专题04 万有引力定律与航天（精讲）

学而优教有方年高考物理二轮复习讲练测专题04万有引力定律与航天（精讲）精讲考点精讲内容考点1应用万有引力定律计算重力加速和估算天体质量密度考点2卫星的运动参量比较与变轨问题考点3中国的航空航天成就【知识体系构建】【典例方法突破】一、应用万有引力定律计算重力加速和估算天体质量密度1.应用万有引力定律计算重力加速【例1】（2022年山西怀仁市四模）刘慈欣的科幻小说《地球大炮》中，人类利用当时的技术手段，建造了一个贯穿地球的大隧道。隧道直线穿过地球球心，长度为地球直径，两端开口，内部抽成真空，物体从一端由静止释放正好能到达另一.端并减速为零。已知：质量分布均匀的球壳对球壳内部任意位置质点的万有引力都为零，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，地球可视为质量分布均匀的球体，忽略地球自转的影响。以下说法正确的是（）A．物体从隧道口下落到球心的过程做加速度不断增大的加速运动B．物体从隧道口下落到深度为的位置时，其下落加速度为C．物体从隧道口由静止释放到达球心处的速度为D．物体在球心处引力势能最大【答案】B【详解】A．由可得又质量分布均匀的球壳对球壳内部任意位置质点的万有引力都为零，则隧道内任一点（到球心的距离为r）的重力加速度为由此可知，与r成正比，越接近球心加速度越小，故A错误；B．深度处到球心的距离为，加速度为，故B正确；C．物体下落过程重力加速度逐渐减小，平均加速度由得故C错误；D．下落过程速度增大，动能增大，引力势能减小，在球心处引力势能最小，故D错误。故选B。【例2】（2022年北京十一学校三模）2019年2月5日，“流浪地球”在中国大陆上映，赢得了票房和口碑双丰收。影片讲述的是面对太阳快速老化膨胀的灾难，人类制定了“流浪地球”计划，这首先需要使自转角速度为ω的地球停止自转，再将地球推移出太阳系到达距离太阳最近的恒星（比邻星）。为了使地球停止自转，设想的方案就是在地球赤道上均匀地安装N台“喷气”发动机，如图所示（N较大，图中只画出了4个）。假设每台发动机均能沿赤道的切线方向提供大小恒为F的推力，该推力可阻碍地球的自转。已知地球转动的动力学方程与描述质点运动的牛顿第二定律方程F=ma具有相似性，为M=Iβ，其中M为外力的总力矩，即外力与对应力臂乘积的总和，其值为NFR；I为地球相对地轴的转动惯量；β为单位时间内地球的角速度的改变量。将地球看成质量分布均匀的球体，下列说法中正确的是（）A．在M=Iβ与F=ma的类比中，与转动惯量I对应的物理量是m，其物理意义是反映改变地球绕地轴转动情况的难易程度B．地球自转刹车过程中，赤道表面附近的重力加速度逐渐变小C．停止自转后，赤道附近比极地附近的重力加速度大D．这些行星发动机同时开始工作，且产生的推动力大小恒为F，使地球停止自转所需要的时间为【答案】A【详解】A．在M=Iβ与F=ma的类比中，与转动惯量I对应的物理量是m，其物理意义是反映改变地球绕地轴转动情况的难易程度，A正确；B．地球自转刹车过程中，赤道表面附近的重力加速度逐渐变大，B错误；C．停止自转后，赤道附近与极地附近的重力加速度大小相等，C错误；D．这些行星发动机同时开始工作，且产生的推动力大小恒为F，根据而则停止的时间D错误。故选A。【例3】（2022年山西太原二诊）某同学认为只要测出地球赤道位置处的重力加速度g，就可以利用一些常见的数据计算出地球的半径和质量。已知常见数据为万有引力常量G，地球的自转周期T，地球两极处的重力加速度g0。若视地球为质量分布均匀的球体，赤道处的重力加速度g已经测出，则下列说法中正确的是（）A．地球的半径为B．地球的半径为C．地球的质量为D．地球的质量为【答案】BD【详解】在两极地区，物体受到地球的万有引力，则有在赤道处，则有联立可得地球的半径为将代入可得地球的质量为故A、C错误，B、D正确；故选BD。【方法规律归纳】(1)不考虑自转时,星球表面附近物体的重力等于物体与星球间的万有引力,即有Gm星(2)考虑自转时,在两极上才有Gm星mR22.