吉林省长春市榆树市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析）

榆树市2023—2024学年度第一学期期末质量监测九年级数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（

）A． B． C． D．2．若sinα＝，则锐角α＝（）A．30° B．45° C．50° D．60°3．一元二次方程的根的情况是（）A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根4．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（

）A．60m B．40m C．30m D．20m5．若点、都在二次函数的图象上，则a与b的大小关系（

）A． B． C． D．无法确定6．如图，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，四边形ABCD的面积等于4，则四边形A′B′C′D′的面积为（）A．3 B．4 C．6 D．97．如图，河坝横断面迎水坡的坡比为．坝高为，则的长度为（

）A． B． C． D．8．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，已知的顶点位于正方形网格的格点上，且，则满足条件的是（

）A． B．C． D．二、填空题（每小题3分，共18分）9．计算．10．抛物线的对称轴是直线．11．如图，一片树叶放置在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点、、均在格点上，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为．12．如图，在4×4的正方形网络中，已将部分小正方形涂上阴影，有一个小虫落到网格中，那么小虫落到阴影部分的概率是.13．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为660平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为．14．如图，在等边三角形中，，点是边上一点，且，点是边上一动点（、两点均不与端点重合），作，交边于点．若，当满足条件的点有且只有一个时，则的值为．

三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．计算：．16．解方程：x2﹣5x+2＝0（配方法）17．图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，在图②、图③中仿照图①，只用无刻度的直尺，各画出一条线段CD，将线段AB分为2：3两部分．要求：所画线段CD的位置不同，点C、D均在格点上18．已知如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），且与y轴交于点C（0，-3）.（1）求该函数的关系式；（2）求该抛物线与x轴的交点A，B的坐标.19．如图，小明为了测量学校旗杆的高度，在地面离旗杆底部C处22米的A处放置高度为1.8米的测角仪，测得旗杆顶端D的仰角为．求旗杆的高度．（结果精确到0.1米）【参考数据：】20．为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为元时，每天可售出个；若销售单价每降低元，每天可多售出个．已知每个电子产品的固定成本为元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利元？21．为了激发同学们对理化的科学研究兴趣，并在实践中更好地理解和消化理论知识，提高动手能力，某校在初三年级开展了理化试验操作竞赛，物理、化学图有3个不同的操作实验题目，物理题目用序号①、②、③表示，化学题目用字母a、b、c表示，测试时每名学生每科只操作一个实验，实验的题目由学生随机抽签确定，第一次抽签确定物理实验题目，第二次抽签确定化学实验题目．(1)小李同学抽到物理实验题目①这是一个事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）．(2)小张同学对物理的①、②和化学的c号实验准备得较好，请用画树状图（或列表）的方法，求他同时抽到两科都准备得较好的实验题目的概率．22．如图，四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝4，点E在边AB上（不与点A、B重合），过点D作DF⊥DE，交边BC的延长线于点F．（1）求证：△DAE∽△DCF．（2）设线段AE的长为x，线段BF的长为y，求y与x之间的函数关系式．（3）当四边形EBFD为轴对称图形时，则cos∠AED的值为．23．【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．请根据教材提示，结合图1，写出完整的证明过程．猜想：如图1．在中，点、分别是与的中点，根据画出的图形，可以猜想：，且．对此，我们可以用演绎推理给证明．【结论应用】如图2，是等边三角形，点在边上（点与点、不重合），过点作交于点，连结，、、分别为、、的中点，顺次连结、、．①求证：；②的大小是．24．如图，在中，，，，动点从点出发，沿以每秒5个单位长度的速度向终点运动，过点作于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结．设点的运动时间为秒（）．(1)线段的长为________（用含的代数式表示）．(2)当点与点重合时，求的值．(3)当、、三点共线时，求的值．(4)当为钝角三角形时，直接写出的取值范围．

