2024届山东省临沂市兰陵县高一数学第二学期期末统考试题含解析

2024届山东省临沂市兰陵县高一数学第二学期期末统考试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．某校进行了一次消防安全知识竞赛，参赛学生的得分经统计得到如图的频率分布直方图，若得分在的有60人，则参赛学生的总人数为（）A．100 B．120 C．150 D．2002．下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则和的值分别为A．5，5 B．3，5 C．3，7 D．5，73．记为实数中的最大数.若实数满足则的最大值为（）A． B．1 C． D．4．下列正确的是()A．若a，b∈R，则B．若x<0，则x＋≥－2＝－4C．若ab≠0，则D．若x<0，则2x＋2－x>25．已知圆：关于直线对称的圆为圆：，则直线的方程为A． B． C． D．6．已知满足，则（）A．1 B．3 C．5 D．77．设，，，则，，的大小关系是（）A． B． C． D．8．祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅首先提出来的.祖暅原理的内容是：“幂势既同，则积不容异”，“势”即是高，“幂”是面积.意思是，如果夹在两平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知，两个平行平面间有三个几何体，分别是三棱锥、四棱锥、圆锥（高度都是h），其中：三棱锥的体积为V，四棱锥的底面是边长为a的正方形，圆锥的底面半径为r，现用平行于这两个平面的平面去截三个几何体，如果得到的三个截面面积总相等，那么，下面关系式正确的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，9．已知向量，，则，的夹角为（）A． B． C． D．10．已知函数，其中为整数，若在上有两个不相等的零点，则的最大值为()A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知为钝角，且，则__________.12．的内角的对边分别为.若，则的面积为__________.13．___________.14．若Sn为等比数列an的前n项的和，8a15．若存在实数使得关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是____.16．已知向量与的夹角为，且，；则__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在ΔABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足3(b（1）求角B的大小；（2）若ΔABC的面积为32，B是钝角，求b18．已知等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）已知数列的前项和，，求数列，的前项和.19．已知数列，.(1)记，证明:是等比数列；(2)当是奇数时，证明:；(3)证明:.20．已知圆心在直线上的圆C经过点，且与直线相切.（1）求过点P且被圆C截得的弦长等于4的直线方程；（2）过点P作两条相异的直线分别与圆C交于A，B，若直线PA，PB的倾斜角互补，试判断直线AB与OP的位置关系（O为坐标原点），并证明.21．已知函数.（1）当，时，求不等式的解集；（2）若，，的最小值为2，求的最小值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】

根据频率分布直方图求出得分在的频率，即可得解.【题目详解】根据频率分布直方图可得：得分在的频率0.35，得分在的频率0.3，得分在的频率0.2，得分在的频率0.1，所以得分在的频率0.05，得分在的频率为0.4，有60人，所以参赛学生的总人数为60÷0.4=150人.故选：C【题目点拨】此题考查根据频率分布直方图求某组的频率，根据频率分布直方图的特征计算小矩形的面积，根据总面积之和为1计算未知数，结合频率频数计算总人数.2、B【解题分析】

利用茎叶图、中位数、平均数的性质直接求解．【题目详解】由茎叶图得：∵甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，∴65＝60+y，解得y＝5，∵平均值也相等，∴，解得x＝1．故选B．【题目点拨】本题考查实数值的求法，考查茎叶图、中位数、平均数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3、B【解题分析】

先利用判别式法求出|x|,|y|,|z|的取值范围，再判断得解.【题目详解】因为，所以，整理得：，解得，所以，同理，.故选B【题目点拨】本题主要考查新定义和判别式法求范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4、D【解题分析】对于A，当ab<0时不成立；对于B，若x<0，则x＋＝－≤－2＝－4，当且仅当x＝－2时，等号成立，因此B选项不成立；对于C，取a＝－1，b＝－2，＋＝－<a＋b＝－3，所以C选项不成立；对于D，若x<0，则2x＋2－x>2成立．故选D.5、A【解题分析】

根据对称性，求得，求得圆的圆心坐标，再根据直线l为线段C1C2的垂直平分线，求得直线的斜率，即可求解，得到答案．【题目详解】由题意，圆的方程，可化为，根据对称性，可得：，解得：或（舍去，此时半径的平方小于0，不符合题意），此时C1(0，0)，C2(－1，2)，直线C1C2的斜率为：，由圆C1和圆C2关于直线l对称可知：直线l为线段C1C2的垂直平分线，所以，解得，直线l又经过线段C1C2的中点(，1)，所以直线l的方程为：，化简得：，故选A【题目点拨】本题主要考查了圆与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记两圆的位置关系，合理应用圆对称性是解答本题的关键，其中着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6、B【解题分析】

已知两个边和一个角，由余弦定理，可得。【题目详解】由题得，，，代入，化简得，解得（舍）或.故选：B【题目点拨】本题考查用余弦定理求三角形的边，是基础题。7、D【解题分析】

首先确定题中，，的取值范围，再根据大小排序即可.【题目详解】由题知，，，，所以排序得到.故选：D.【题目点拨】本题主要考查了比较指数对数的大小问题，属于基础题.8、D【解题分析】