应用万有引力定律估算天体质量密度【例4】（2022年贵阳联考）北京时间2021年5月15日，在经历“黑色九分钟”后，中国首辆火星车“祝融号”与着陆器成功登陆火星，这也意味着“天问一号”火星探测器已经实现了“绕”和“落”两项目标。火星可以看成半径为，质量为的均匀球体，“天问一号”在火星赤道表面附近做匀速圆周运动一周的时间为，“祝融号”与着陆器总质量为，假如登陆后运动到火星赤道上，静止时对水平地面压力大小为，引力常量为，下列说法正确的是（）A．火星的第一宇宙速度大小为B．“天问一号”在火星赤道表面附近做匀速圆周运动的加速度小于“祝融号”与着陆器静止在赤道上的加速度C．火星自转角速度大小为D．火星的平均密度为【答案】C【详解】A．“天问一号”在火星赤道表面附近做匀速圆周运动，则有则火星的第一宇宙速度为A错误；B．“天问一号”在火星赤道表面附近做匀速圆周运动，则有解得“祝融号”与着陆器静止在火星赤道上时，则有解得可得，B错误；C．“祝融号”与着陆器在火星赤道表面上静止，则有解得，C正确；D．“天问一号”在火星赤道表面附近做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力可得又联立解得火星的平均密度为，D错误。故选C。【例5】（2022年重庆卷）我国载人航天事业已迈入“空间站时代”。若中国空间站绕地球近似做匀速圆周运动，运行周期为T，轨道半径约为地球半径的倍，已知地球半径为R，引力常量为G，忽略地球自转的影响，则（）A．漂浮在空间站中的宇航员不受地球的引力B．空间站绕地球运动的线速度大小约为C．地球的平均密度约为D．空间站绕地球运动的向心加速度大小约为地面重力加速度的倍【答案】BD【详解】A．漂浮在空间站中的宇航员依然受地球的引力，所受引力提供向心力做匀速圆周运动而处于完全失重，视重为零，故A错误；B．根据匀速圆周运动的规律，可知空间站绕地球运动的线速度大小约为故B正确；C．设空间站的质量为，其所受万有引力提供向心力，有则地球的平均密度约为故C错误；D．根据万有引力提供向心力，有则空间站绕地球运动的向心加速度大小为地表的重力加速度为可得即空间站绕地球运动的向心加速度大小约为地面重力加速度的倍，故D正确。故选BD。【方法规律归纳】1.“自力更生”法(g－R)：利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。(1)由Geq\f(Mm,R2)＝mg得天体质量M＝eq\f(gR2,G)。(2)天体密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR)。(3)GM＝gR2称为黄金代换公式。2.“借助外援”法(T－r)：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r。(1)由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r得天体的质量M＝eq\f(4π2r3,GT2)。(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)。(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。二、卫星的运动参量比较与变轨问题1.卫星的运动参量比较【例6】（2022年河北卷）2008年，我国天文学家利用国家天文台兴隆观测基地的2.16米望远镜，发现了一颗绕恒星HD173416运动的系外行星HD173416b，2019年，该恒星和行星被国际天文学联合会分别命名为“羲和”和“和“望舒”，天文观测得到恒星羲和的质量是太阳质量的2倍，若将望舒与地球的公转均视为匀速圆周运动，且公转的轨道半径相等。则望舒与地球公转速度大小的比值为（

）A． B．2 C． D．【答案】C【详解】地球绕太阳公转和行星望舒绕恒星羲和的匀速圆周运动都是由万有引力提供向心力，有解得公转的线速度大小为其中中心天体的质量之比为2:1，公转的轨道半径相等，则望舒与地球公转速度大小的比值为，故选C。【例7】（2022年广东联考）北斗卫星导航系统由空间段、地面段和用户段三部分组成。空间段由若干地球静止轨道卫星A、倾斜地球同步轨道卫星B和中圆地球轨道卫星C组成。如图所示，三类卫星都绕地球做匀速圆周运动，卫星C距地面高度为hC，地球自转周期为T，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G。则（