参考答案与解析

1．C【分析】先将各数化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的被开方数相同可解答．【详解】解：A、是整数，与不是同类二次根式，不符合题意；B、与的被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意；C、，与的被开方数相同，是同类二次根式，符合题意；D、，与的被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查同类二次根式，关键是熟练掌握同类二次根式的判断方法，属于基础题，注意判断时先要化为最简二次根式．2．A【分析】根据30°角的正弦值等于解答．【详解】解：∵sinα＝，∵锐角α＝30°．故选：A．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，需熟记特殊角的三角函数值是解答此类试题的关键．3．B【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的值进行判断．【详解】解：，所以方程没有实数根．故选：B．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．4．B【详解】∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴AB∥DC．∴△EAB∽△EDC．∴．又∵BE=20m，EC=10m，CD=20m，∴，解得：AB＝40（m）．故选：B．5．B【分析】根据题意得：当时，，当时，，即可求解．【详解】解：根据题意得：当时，，当时，，∴．故选：B【点睛】本题主要考查了比较二次函数的函数值的大小，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．6．D【分析】利用位似的性质得到AD：A′D′＝OA：OA′＝2：3，再利用相似多边形的性质得到得到四边形A′B′C′D′的面积．【详解】解：∵四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，∴AD：A′D′＝OA：OA′＝2：3，∴四边形ABCD的面积：四边形A′B′C′D′的面积＝4：9，而四边形ABCD的面积等于4，∴四边形A′B′C′D′的面积为9．故选：D．【点睛】本题考查的是位似变换的性质，掌握位似图形与相似图形的关系、相似多边形的性质是解题的关键．7．B【分析】在Rt△ABC中，已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．【详解】解：在Rt△ABC中，BC=4米，tanA=1：；∴AC=BC÷tanA=米，∴米．故选：B．【点睛】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，根据坡比求出AC的长度是解答本题的关键．8．B【分析】先构造直角三角形，由求解即可得出答案【详解】A.，故此选项不符合题意；B.，故此选项符合题意；C.，故此选项不符合题意；D.，故此选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查锐角三角函数，掌握在直角三角形中，是解题的关键．9．6【分析】利用二次根式的乘法法则进行求解即可．【详解】解：．故答案为：6．【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则和二次根式的性质是解题的关键．10．【分析】根据顶点式直接可得对称轴为直线．【详解】解：抛物线的对称轴是直线．故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握顶点式是解题的关键．11．【分析】本题考查了平面直角坐标系中的点坐标．根据、的坐标正确的建立平面直角坐标系是解题的关键．根据、的坐标建立平面直角坐标系，然后求点的坐标即可．【详解】解：由点的坐标为，点的坐标为，建立平面直角坐标系，如图，∴点的坐标为，故答案为：．12．【分析】本题应分别求出正方形的总面积和阴影部分的面积，用阴影部分的面积除以总面积即可得出概率．【详解】解：小虫落到阴影部分的概率＝，故答案为．【点睛】本题考查的是概率的公式，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．13．（35-2x）（20-x）=660【分析】若设小道的宽为x米，则阴影部分可合成长为（35-2x）米，宽为（20-x）米的矩形，利用矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解【详解】解：依题意，得：（35-2x）（20-x）=660．故答案为：（35-2x）（20-x）=660．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．14．4【分析】根据等边三角形的性质和三角形内角和定理证明，得到，从而建立关于额一元二次方程，再利用，求出的值即可．【详解】解：是等边三角形，，，，，，，，，，，，，，满足条件的点有且只有一个，方程有两个相等的实数根，，解得：，故答案为：4．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根和系数的关系等知识，利用方程的思想解决问题是关键．15．【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质是解题关键．先计算二次根式乘除法，再利用二次根式的性质化简，最后合并同类项即可．【详解】解：．16．x1＝，x2＝．【分析】把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣5的一半的平方．【详解】把方程x2﹣5x+2＝0的常数项移到等号的右边，得x2﹣5x＝﹣2，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得：x2﹣5x+（）2＝﹣2+（）2，配方，得：（x）2＝．开方，得：解得:x1，x2．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．17．见解析【分析】根据两条直线平行对应线段成比例即可画出一条线段CD，将线段AB分为2：3两部分．【详解】如图所示：如图1：∵AC∥DB，∴EB：AE=DB：AC=2：3；如图２：∵AC∥DB，∴AE：EB=AC：DB=2：3；如图3：∵AC∥DB，∴EB：AE=DB：AC=2：3；故图中各画出了一条线段CD，将线段AB分为2：3两部分．【点睛】本题考查了作图﹣应用与设计作图．熟记两条直线平行对应线段成比例的性质是解题的关键所在．18．（1）（2）A（3，0），B（-1，0）.【分析】（1）由抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），可设抛物线的函数关系式为y=a（x-1）2-4，再将C（0，-3）代入求解即可；（2）将y=0代入（1）中所求解析式，得到x2-2x-3=0，解方程求出x的值，进而得到抛物线与x轴的交点A，B的坐标．【详解】（1）∵抛物线的顶点D的坐标为(1，−4)，∴设抛物线的函数关系式为y=a(x−1)2−4，又∵抛物线过点C(0，-3)，∴-3=a(0−1)2−4，解得a=1，∴抛物线的函数关系式为y=(x−1)2−4，即y=x2−2x−3；（2）令y=0，得：x2，解得，.所以坐标为A（3，0），B（-1，0）.19．15.4米【分析】根据BE⊥CD于E，利用正切的概念求出ED的长，结合图形计算即可．【详解】解：由题意得，BE⊥CD于E，BE=AC=22米，∠DBE=32°，在Rt△DBE中，DE=BE•tan∠DBE=22×0.62≈13.64（米），CD=CE+DE=1.8+13.64≈15.4（米），答：旗杆的高CD约为15.4米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．20．销售单价为元时，公司每天可获利元【分析】根据题意设降价后的销售单价为元，由题意得到，则可得到答案.【详解】解：设降价后的销售单价为元，则降价后每天可售出个，依题意，得：，整理，得：，解得：．，符合题意．答：这种电子产品降价后的销售单价为元时，公司每天可获利元．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的实际应用.21．(1)随机(2)【分析】（1）根据“必然”、“不可能”或“随机”三种事件的特点，可知小李同学抽到物理实验题目①这是一个什么事件；（2）根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以求得他同时抽到两科都准备得较好的实验题目的概率．【详解】（1）解：由题意可知，小李同学抽到物理实验题目①这是一个随机事件．故答案为：随机；（2）解：根据题意画图如下：

