2024届山西省忻州市数学高一下期末综合测试模拟试题含解析

2024届山西省忻州市数学高一下期末综合测试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知，，，则的大小关系为（）A． B． C． D．2．直线的倾斜角为A． B． C． D．3．已知过点的直线的倾斜角为，则直线的方程为（）A． B． C． D．4．中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”.其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，则该人第五天走的路程为（）A．48里 B．24里 C．12里 D．6里5．关于某设备的使用年限（单位：年）和所支出的维修费用（单位：万元）有如下统计数据表：使用年限维修费用根据上表可得回归直线方程，据此估计，该设备使用年限为年时所支出的维修费用约是（）A．万元 B．万元 C．万元 D．万元6．已知平面向量=（1，－3），=（4，－2），与垂直，则是（）A．2 B．1 C．－2 D．－17．已知为等差数列，其前项和为，若，，则公差等于（）A． B． C． D．8．变量满足，目标函数，则的最小值是（）A． B．0 C．1 D．-19．设集合，，若，则的取值范围是（）A． B． C． D．10．在长方体中，,,则异面直线与所成角的余弦值为()A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．函数的最大值为，最小值为，则的最小正周期为______．12．直线的倾斜角的大小是_________.13．将无限循环小数化为分数，则所得最简分数为______；14．把数列的所有数按照从大到小的原则写成如下数表：第行有个数，第行的第个数（从左数起）记为，则________.15．空间两点，间的距离为_____．16．已知在数列中，，，则数列的通项公式______．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．自变量在什么范围取值时，函数的值等于0?大于0呢?小于0呢?18．已知数列满足，.(Ⅰ)求，的值，并证明：0<≤1；(Ⅱ)证明：；(Ⅲ)证明：.19．已知常数且，在数列中，首项，是其前项和，且，.（1）设，，证明数列是等比数列，并求出的通项公式；（2）设，，证明数列是等差数列，并求出的通项公式；（3）若当且仅当时，数列取到最小值，求的取值范围．20．如图几何体中，底面为正方形，平面，，且.（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的大小.21．如果定义在上的函数，对任意的，都有，则称该函数是“函数”．（I）分别判断下列函数：①；②；③，是否为“函数”？（直接写出结论）（II）若函数是“函数”，求实数的取值范围．（III）已知是“函数”，且在上单调递增，求所有可能的集合与

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

根据对数函数的单调性可知都大于1，把化成后可得的大小，从而可得的大小关系.【题目详解】因为及都是上的增函数，故，，又，故，选B.【题目点拨】对数的大小比较，可通过寻找合适的单调函数来构建大小关系，如果底数不统一，可以利用对数的运算性质统一底数.不同类型的数比较大小，应找一个中间数，通过它实现大小关系的传递.2、D【解题分析】

把直线方程的一般式方程化为斜截式方程，求出斜率，根据斜率与倾斜角的关系，求出倾斜角.【题目详解】，设直线的倾斜角为，，故本题选D.【题目点拨】本题考查了直线方程之间的转化、利用斜率求直线的倾斜角问题.3、B【解题分析】

由直线的倾斜角求得直线的斜率，再由直线的点斜式方程求解．【题目详解】∵直线的倾斜角为，∵直线的斜率，又直线过点，由直线方程的点斜式可得直线的方程为，即．故选：B．【题目点拨】本题考查直线的点斜式方程，考查直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题．4、C【解题分析】

根据等比数列前项和公式列方程，求得首项的值，进而求得的值.【题目详解】设第一天走，公比，所以，解得，所以.故选C.【题目点拨】本小题主要考查等比数列前项和的基本量计算，考查等比数列的通项公式，考查中国古典数学文化，属于基础题.5、C【解题分析】

计算出和，将点的坐标代入回归直线方程，求得实数的值，然后将代入回归直线方程可求得结果.【题目详解】由表格中的数据可得，，由于回归直线过样本中心点，则，解得，所以，回归直线方程为，当时，.因此，该设备使用年限为年时所支出的维修费用约是万元.故选：C.【题目点拨】本题考查利用回归直线方程对总体数据进行估计，充分利用结论“回归直线过样本的中心点”的应用，考查计算能力，属于基础题.6、D【解题分析】

试题分析：，由与垂直可知考点：向量垂直与坐标运算7、C【解题分析】

由题意可得，又，所以,故选C.【题目点拨】本题考查两个常见变形公式和.8、D【解题分析】

先画出满足条件的平面区域，将变形为：，平移直线得直线过点时，取得最小值，求出即可．【题目详解】解：画出满足条件的平面区域，如图示：

由得：，

平移直线，显然直线过点时，最小，

由，解得：

∴最小值，

故选：D．【题目点拨】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题．9、A【解题分析】因为，，且，即，所以.故选A.10、C【解题分析】

连接，交于，取的中点，连接、，可以证明是异面直线与所成角，利用余弦定理可求其余弦值.【题目详解】连接，交于，取的中点，连接.由长方体可得四边形为矩形，所以为的中点，因为为的中点，所以，所以或其补角是异面直线与所成角.在直角三角形中，则，，所以.在直角三角形中，，在中，，故选C.【题目点拨】空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

先换元，令，所以，利用一次函数的单调性，列出等式，求出，然后利用正切型函数的周期公式求出即可．【题目详解】令，所以，由于，所以在上单调递减，即有，解得，，故最小正周期为．【题目点拨】本题主要考查三角函数的性质的应用，正切型函数周期公式的应用，以及换元法的应用．12、【解题分析】试题分析：由题意，即，∴．考点：直线的倾斜角.13、【解题分析】