）A．卫星A距地面高度为 B．卫星B的加速度大小为C．卫星C的线速度大小为 D．地球的密度为【答案】AC【详解】A．设地球表面某物体质量为m0，有得对卫星A得故A正确；B．卫星B的周期与卫星A相同，则故B错误；C．对卫星C：得故C正确；D．地球的密度故D错误。故选AC。【例8】（2022年四川南充三诊）我国“神舟十三号”航天员翟志刚、王亚平和叶光富在空间站驻留长达6个月之久，是我国入驻太空时间最长的三人组，已知“天和”核心舱N绕地球运行的轨道距地面的高度约为400km，地球半径约6400km。关于地球赤道静止的物体P、同步卫星Q和“天和”核心舱N的运动，下列说法正确的是（）A．向心加速度关系为aN>aQ>aPB．线速度关系为vP>vN>vQC．周期关系为TQ>TN>TPD．同步卫星Q一定不会经过南充正上方【答案】AD【详解】A．地球赤道上的物体与卫星同步卫星具有相同的角速度，有由上述式子可知，P物体的向心加速度小于卫星Q，天和核心舱N和Q则有解得有上述式子可知N的向心加速大于Q的，故三者之间关系为，A正确；B．对于天和核心舱N和卫星Q来说有解得有上述式子可知，轨道半径越小，速度越大，故天和核心舱N的速度大于Q卫星的速度。而物体P和卫星Q的角速度相等，根据可知，卫星Q的速度大于物体P的速度，三者之间的速度关系为，B错误；C．由于物体P在地球赤道上，Q为同步卫星，故两者的周期相等，而N和Q同为卫星，由万有引力充当向心力，故有解得有由上式可知，轨道半径越大，周期越大，故卫星Q的周期大于天和核心舱N的周期，故有，C错误；D．Q是同步卫星，其轨道在赤道上方即纬度为，南充市不在赤道上，所以卫星Q一定不会经过南充上空，D正确。故选AD。【方法规律归纳】1.不同轨道人造卫星的加速度、线速度、角速度和周期与轨道半径的关系Geq\f(Mm,r2)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(ma→a＝\f(GM,r2),m\f(v2,r)→v＝\r(\f(GM,r)),mω2r→ω＝\r(\f(GM,r3)),m\f(4π2,T2)r→T＝\r(\f(4π2r3,GM))))eq\a\vs4\al(越,高,越,慢)2.同步卫星的6个“一定”2.卫星的变轨问题【例9】（2022年湖南联考）“神舟十三号”载人飞船与“天和”核心舱在2021年10月16日成功对接，航天员顺利进入“天和”核心舱。载人飞船和空间站对接的一种方法叫“同椭圆轨道法”，其简化示意图如图所示。先把飞船发射到近地圆形轨道Ⅰ，然后经过多次变轨使飞船不断逼近空间站轨道，当两者轨道很接近的时候，再从空间站下方、后方缓慢变轨进入空间站轨道。Ⅱ、Ⅲ是绕地球运行的梯圆轨道，Ⅳ是绕地球运空间站轨道运行、很接近空间站轨道的圆形轨道。P、Q分别为椭圆轨道的远地点和近地点，下列说法正确的是（）A．在轨道Ⅰ上，载人飞船在Q点的加速度比在P点的加速度大B．载人飞船在轨道Ⅲ上运行的周期比在轨道Ⅰ上运行的周期小C．载人飞船在轨道Ⅲ上经过P点的速度大于在轨道Ⅳ上经过P点的速度D．在轨道Ⅲ上，载人飞船在P点的机械能比在Q点的机械能大【答案】A【详解】A．根据万有引力定律有离地球越远，万有引力越小，加速度越小，选项A正确；B．由开普勒第三定律可知，半长轴越大，运行周期越大，选项B错误；C．载人飞船在轨道Ⅲ经过P点时需加速做离心运动才能进入轨道Ⅳ，所以载人飞船在轨道Ⅲ经过P点的速度小于在轨道Ⅳ经过P点的速度，选项C错误；D．载人飞船在轨道Ⅲ上运行时机械能守恒，在Q点和P点的机械能一样大，选项D错误。故选A。【例10】（2022年福建上杭模拟）北京冬奥会开幕当天，正在执行我国首个行星际探索任务的“天问一号”探测器，与五星红旗、北京冬奥会和冬残奥会会徽的同框照片传回地球，送上了一份“最高”的冬奥礼物。