高等数学（独立院校用）·上册

普通高等学校十二五规划教材

“”

高等数学

独立院校用

()

上册

主编李忠定王雅茹杨杰

编者李忠定王雅茹郭秀英左大伟

内容简介

本系列教材为独立院校大学工科各专业公共课教材共册高等数学上下册线性代数

,4:()、

与几何概率论与数理统计编者根据独立院校的教育教学特点及多年的教学经验撰写是河北省

、。,

年度高等教育教学改革立项项目的研究成果本书为高等数学上册内容包括一元函数微积

2011。·,

分无穷级数及它们的应用

、。

本书适合作为独立院校工科各专业高等数学课程的教材也适合作为普通高等学校本科大

,、

专函大夜大及自学考试教材或参考书

、、。

图书在版编目(CIP)数据

高等数学上册李忠定等主编北京中国

./.—:

铁道出版社

,2011.8

谱通高等学校十二五规划教材独立院校用

“”.

ISBN978-7-113-13214-9

高李高等数学高等学校

Ⅰ.①…Ⅱ.①…Ⅲ.①--

教材

Ⅳ.①013

中国版本图书馆数据核字第号

CIP(2011)155332

书名:高等数学独立院校用上册

()·

作者:李忠定王雅茹杨杰主编

策划编辑:李小军

责任编辑:李小军读者热线:

编辑助理:董志乔400-668-0820

封面设计:付巍封面制作:白雪

责任印制:李佳

出版发行:中国铁道出版社北京市宣武区右安门西街号邮政编码

(8:100054)

印刷:三河市兴达印务有限公司

版次:年月第版年月第次印刷

201181201181

开本:印张:字数:千

787mm×1000mm1/1615.25301

印数:册

1~2500

书号:

ISBN978-7-113-13214-9

定价:

24.00

版权所有侵权必究

凡购买铁道版图书如有印制质量问题请与本社教材研究开发中心批销部联系调换

,,。

前言

进入世纪以来,我国的高等教育经历了扩大招生规模、院校合并等过程,

21

实现了从精英教育到大众化教育的过渡。在这个过程中,原有的大学教育模式就

产生了一些问题,尤其是大学数学的教育问题。由于学科特点,数学教育呈现几

十年甚至上百年的一贯制。但大众化教育阶段入学群体的多样化使得数学教材也

要实行多样化。按照教育部关于《工科类本科数学基础课程教学基本要求》,根据

独立院校学生的特点,经过几年的教学实践,在研究、剖析、对比多种同类教材

和广泛征求意见的基础上,由教学经验丰富的教师集体编写了本教材。本书以

“联系实际,强化概念,加强计算,注重应用”为特色,充分体现了三本院校数学

教育“理论够用为度”的编写原则。在内容编写上,首先从实际问题出发,建立

数学模型,抽象出数学概念,然后寻求数学处理方法,进而用数学方法解决实际

问题。基本概念、基本定理体现出从特殊到一般,从具体到抽象,深入浅出,难

点分散,易于教、便于学的特点。归纳起来,本教材具有以下特色:

