福建师大附中2024届数学高一下期末达标测试试题含解析

福建师大附中2024届数学高一下期末达标测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如果a＜b＜0，则下列不等式成立的是（）A． B．a2＜b2 C．a3＜b3 D．ac2＜bc22．已知直线过点，且在纵坐标轴上的截距为横坐标轴上的截距的两倍，则直线的方程为（）A． B．C．或 D．或3．若将函数的图象向左平移个最小周期后，所得图象对应的函数为（）A． B．C． D．4．下列命题中正确的是（）A．第一象限角必是锐角； B．相等的角终边必相同；C．终边相同的角相等； D．不相等的角其终边必不相同.5．已知椭圆的方程为()，如果直线与椭圆的一个交点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点，则的值为（）A．2 B．2 C．4 D．86．将图像向左平移个单位，所得的函数为（）A． B．C． D．7．在△中，若，则△为（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形8．为了了解所加工的一批零件的长度，抽测了其中个零件的长度，在这个工作中，个零件的长度是（）A．总体 B．个体 C．样本容量 D．总体的一个样本9．下列函数，是偶函数的为（）A． B． C． D．10．在中，，是的内心，若，其中，动点的轨迹所覆盖的面积为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．直棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为．12．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦的长为___．13．记为数列的前项和.若，则_______.14．在平面直角坐标系中，点到直线的距离为______.15．在△中，，，，则_________．16．在公比为q的正项等比数列{an}中，a3＝9，则当3a2+a4取得最小值时，＝_____．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．记公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知=2，是与的等比中项．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和Tn．18．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高，所在直线方程为.（1）求顶点的坐标；（2）求直线的方程.19．已知数列满足．证明数列为等差数列；求数列的通项公式．20．已知函数．（1）求的最小正周期；（2）求在区间上的最大值和最小值．21．如图，某小区有一块半径为米的半圆形空地，开发商计划在该空地上征地建一个矩形的花坛和一个等腰三角形的水池EDC，其中为圆心，在圆的直径上，在半圆周上.（1）设，征地面积为，求的表达式，并写出定义域；（2）当满足取得最大值时，建造效果最美观.试求的最大值，以及相应角的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】

根据a、b的范围，取特殊值带入判断即可．【题目详解】∵a＜b＜0，不妨令a＝﹣2，b＝﹣1，则，a2>b2所以A、B不成立，当c=0时，ac2=bc2所以D不成立，故选：C．【题目点拨】本题考查了不等式的性质，考查特殊值法进行排除的应用，属于基础题．2、D【解题分析】

根据题意，分直线是否经过原点2种情况讨论，分别求出直线的方程，即可得答案．【题目详解】根据题意，直线分2种情况讨论：①当直线过原点时，又由直线经过点，所求直线方程为，整理为，②当直线不过原点时，设直线的方程为，代入点的坐标得，解得，此时直线的方程为，整理为．故直线的方程为或.故选：D．【题目点拨】本题考查直线的截距式方程，注意分析直线的截距是否为0，属于基础题．3、B【解题分析】

首先判断函数的周期，再利用“左加右减自变量，上加下减常数项”解题．【题目详解】函数的最小正周期为,函数的图象向左平移个最小正周期即平移个单位后，所得图象对应的函数为,即.故选：B.【题目点拨】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，根据“左加右减”进行平移变换即可，对横坐标进行平移变换注意系数ω即可，属于基础题.4、B【解题分析】

根据终边相同的角和象限角的定义，举反例或直接进行判断可得最后结果.【题目详解】是第一象限角，但不是锐角，故A错误；与终边相同，但他们不相等，故C错误；与不相等，但他们的终边相同，故D错误；因为角的始边在x轴的非负半轴上，则相等的角终边必相同，故B正确.故选：B【题目点拨】本题考查了终边相同的角和象限角的定义，利用定义举出反例进行判断是解决本题的关键.5、A【解题分析】

首先求解交点的坐标，再根据椭圆的性质可知点的坐标是，再代入椭圆方程，解的值.【题目详解】设焦点，代入直线，可得，由椭圆性质可知，，解得或（舍）,.故选A.【题目点拨】本题考查了椭圆的基本性质，考查计算能力，属于基础题型.6、A【解题分析】

根据三角函数的图象的平移变换得到所求．【题目详解】由已知将函数y＝cos2x的图象向左平移个单位，所得的函数为y＝cos2（x）＝cos（2x）；故选：A．【题目点拨】本题考查了三角函数的图象的平移；明确平移规律是解答的关键．7、A【解题分析】

利用正弦定理化简已知条件，得到，由此得到，进而判断出正确选项.【题目详解】由正弦定理得，所以，所以，故三角形为等腰三角形，故选A.【题目点拨】本小题主要考查利用正弦定理判断三角形的形状，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.8、D【解题分析】

根据总体与样本中的相关概念进行判断.【题目详解】由题意可知，在这个工作中，个零件的长度是总体的一个样本，故选D.【题目点拨】本题考查总体与样本中相关概念的理解，属于基础题.9、B【解题分析】

