玉林市重点中学2024届数学高一第二学期期末考试试题含解析

玉林市重点中学2024届数学高一第二学期期末考试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则和的值分别为A．5，5 B．3，5 C．3，7 D．5，72．已知单位向量，，满足.若点在内，且，，则下列式子一定成立的是（）A． B．C． D．3．等差数列{an}的公差是2，若a2,a4A．n(n+1) B．n(n-1) C．n(n+1)2 D．4．直线过且在轴与轴上的截距相等，则的方程为（）A． B．C．和 D．5．若实数满足不等式组，则的最小值是（）A． B．0 C．1 D．26．若，则的最小值为（）A． B． C． D．7．在的二面角内，放置一个半径为3的球，该球切二面角的两个半平面于A，B两点，那么这两个切点在球面上的最短距离为（）A． B． C． D．8．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A．588 B．480 C．450 D．1209．已知，则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．10．体积为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球的表面积_____．12．在中，，，是角，，所对应的边，，，如果，则________.13．设,则的值是____.14．若一组样本数据，，，，的平均数为，则该组样本数据的方差为15．方程的解集是___________16．已知是内的一点，，，则_______；若，则_______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知向量，．（I）若，共线，求的值．（II）若，求的值；（III）当时，求与夹角的余弦值．18．假设关于某设备的使用年限x和支出的维修费y(万元)有如下表的统计资料(1)画出数据的散点图，并判断y与x是否呈线性相关关系(2)若y与x呈线性相关关系，求线性回归方程的回归系数，(3)估计使用年限为10年时，维修费用是多少?参考公式及相关数据:19．某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目．经测算该项目月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可以近似地表示为：，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为元，若该项目不获利，政府将给予补贴．（1）当时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？20．某电视台有一档益智答题类综艺节日，每期节目从现场编号为01～80的80名观众中随机抽取10人答题.答题选手要从“科技”和“文艺”两类题目中选一类作答，一共回答10个问题，答对1题得1分.（1）若采用随机数表法抽取答题选手，按照以下随机数表，从下方带点的数字2开始向右读，每次读取两位数，一行用完接下一行左端，求抽取的第6个观众的编号.162277943949544354821737932378873509643842634916484421753315724550688770474476721763350258392120676（2）若采用等距系统抽样法抽取答题选手，且抽取的最小编号为06，求抽取的最大编号.（3）某期节目的10名答题选手中6人选科技类题目，4人选文艺类题目.其中选择科技类的6人得分的平均数为7，方差为；选择文艺类的4人得分的平均数为8，方差为.求这期节目的10名答题选手得分的平均数和方差.21．在如图所示的直角梯形中，，求该梯形绕上底边所在直线旋转一周所形成几何体的表面积和体积.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

利用茎叶图、中位数、平均数的性质直接求解．【题目详解】由茎叶图得：∵甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，∴65＝60+y，解得y＝5，∵平均值也相等，∴，解得x＝1．故选B．【题目点拨】本题考查实数值的求法，考查茎叶图、中位数、平均数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2、D【解题分析】

设，对比得到答案.【题目详解】设，则故答案为D【题目点拨】本题考查了向量的计算，意在考查学生的计算能力.3、A【解题分析】试题分析：由已知得，a42=a2⋅a8，又因为{an}【考点】1、等差数列通项公式；2、等比中项；3、等差数列前n项和．4、B【解题分析】

对直线是否过原点分类讨论，若直线过原点满足题意，求出方程；若直线不过原点，在轴与轴上的截距相等，且不为0，设直线方程为将点代入，即可求解.【题目详解】若直线过原点方程为，在轴与轴上的截距均为0，满足题意；若直线过原点，依题意设方程为，代入方程无解.故选:B.【题目点拨】本题考查直线在上的截距关系，要注意过原点的直线在轴上的截距是轴上的截距的任意倍，属于基础题.5、A【解题分析】

画出不等式组的可行域,再根据线性规划的方法,结合的图像与的关系判定最小值即可.【题目详解】画出可行域,又求最小值时,故的图形与可行域有交点,且往上方平移到最高点处.易得此时在处取得最值.故选：A【题目点拨】本题主要考查了线性规划与绝对值函数的综合运用,需要根据题意画图,根据函数的图形性质分析.属于中档题.6、D【解题分析】

根据对数运算可求得且，，利用基本不等式可求得最小值.【题目详解】由得：且，（当且仅当时取等号）本题正确选项：【题目点拨】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够利用对数运算得到积的定值，属于基础题.7、A【解题分析】

根据题意，作出截面图，计算弧长即可.【题目详解】根据题意，作出该球过球心且经过A、B的截面图如下所示：由题可知：则，故满足题意的最短距离为弧长BA，在该弧所在的扇形中，弧长.故选：A.【题目点拨】本题考查弧长的计算公式，二面角的定义，属综合基础题.8、B【解题分析】试题分析：根据频率分布直方图，得；该模块测试成绩不少于60分的频率是1-（0.005+0.015）×10=0.8，∴对应的学生人数是600×0.8=480考点：频率分布直方图9、D【解题分析】