1.高等数学与线性代数相结合,相互渗透,建立新的课程体系

将空间解析几何部分编入本系列教材《线性代数与几何》,用向量、矩阵等代

数知识解决多元函数微积分学和常微分方程中的问题,使表述更简洁易懂。

2.内容上做了调整

为了其他后续课程的有序设置,使高等数学更好地服务于其他课程,将无穷

级数部分编入了上册。

3.高等数学与初等数学紧密衔接

从以往的教学经验中得知,独立院校学生的数学基础与一般大学本科生有一

定的差距,因此在编写本教材时,对初等数学知识做了较多的介绍,例如,第

1

章函数对集合、区间、函数等概念进行了回顾总结,并且把函数由单值函数推广

到多值函数,以便学生通过复习初等数学知识更顺利地学习高等数学的内容,同

时也让学生明白高等数学比初等数学内容更深更广。

4.基本概念、基本定理与实际相联系

学生们往往认为数学“抽象”,尤其刚入学的大学生学习高等数学时一般需要

一段适应过程。为了缩短这一过程,我们按照“实践认识实践”的认识过程

--

编写,做到由特殊到一般,再由一般到特殊引进重要的数学概念和定理时,在

。

保证数学概念的准确性及基本理论的完善性、系统性的原则下,尽量用几何图形、

物理意义来解释这些概念和定理,力求使抽象的数学概念形象化例如讲解凑微

。

分法时,首先通过实际例子让学生了解其基本思想和方法,然后再将被积函数换

成一般函数,得出凑微分法。

本书分上下两册出版。上册内容为一元函数微积分,无穷级数;下册内容为

多元函数微积分,常微分方程。各章节都配有习题,书末附有习题答案与提示。

本书主要适用于独立院校工科各专业。

本书由李忠定教授主编。米建民老师认真审阅了原稿,并提出了不少改进意

见,对此向他表示衷心感谢。

由于编者水平有限,同时编写时间仓促,教材中难免存在不妥之处,希望广

大读者提出批评和指正。

编者

年月

20114

目录

第1章函数与极限………………

1

函数………………………

1.11

习题…………………

1.16

数列的极限………………

1.27

习题………………

1.211

函数的极限……………

1.311

习题………………

1.315

无穷小量与无穷大量…………………

1.416

习题………………

1.419

极限的基本性质和运算法则…………

1.519

习题………………

1.523

极限存在准则及两个重要极限无穷小的比较………

1.624

习题………………

1.630

连续函数………………

1.731

习题………………

1.738

复习题………………………

139

第2章导数与微分………………

42

导数概念………………

2.142

习题………………

2.148

求导法则及求导公式…………………

2.249

习题………………

2.259

微分及其应用…………

2.361

习题………………

2.366

复习题………………………

267

第3章中值定理与导数的应用…………………

70

中值定理………………

3.170

习题………………

3.174

洛必达法则……………

3.275

习题………………

3.278

泰勒中值定理…………

3.378

ⅵ高等数学独立院校用上册

··()·

习题………………

3.382

函数的单调性与极值最值……………

3.4、82

习题………………

3.488

曲线的凹凸性与函数作图……………

3.589

习题………………

3.594

曲率……………………

3.694

习题………………

3.697

复习题………………………

397

第4章不定积分…………………

99

不定积分的概念和性质………………

4.199

习题………………

4.1103

不定积分的换元积分法………………

4.2103

习题………………

4.2112

分部积分法……………

4.3114

习题………………

4.3116

几种特殊类型函数的积分……………

4.4117

习题………………

4.4122

复习题……………………

4122

第5章定积分及其应用………………………

125

定积分的概念与性质…………………

5.1125

习题………………

5.1131

微积分基本定理………………………

5.2132

习题………………

5.2135

积分方法………………

5.3136

习题………………

5.3141

定积分的应用…………

5.4142

习题………………

5.4151

广义积分………………

5.5152

习题………………

5.5156

复习题……………………

5157

第6章无穷级数………………

160

常数项级数的概念和性质……………

6.1160

习题………………

6.1165

常数项级数审敛法……………………

6.2165

习题………………

6.2172

目录ⅶ

··

幂级数…………………

6.3174

习题………………

6.3180

函数展开成幂级数……………………

6.4181

习题………………

6.4185

傅里叶级数一……………

6.5(Fourier)()185

习题………………

6.5192

傅里叶级数二……………

6.6(Fourier)()193

习题………………

6.6199

复习题……………………

6199

附录………………

202

附录常用曲线…………

A202

附录积分表……………

B205

习题答案…………………………

213

第1章

函数与极限

高等数学的主要内容是研究变量的变化形态.为了利用变量的变化趋势变化速度

、

以及变化的积累效应等要素刻画变化过程的特征人们提出并发展了极限的理论和方

,

法.客观世界处在永恒的运动发展和变化中.对各种变化过程和变化过程中的量与量

、

的依赖关系的研究产生了函数与函数极限的概念.函数概念就是对运动过程中量与量

,

的依赖关系的抽象描述是刻画运动变化中变量之间相依关系的数学模型.并且函数

,,

概念本身也在不断发展中.极限是刻画变化过程中变量的变化趋势的数学模型.在中学

数学里通常突出的是极限的描述性定义.高等数学则强调精确的定量的极限定义.

,、

本章将介绍函数与极限的基本概念性质和运算并利用极限描述函数的连续性.

、,

连续函数是最常见的一类函数具有一系列很好的性质和基本运算高等数学理论将以

,,

连续函数为主要研究对象.

1.1函数

1.1.1基本概念

1.集合

具有某种属性的对象的全体称为集合可用大写字母ABC来表示.例如全体

,,,,…,

实数的集合R全体有理数的集合.

,Q

构成集合的对象称为元素用小写字母abc来表示.

,,,,…

元素a是集合A中的元素记作aA读作a属于A如果a不是集合A的元素

,∈,;,

则记作aA读作a不属于A.

∉,

2.区间

设abR且ab

,∈,<,

数集xaxb称为以ab为端点的开区间记为ab

{|<<},,(,);

数集xaxb称为以ab为端点的闭区间记为ab.

{|≤≤},,[,]

类似可定义ab与ab称为半开半闭区间.

[,)(,]

以上这些区间都称为有限区间.

无限区间集合{xxa}称为无限区间记为a类似还有无限区间

|>,(,+∞),:

2高等数学独立院校用上册

··()·

axxabxxbxxR等.

[,+∞)={|≥};(-∞,)={|<};(-∞,+∞)={|∈}

3.邻域

设a为任意实数δ是一个正实数称开区间aδaδ为点a的δ邻域记为

,,(-,+),

Uaδ即

(,),

Uaδxxaδaδaδ.

(,)={|-<}=(-,+)

点a的δ去心邻域为U°aδxxaδaδaaaδ.