将设为，考虑即为，两式相减构造方程即可求解出的值，即可得到对应的最简分数.【题目详解】设，则，由可知，解得.故答案为：.【题目点拨】本题考查将无限循环小数化为最简分数，主要采用方程的思想去计算，难度较易.14、【解题分析】

第行有个数知每行数的个数成等比数列，要求，先要求出，就必须求出前行一共出现了多少个数，根据等比数列的求和公式可求，而由可知，每一行数的分母成等差数列，可求出，令，即可求出.【题目详解】由第行有个数，可知每一行数的个数成等比数列，首项是，公比是，所以，前行共有个数，所以，第行第一个数为，，因此，.故答案为：.【题目点拨】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意数阵的应用，同时要找出数阵的规律，考查推理能力，属于中等题.15、【解题分析】

根据空间中两点间的距离公式即可得到答案【题目详解】由空间中两点间的距离公式可得;;故距离为3【题目点拨】本题考查空间中两点间的距离公式，属于基础题。16、【解题分析】

通过变形可知，累乘计算即得结论．【题目详解】∵（n+1）an＝nan+1，∴，∴，，…，，累乘得：，又∵a1＝1，∴an＝n，故答案为：an＝n．【题目点拨】本题考查数列的通项公式的求法，利用累乘法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、当或时，函数的值等于0；当时，函数的值大于0；当或时，函数的值小于0.【解题分析】

将问题转化为解方程和解不等式，以及，分别求解即可.【题目详解】由题：由得：或；由得：；由得：或，综上所述：当或时，函数的值等于0；当时，函数的值大于0；当或时，函数的值小于0.【题目点拨】此题考查解二次方程和二次不等式，关键在于熟练掌握二次方程和二次不等式的解法，准确求解.18、(Ⅰ)见证明；(Ⅱ)见证明；(Ⅲ)见证明【解题分析】

（I）直接代入计算得，利用得从而可证结论；（II）证明，即可；（III）由（II）可得，即，，应用累加法可得，从而证得结论．【题目详解】解：(Ⅰ)由已知得，.因为所以.所以又因为所以与同号.又因为＞0所以.(Ⅱ)因为又因为，所以.同理又因为，所以综上，(Ⅲ)证明：由(Ⅱ)可得所以，即所以，，...，累加可得所以由(Ⅱ)可得所以，即所以，，...，累加可得所以即综上所述.【题目点拨】本题考查数列递推公式，考查数列中的不等式证明．第（I）问题关键是证明数列是递减数列，第（II）问题是用作差法证明，第（III）问题是在第（II）问基础上用累加法求和（先求）．19、（1）证明见解析，；（2）证明见解析，；（3）.【解题分析】

（1）令，求出的值，再令，由，得出，将两式相减得，再利用等比数列的定义证明为常数，可得出数列为等比数列，并确定等比数列的首项和公比，可求出；（2）由题意得出，再利用等差数列的定义证明出数列为等差数列，确定等差数列的首项和公差，可求出数列的通项公式；（3）求出数列的通项公式，由数列在时取最小值，可得出当时，，当时，，再利用参变量分离法可得出实数的取值范围.【题目详解】（1）当时，有，即，；当时，由，可得，将上述两式相减得，，，且，所以，数列是以，以为公比的等比数列，；（2）由（1）知，，由等差数列的定义得，且，所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，因此，；（3）由（2）知，，，由数列在时取最小值，可得出当时，，当时，，由，得，得在时恒成立，由于数列在时单调递减，则，此时，；由，得，得在时恒成立，由于数列在时单调递减，则，此时，.综上所述：实数的取值范围是.【题目点拨】本题考查利用定义证明等比数列和等差数列，证明时需结合题中数列递推式的结构进行证明，同时也考查数列最值问题，需要结合题中条件转化为与项的符号相关的问题，利用参变量分离法可简化计算，考查化归与转化思想和运算求解能力，综合性较强，属于难题.20、（1）见解析（2）【解题分析】

（1）由，，结合面面平行判定定理可证得平面平面，根据面面平行的性质证得结论；（2）连接交于点，连接，利用线面垂直的判定定理可证得平面，从而可知所求角为，在中利用正弦求得结果.【题目详解】（1）四边形为正方形又平面平面又，平面平面平面，平面平面平面平面（2）连接交于点，连接平面，平面又四边形为正方形平面，平面即为与平面所成角且又即与平面所成角为：【题目点拨】本题考查线面平行的证明、直线与平面所成角的求解，涉及到面面平行的判定与性质、线面垂直的判定与性质的应用；求解直线与平面所成角的关键是能够通过垂直关系将所求角放入直角三角形中来进行求解.21、（I）①、②是“函数”，③不是“函数”;（II）的取值范围为;（III），【解题分析】试题分析：（1）根据“β函数”的定义判定．①、②是“β函数”，③不是“β函数”；（2）由题意，对任意的x∈R，f（﹣x）+f（x）≠0，故f（﹣x）+f（x）=2cosx+2a由题意，对任意的x∈R，2cosx+2a≠0，即a≠﹣cosx即可得实数a的取值范围（3）对任意的x≠0，分（a）若x∈A且﹣x∈A，（b）若x∈B且﹣x∈B，验证。（I）①、②是“函数”，③不是“函数”．（II）由题意，对任意的，，即．因为，所以．故．由题意，对任意的，，即．故