符合题意；B.李明同学下次数学考试满分，是随机事件，故该选项不正确，不符合题意；C.三点确定一个圆，是随机事件，故该选项不正确，不符合题意；D.两点确定一条直线，是必然事件，故该选项正确，符合题意；故选：D．3．B【分析】将方程用配方法变形，即可得出m的值.【详解】解：，配方得：，即，则m=5.故选B.【点睛】本题考查了配方法，解题的关键是利用完全平方公式对方程进行变形.4．A【分析】先利用互余计算出∠BAC=90°﹣∠B=30°，再根据旋转的性质得∠ACA′=90°，CA=CA′，∠CA′B′=∠CAB=30°，则可判断△ACA′为等腰直角三角形，则∠CA′A=45°，然后利用∠1=∠CA′A﹣∠CA′B′进行计算即可．【详解】解：∵∠ACB=90°，∠B=60°，∴∠BAC=90°﹣∠B=30°，∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，∴∠ACA′=90°，CA=CA′，∠CA′B′=∠CAB=30°，∴△ACA′为等腰直角三角形，∴∠CA′A=45°，∴∠1=∠CA′A﹣∠CA′B′=45°﹣30°=15°．故选A．5．A【详解】解：先根据等边三角形的性质知∠O=60°，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可求得∠C=30°故选A．【点睛】本题考查圆周角定理．6．D【分析】本题考查二次函数的图象和性质，由题意可得点P、点Q关于对称轴对称即可求解．【详解】解：由题意得：点P、点Q关于对称轴对称，∴点Q的坐标为，故选：D．7．【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标；根据关于原点对称的两点的横纵坐标互为相反数得出答案．【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是，故答案为：．8．【分析】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】解：从袋子中随机取出1个球，共有5种等可能结果，其中摸到的是红球的有2种结果，所以从袋子中随机取出1个球，它是红球的概率为．故答案为：．9．【分析】根据“左加右减、上加下减”的平移规律进行解答即可．【详解】解：抛物线向上平移1个单位长度，得到抛物线的解析式为，再向右平移3个单位长度，得到抛物线解析式为．故答案为：．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，解题的关键是熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．10．70°##70度【分析】连接，根据切线性质可得，再根据四边形的内角和为360°求得，然后利用圆周角定理求解即可．【详解】解：如图所示，连接，∵分别切于点A，B，∴，又∵，∴，∴，故答案为：70°．【点睛】本题考查切线性质、四边形内角和为360°、圆周角定理，熟练掌握切线性质和圆周角定理是解答的关键．11．8【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理．熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．如图，连接，由垂径定理可得，由勾股定理得，，进而可求．【详解】解：如图，连接，

∵直径，是弦，，∴，，∵，由勾股定理得，，∴，故答案为：8．12．【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，即一元二次方程解答有关平均增长率问题．一般用增长后的量增长前的量增长率），如果设人均年收入的平均增长率为，根据题意即可列出方程．【详解】解：设平均增长率为，根据题意可列出方程为：．故答案为：．13．5【分析】根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,结合一元二次方程相关知识进行解题即可.【详解】解：∵x2﹣17x+60＝0，∴（x﹣5）（x﹣12）＝0，解得：x1＝5，x2＝12，∵三角形的两边长分别是4和6，当x＝12时，6+4＜12，不能组成三角形．∴这个三角形的第三边长是5．故答案为：5．【点睛】本题考查了三角形的三边关系和一元二次方程的求解,熟悉三角形三边关系是解题关键.14．5【分析】设y轴右侧的抛物线解析式为：y＝a（x−1）2＋2.25，将A（0，1.25）代入，求得a，从而可得抛物线的解析式，再令函数值为0，解方程可得点B坐标，从而可得CB的长．【详解】解：设y轴右侧的抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）2+2.25∵点A（0，1.25）在抛物线上∴1.25＝a（0﹣1）2+2.25解得：a＝﹣1∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+2.25令y＝0得：0＝﹣（x﹣1）2+2.25解得：x＝2.5或x＝﹣0.5（舍去）∴点B坐标为（﹣2.5，0）∴OB＝OC＝2.5∴CB＝5故答案为：5．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数的相关性质及正确的解方程，是解题的关键．15．，【分析】方程左边提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【详解】解：分解因式得：，即可得：或解得：，【点睛】本题考查利用因式分解法求一元二次方程的解．熟练掌握因式分解法是解答本题的关键．16．【分析】根据题意画出树状图，求出所有的情况数和两次抽取的卡片上都是“红脸”的情况数，再根据概率公式计算即可．【详解】画树状图为：由树状图可知，所有可能出现的结果共有9种，其中两次抽取的卡片上都是“红脸”的结果有4种，所以P(两张都是“红脸”)，答：抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率是．【点睛】本题考查了概率的求法．用到的知识点为数状图和概率，概率=所求情况数与总情况数之比，关键是根据题意画出树状图．17．【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式．熟练掌握有实数根，则是解题的关键．根据，计算求解即可．【详解】解：∵方程有实数根,∴，解得，，∴m的取值范围为．18．【分析】本题考查扇形弧长公式．根据题意先求出的长，再利用扇形弧长公式分别求出和，将求得结果相加即为本题答案．【详解】解：∵，∴，