(,)={|0<-<}=(-,)∪(,+)

1.1.2函数

1.函数的概念

定义1.1设ABR是两个非空数集若对于每个数xA按照某个确定的法则

,⊂,∈,

f有确定的数yB与之相对应则称fAB为A到B的函数记为

,∈,:→,

yfxxA.

=(),∈

其中x称为自变量y称为因变量或函数.当x取数值xA时与x对应的y的数值

,0∈,0

称为函数yfx在点x处的函数值记作fx.当x取遍A的各个数值时对应函

=()0,(0),

数值的全体所构成的数集fAyyfxxA称为函数的值域A称为函数的

()={|=(),∈},

定义域.

定义域的约定在实际问题中函数的定义域是根据问题的实际意义确定的.有解

,

析式子表达的函数如不说明则定义域是使其表达式有意义的自变量的全体.

,

函数的两个要素确定一个函数的两个要素是定义域和对应法则.如果两个函数

:

的定义域相同对应法则也相同在两个对应法则下相同的自变量对应相同的因变

,(,

量那么这两个函数就是相同的否则就是不同的两个函数.

),,

单值函数与多值函数根据函数的定义当自变量在定义域内任取一个数值时对

,,

应的函数值总有一个这种函数叫做单值函数否则叫做多值函数.以后凡是没有特别

,,

说明时函数都是指单值函数.用一个解析式子来表示函数是最重要的表示函数的方

,

法但不是唯一的方法.借助于图形的直观形象表示有助于掌握函数的变化规律.

,

例如汽车的计速器把车轮转动的角速度转换为

yy=f(x),

表盘上指针的相应位置即指示汽车的速度.画出车

,

速关于时间的图形得到车辆起步后的速度图图-

,(1

从图中可以清晰地看到车加速和减速的全过程

O1040x/min1),:

起步后迅速加速至后又缓缓减速直至

,10min,

时停下.

图-40min

11如何得到这间汽车经过的路程并把它

40min,

显示在里程表上一般是通过机械装置的运转实现的这个装置的运转结果实际上是

?,

计算出了图中阴影的面积学了积分后即可以知道这部分面积恰恰就是汽车经过的里

,

程.由此可见直观反映变量间依赖关系的几何图形对研究变量的关系起着十分重要的

作用将这种几何图形抽象到数学上就是函数的图像.

,

第1章函数与极限3

··

设函数yfx的定义域为D对任一xD对应的

=(),∈,y

函数值为yfx这在xOy面上就确定了一点xy

=(),(,),

我们称全体这种有序对点的集合

y=f(x)

CxyyfxyxD

={(,)=(,),∈}

为函数yfx的图像图形见图-.

=()()(12)

绝对值函数

()

1x

ìx当xO

ï>0D

fxxí当x.

()=||=ï0=0图-

îx当x12

-<0

其定义域是值域是见图-.

(-∞,+∞),[0,+∞)(13)

狄里克莱函数

(2)(Dirichlet)y

当x为有理数

Dx1.

()={当x为无理数

0

符号函数

(3)

ì当xOx

ï1>0

fxxí当x.

()=sgn=ï0=0图-

î当x13

-1<0

其定义域是值域是三个点的集合见图-.

(-∞,+∞),{-1,0,1}(14)

y

4

3

y

2

1

1

-4-3-2-1O1234x

-1

Ox-2

-1-3

-4

图-图-

1415

取整函数

(4)

fxx

()=[]

表示不超过x的最大整数如

,:[3.01]=3,[π]=3,[3.9999]=3,[-3.01]=[-π]=

.其定义域是值域是全体整数的集合见图-.

[-3.9999]=-4(-∞,+∞),(15)

和中的函数在自变量的不同变化区间中函数的表达式也不同通常称之为

(3)(4),,

分段函数.在自然科学工程技术社会科学中经常会遇到分段函数的情形.

、,

4高等数学独立院校用上册

··()·

2.函数的四种基本特性

函数的有界性设函数fx在I上有定义.如果存在M使得fxM

(1)()>0,()≤

xI则称fx在I上有界正数M称为fx在I上的界.否则就称fx在I上

(∀∈),(),()()

无界.特别地当I恰为函数x的定义域时则称函数x为有界函数.

,f(),f()

如x和x都是上的有界函

sincos(-∞,+∞)y

数符号函数和取整函数则是无界函数.

;M

无界函数定量性质的数学定义为My=f(x)

:,

∀>0x

xD使得fxM则称fx是在I上的O

∃0∈,(0)≥,()

无界函数.函数有界的几何解释-M

:

如图-所示在坐标平面上yfx表示一

16,,=()图-

条曲线yM与yM表示两条水平直线.16

,=-=

M使得函数yfx的图形位于直线yM与yM之间.即

∃>0,=()=-=

fxMxIMfxM.

()≤(∀∈)⇔-≤()≤

函数的单调性设函数fx的定义域为D区间ID.如果对于区间I上任

(2)(),⊂

意两点x及x当xx时恒有fxfx则称函数fx在区间I上单调增加

12,1<2,(1)≤(2),();

如果对于区间I上任意两点x及x当xx时恒有fxfx则称函数fx

12,1<2,