逐项判断各项的定义域是否关于原点对称，再判断是否满足即可得解.【题目详解】易知各选项的定义域均关于原点对称.，故A错误；，故B正确；，故C错误；，故D错误.故选：B.【题目点拨】本题考查了诱导公式的应用和函数奇偶性的判断，属于基础题.10、A【解题分析】

由且，易知动点的轨迹为以为邻边的平行四边形的内部（含边界），在中，由，利用余弦定理求得边，再由和，求得内切圆的半径，从而得到，再由动点的轨迹所覆盖的面积得解.【题目详解】因为且，根据向量加法的平行四边形运算法则，所以动点的轨迹为以为邻边的平行四边形的内部（含边界），因为在中，，所以由余弦定理得：，所以，即，解得：，，所以.设的内切圆的半径为，所以所以.所以.所以动点的轨迹所覆盖的面积为：.故选：A【题目点拨】本题主要考查了动点轨迹所覆盖的面积的求及正弦定理，余弦定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】试题分析：画出图形，找出BM与AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM与AN所成角的余弦值．解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图：BC的中点为O，连结ON，MN，OB，∴MNOB，∴MN0B是平行四边形，∴BM与AN所成角就是∠ANO，∵BC=CA=CC1，设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB==，在△ANO中，由余弦定理得：cos∠ANO===．故答案为．考点：异面直线及其所成的角．12、【解题分析】

两圆方程相减求出公共弦所在直线的解析式，求出第一个圆心到直线的距离，再由第一个圆的半径，利用勾股定理及垂径定理即可求出公共弦长．【题目详解】圆与圆的方程相减得：，由圆的圆心，半径r为2，且圆心到直线的距离，则公共弦长为．故答案为．【题目点拨】此题考查了直线与圆相交的性质，求出公共弦所在的直线方程是解本题的关键．13、【解题分析】

由和的关系，结合等比数列的定义，即可得出通项公式.【题目详解】当时，当时，即则数列是首项为，公比为的等比数列故答案为：【题目点拨】本题主要考查了已知求，属于基础题.14、2【解题分析】

利用点到直线的距离公式即可得到答案。【题目详解】由点到直线的距离公式可知点到直线的距离故答案为2【题目点拨】本题主要考查点到直线的距离，熟练掌握公式是解题的关键，属于基础题。15、【解题分析】

利用余弦定理求得的值，进而求得的大小.【题目详解】由余弦定理得，由于，故.【题目点拨】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.16、【解题分析】

利用等比数列的性质，结合基本不等式等号成立的条件，求得公比，由此求得的值.【题目详解】∵在公比为q的正项等比数列{an}中，a3＝9，根据等比数列的性质和基本不等式得，当且仅当，即，即q时，3a2+a4取得最小值，∴log3q＝log3．故答案为：【题目点拨】本小题主要考查等比数列的性质，考查基本不等式的运用，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）an=2n（Ⅱ）【解题分析】

（Ⅰ）由a4是a2与a8的等比中项，可以求出公差，这样就可以求出求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）先求出等差数列{an}的前n项和为Sn，用裂项相消法求出求数列{}的前n项和Tn．【题目详解】解：（Ⅰ）由已知，，即（2+3d）2=（2+d）（2+7d），解得：d=2（d≠0），∴an=2+2（n-1）=2n；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，∴，∴=．【题目点拨】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式．重点考查了裂项相消法求数列前n项和．18、（1）；（2）【解题分析】

（1）根据边上的高所在直线方程求出的斜率，由点斜式可得的方程，与所在直线方程联立即可得结果；（2）设则，代入中，可求得点坐标，利用两点式可得结果.【题目详解】（1）由边上的高所在直线方程为得，所以直线AB所在的直线方程为，即联立解得所以顶点的坐标为（4,3）（2）因为在直线上，所以设则，代入中，得所以则直线的方程为，即【题目点拨】本题主要考查直线的方程，直线方程主要有五种形式，每种形式的直线方程都有其局限性，斜截式与点斜式要求直线斜率存在，所以用这两种形式设直线方程时要注意讨论斜是否存在；截距式要注意讨论截距是否为零；两点式要注意讨论直线是否与坐标轴平行；求直线方程的最终结果往往需要化为一般式.19、（1）见解析；（2）【解题分析】

（1）已知递推关系取倒数，利用等差数列的定义，即可证明.（2）由（1）可知数列为等差数列，确定数列的通项公式，即可求出数列的通项公式．【题目详解】证明：，且有，，又，，即，且，是首项为1，公差为的等差数列．解：由知，即，所以．【题目点拨】本题考查数列递推关系、等差数列的判断方法，考查了运用取倒数法求数列的通项公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.20、（1）（2）最大值为2，最小值为【解题分析】

(1)先将函数化简为，根据公式求最小正周期.

(2)由，则，可求出函数的最值.【题目详解】(1)所以的最小正周期为：.（2）由（1）有，则则当，即时，有最小值.当即，时，有最大值2.所以在区间上的最大值为2，最小值为．【题目点拨】本题考查三角函数化简、求最