∵夹角为，∴，，∴贴纸部分的周长为：（cm），答：贴纸部分的周长为．19．(1)图见解析，(2)【分析】本题考查利用旋转变换作图，平行四边形的性质．（1）根据网格结构及旋转性质找出三个点关于坐标原点逆时针旋转的点，顺次连接即可得到本题答案；（2）根据平行四边形的对边平行且相等解答．【详解】（1）解：如图所示，，∴；（2）解：如图平行四边形即为所求：，根据平行四边形性质可得，故答案为：．20．(1)(2)【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．（1）由切线的性质可得出答案；（2）由勾股定理求出，由三角形的面积公式及扇形的面积公式可得出答案．【详解】（1）∵，∴，∴，

∵切于D，∴，即，

∴；（2）∵，∴，在中，，

21．可以围成AB的长为15米，BC为20米的矩形【详解】解：设AB=xm，则BC=（50﹣2x）m．根据题意可得，x（50﹣2x）=300，解得：x1=10，x2=15，当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25，故x1=10（不合题意舍去）．答：可以围成AB的长为15米，BC为20米的矩形．根据可以砌50m长的墙的材料，即总长度是50m，AB=xm，则BC=（50﹣2x）m，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可．22．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）连接AD，根据中垂线定理不难求得AB=AC；（2）要证DE为⊙O的切线，只要证明∠ODE=90°即可．【详解】（1）连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，又∵AB=AC，∴DC=BD；（2）连接半径OD，∵OA=OB，CD=BD，∴OD∥AC，∴∠ODE=∠CED，又∵DE⊥AC，∴∠CED=90°，∴∠ODE=90°，即OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线．考点：切线的判定．23．(1)y=-2+120x-1000;(2)30元，800元【详解】试题分析：（1）由每天销售利润=每千克的盈利×每天的销售量，结合题意即可列出y与x间的函数关系式：y=(x-10)·w，再代入w=-2x+100化简即可得到所求函数关系式；（2）将（1）中所求函数关系式配方，即可得到所求答案.试题解析：（1）由题意可得：y=w(x-10)=(-2x+100)(x-10)，化简可得：y=-2+120x-1000；（2）∵y=-2+120x-1000=-2(x-30)²+800，∴当x=30即销售价为30元时，每天的销售利润最大，最大利润是800元.24．（1）35；（2）【分析】（1）模仿例题求解即可解决问题;（2）探究规律，利用规律即可解决问题．【详解】（Ⅰ）如图，令设的内切圆分别与相切于点，的长为根据切线长定理，得，，，据勾股定理得，整理，得所以（Ⅱ）由（1）可知：【点睛】本题考查了三角形的面积，切线长定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．25．(1)①见解析；②见解析(2)不成立，存在的数量关系为：，理由见解析【分析】本题考查了等边三角形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质．熟练掌握等边