共有9种等可能的情况数，其中同时抽到两科都准备得较好的实验题目的有2种，则P（同时抽到两科都准备得较好）＝．【点睛】本题考查列表法与树状图法、随机事件，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．22．（1）见解析；（2）y＝x+4；（3）．【分析】（1）根据矩形的性质和余角的性质得到∠A=∠ADC=∠DCB=90°，∠ADE=∠CDF，最后运用相似三角形的判定定理证明即可；（2）运用相似三角形的性质解答即可；（3）根据轴对称图形的性质可得DE=BE，再运用勾股定理可求出AE，DE的长，最后用余弦的定义解答即可.【详解】（1）证明∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AD＝BC＝4，AB＝CD＝6，∴∠ADE+∠EDC＝90°，∵DF⊥DE，∴∠EDC+∠CDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，且∠A＝∠DCF＝90°，∴△DAE∽△DCF；（2）∵△DAE∽△DCF，∴，∴∴y＝x+4；（3）∵四边形EBFD为轴对称图形，∴DE＝BE，∵AD2+AE2＝DE2，∴16+AE2＝（6﹣AE）2，∴AE＝，∴DE＝BE＝，∴cos∠AED＝＝，故答案为：．【点睛】本题属于相似形三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理、轴对称图形的性质等知识，灵活运用相似三角形的判定和性质是解答本题的关键.23．教材呈现：证明见解析；结论应用：①见解析；②【分析】教材呈现：证明即可解决问题．结论应用：①利用三角形的中位线定理即可证明．②利用三角形的中位线定理以及平行线的判定与性质解决问题即可．【详解】教材呈现：证明：∵点，分别是，的中点，∴，∵，∴，∴，，∴