由祖暅原理可知：三个几何体的体积相等，根据椎体体积公式即可求解.【题目详解】由祖暅原理可知：三个几何体的体积相等，则，解得，由，解得，所以.故选：D【题目点拨】本题考查了椎体的体积公式，需熟记公式，属于基础题.9、A【解题分析】

由题意得，即可得，再结合即可得解.【题目详解】由题意知，则.，则，的夹角为.故选：A.【题目点拨】本题考查了向量数量积的应用，属于基础题.10、A【解题分析】

利用一元二次方程根的分布的充要条件得到关于的不等式，再由为整数，可得当取最小时，取最大，从而求得答案.【题目详解】∵在上有两个不相等的零点，∴∵，∴当取最小时，取最大，∵两个零点的乘积小于1，∴，∵为整数，令时，，满足.故选：A.【题目点拨】本题考查一元二次函数的零点，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意为整数的应用.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、.【解题分析】

利用同角三角函数的基本关系即可求解.【题目详解】由为钝角，且，所以，所以.故答案为：【题目点拨】本题考查了同角三角函数的基本关系，同时考查了象限角的三角函数的符号，属于基础题.12、【解题分析】

本题首先应用余弦定理，建立关于的方程，应用的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．【题目详解】由余弦定理得，所以，即解得（舍去）所以，【题目点拨】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．13、【解题分析】

先将写成的形式，再根据诱导公式进行求解.【题目详解】由题意得：.故答案为：.【题目点拨】考查三角函数的诱导公式.，，,,.14、-7【解题分析】设公比为q，则8a1q=-a115、【解题分析】

先求得的取值范围，将题目所给不等式转化为含的绝对值不等式，对分成三种情况，结合绝对值不等式的解法和不等式恒成立的思想，求得的取值范围.【题目详解】由于，故可化简得恒成立.当时，显然成立.当时，可得，，可得且，可得，即，解得.当时，可得，可得且，可得，即，解得.综上所述，的取值范围是.【题目点拨】本小题主要考查三角函数的值域，考查含有绝对值不等式恒成立问题，考查存在性问题的求解策略，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.16、【解题分析】

已知向量与的夹角为，则，已知模长和夹角代入式子即可得到结果为故答案为1．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）B=π3或2π【解题分析】

（1）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得3sin(A+B)=2sinBsin（2）由（1）和三角形的面积公式，可求得ac=2，再由余弦定理和基本不等式，即可求解b的最小值.【题目详解】（1）由题意，知3(b结合正弦定理得：3(即3sin又在△ABC中，sin(A+B)=sinC>0因为B∈(0,π)所以B=π3或（2）由三角形的面积公式，可得12又由sinB=32因为B是钝角，所以B=2π由余弦定理得b2当且仅当a=c时取等号，所以b的最小值为6.【题目点拨】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题.18、（1），（2）【解题分析】

（1）根据题意得到，解方程组即可.（2）首先根据，得到，再利用错位相减法即可求出.【题目详解】（1）有题知，解得.所以.（2）当时，，当时，.检查：当时，.所以，.①，②，①②得：，.【题目点拨】本题第一问考查等差数列的性质，第二问考查利用错位相减法求数列的前项和，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.19、(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析【解题分析】

（1）对递推关系进行变形得，从而证明是等比数列；（2）由(1)得，代入所证式子，再利用放缩法进行证明；（3）由(2)可知，对分偶数和奇数计论，放缩法和等比数列求和，即可证明结论.【题目详解】(1)∵，∴，且所以，数列是首项为，公比为3的等比数列.(2)由(1)可知当k是奇数时，(3)由(2)可知，当为偶数时，当为奇数时，所以.【题目点拨】本题考查等比数列的定义证明、等比数列前项和、不等式的放缩法证明，考查转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意讨论的突破口.20、（1）或；（2）平行【解题分析】

（1）设出圆的圆心为，半径为，可得圆的标准方程，根据题意可得，解出即可得出圆的方程，讨论过点P的直线斜率存在与否，再根据点到直线的距离公式即可求解.（2）由题意知，直线PA，PB的倾斜角互补，分类讨论两直线的斜率存在与否，当斜率均存在时，则直线PA的方程为：，直线PB的方程为：，分别与圆C联立可得，利用斜率的计算公式与作比较即可.【题目详解】（1）根据题意，不妨设圆C的圆心为，半径为，则圆C，由圆C经过点，且与直线相切，则，解得，故圆C的方程为：，所以点在圆上，过点P且被圆C截得的弦长等于4的直线，当直线的斜率不存在时，直线为：，满足题意；当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，直线方程为：，故，解得，故直线方程为：.综上所述：所求直线的方程：或.（2）由题意知，直线PA，PB的倾斜角互补，且直线PA，PB的斜率均存在，设两直线的倾斜角为和，，，因为，由正切的性质，则，不妨设直线的斜率为，则PB的斜率为，即：，则：，由，得，点的横坐标为一定是该方程的解，故可得，