利用排除法，取，，可排除错误选项，再结合函数的单调性，可证明D正确.【题目详解】取，，可排除A，B，C，由函数是上的增函数，又，所以，即选项D正确.故选：D.【题目点拨】本题考查不等式的性质，考查学生的推理论证能力，属于基础题.10、A【解题分析】试题分析：因为正方体的体积为8，所以棱长为2，所以正方体的体对角线长为，所以正方体的外接球的半径为，所以该球的表面积为，故选A.【考点】正方体的性质，球的表面积【名师点睛】与棱长为的正方体相关的球有三个：外接球、内切球和与各条棱都相切的球，其半径分别为、和.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、.【解题分析】

由题意推出球心O到四个顶点的距离相等，利用直角三角形BOE，求出球的半径，即可求出外接球的表面积．【题目详解】如图，∵正三棱锥A﹣BCD中，底面边长为，底面外接圆半径为侧棱长为2，BE=1,在三角形ABE中，根据勾股定理得到：高AE得到球心O到四个顶点的距离相等，O点在AE上，在直角三角形BOE中BO＝R，EOR，BE＝1，由BO2＝BE2+EO2，得R∴外接球的半径为，表面积为：故答案为．【题目点拨】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.12、【解题分析】

首先利用同角三角函数的基本关系求出，再利用正弦定理即可求解.【题目详解】在中，，，即，，，即，，，，，即，，，即，，，由正弦定理得，，，故答案为：【题目点拨】本题考查了同角三角函数的基本关系以及正弦定理解三角形，需熟记公式，属于基础题.13、【解题分析】

根据二倍角公式得出，再根据诱导公式即可得解．【题目详解】解：由题意知：故，即．故答案为.【题目点拨】本题考查了二倍角公式和诱导公式的应用，属于基础题．14、【解题分析】因为该组样本数据的平均数为2017，所以，解得，则该组样本数据的方差为.15、或【解题分析】

方程的根等价于或，分别求两个三角方程的根可得答案.【题目详解】方程或，所以或，所以或.故答案为：或.【题目点拨】本题考查三角方程的求解，求解时可利用单位圆中的三角函数线，注意终边相同角的表示，考查运算求解能力和数形结合思想的运用.16、【解题分析】

对式子两边平方，再利用向量的数量积运算即可；式子两边分别与向量，进行数量积运算，得到关于的方程组，解方程组即可得答案.【题目详解】∵，∴；∵，∴解得：，∴.故答案为：；.【题目点拨】本题考查向量数量积的运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将向量等式转化为数量关系的方法.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（I）;（II）;（III）【解题分析】

（1）根据题意，由向量平行的坐标公式可得﹣2x=4，解可得x的值，即可得答案；（2）若，则有，结合向量数量积的坐标可得，即4x﹣2=0，解可得x的值，即可得答案；（3）根据题意，由x的值可得的坐标，由向量的坐标计算公式可得、和的值，结合，计算可得答案．解：（I）∵与共线，∴，（II）∵，∴，∴（III）∵，∵，，∴，又∵，∴．18、（1）见解析；（2），；（3）12.38万元【解题分析】

（1）在坐标系中画出5个离散的点；（2）利用最小二乘法求出，再利用回归直线过散点图的中心，求出；（3）将代入（2）中的回归直线方程，求得.【题目详解】（1）散点图如下：所以从散点图年，它们具有线性相关关系.（2），，于是有，.（3）回归直线方程是当时，（万元），即估计使用年限为10年时，维修费用是万元.【题目点拨】本题考查散点图的作法、最小二乘法求回归直线方程及利用回归直线预报当时，的值，考查数据处理能力.19、（1）不能获利，政府每月至少补贴元；（2）每月处理量为吨时，平均成本最低.【解题分析】

（1）利用：（生物的柴油总价值）（对应段的月处理成本）利润，根据利润的正负以及大小来判断是否需要补贴，以及补贴多少；（2）考虑：（月处理成本）（月处理量）每吨的平均处理成本，即为，计算的最小值，注意分段.【题目详解】（1）当时，该项目获利为，则∴当时，，因此，该项目不会获利当时，取得最大值，所以政府每月至少需要补贴元才能使该项目不亏损；（2）由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：当时，所以当时，取得最小值；当时，当且仅当，即时，取得最小值因为，所以当每月处理量为吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．【题目点拨】本题考查分段函数模型的实际运用，难度一般.（1）实际问题在求解的时候注意定义域问题；（2）利用基本不等式求解最值的时候，注意说明取等号的条件.20、（1）42；（2）78；（3）平均数为7.4，方差为2.24【解题分析】

（1）根据随机数表依次读取数据即可，取01～80之间的数据；（2）根据系统抽样，确定组矩，计算可得；（3）根据平均数和方差得出数据的整体关系，整体代入求解10名选手的平均数和方差.【题目详解】（1）根据题意读取的编号依次是：20,96（超界），43,84（超界），26,34,91（超界），64,84（超界），42,17，所以抽取的第6个观众的编号为42；（2）若采用系统抽样，组矩为8，最小编号为06，则最大编号为6+9×8=78