我国“天问一号”火星探测器于2020年7月首先发射进入地球轨道，然后择机进入霍曼转移轨道，经过259天的太空旅行，成功到达火星并被火星捕获，现正在火星地面上进行各项研究探测活动。如图所示是天问一号发射轨迹示意图，已知火星的公转周期为1.8年，下列说法正确的是（）A．从火星与地球相距最近至下一次相距最近所需时间约为2.25年B．“天问一号”在地球轨道上的发射速度大于7.9km/s小于11.2km/sC．“天问一号”在地球轨道上需要减速才能进入霍曼转移轨道D．“天问一号”选择在海南文昌发射场发射，是为了避免地球自转线速度的影响【答案】A【详解】A．地球公转的周期为1年．火星公转周期为1.8年，从火星与地球相距最近至下一次相距最近，地球要比火星多转一圈，则有可得从火星与地球相距最近至下一次相距最近所需时间约为年，A正确；B．“天问一号”最后要绕太阳公转，此时“天问一号”已经脱离地球的吸引，因而其发射速度要达到第二宇宙速度，即大于等于，B错误；C．“天问一号”在地球轨道上需要加速才能进入霍曼转移轨道，C错误；D．海南文昌发射场处于我国纬度较低的位置，是地球自转线速度较大的地方，“天问一号”在此地方随地球自转的线速度较大，可以利用该速度作为发射的初速度，从而节约发射所需要的能源，D错误。故选A。【方法规律归纳】变轨前后各运行物理参量的比较（1）速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB。在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB。（2）加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同。（3）周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律eq\f(r3,T2)＝k可知T1<T2<T3。（4）机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒。若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1<E2<E3。①在A点，由圆周Ⅰ变至椭圆Ⅱ时，发动机向后喷气，推力做正功，动能增加、势能不变、机械能增加；②在B点，由椭圆Ⅱ变至圆周Ⅲ时，发动机向后喷气，推力做正功，动能增加、势能不变、机械能增加；反之也有相应的规律。中国的航空航天成就【例11】（2022年皖南八校联考）2022年6月5日上午10时44分07秒在酒泉卫星发射中心成功发射神舟十四号载人飞船。若神舟十四号飞船距离地面高度为h，地球半径为R，地球北极位置的重力加速度为g，引力常量为G，神舟十四飞船轨道可按照正圆轨道计算。则下列说法正确的是（）A．由于地球自转的影响，无法求出地球的质量B．神舟十四号飞船的质量不知道，所以神舟十四号飞船绕地球飞行的周期无法求出C．神舟十四号飞船受地球的吸引力，但不受重力D．神舟十四号飞船的线速度的大小为【答案】D【详解】A．北极位置的重力加速度为g，在北极质量为m的物体万有引力等于重力，即解得地球的质量，A错误；B．神舟十四号飞船绕地球做圆周运动，设飞船的质量为m，周期为T，根据万有引力提供向心力，联立解得，B错误；C．飞船绕地球做圆周运动，处于完全失重状态，但仍然受地球吸引力即重力，C错误；D．根据万有引力提供向心力，联立解得，D正确。故选D。【例12】（2022年河北高三检测）2021年7月6日，我国成功将“天链一号05”卫星发射升空，卫星进入预定轨道，天链系列卫星为我国信息传送发挥了重要作用。如图所示，卫星在半径为R的近地圆形轨道Ⅰ上运动，到达轨道的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的远地点B时，再次点火进入轨道半径为5R的圆形轨道Ⅲ绕地球做匀速圆周运动，设卫星质量保持不变。则（）A．若地球表面的重力加速度为，则在圆形轨道Ⅲ的重力加速度为B．若在圆形轨道Ⅰ上运动的线速度为，则在圆形轨道Ⅲ上运动的线速度为C．卫星在椭圆轨道Ⅱ从A到B运动的时间是其在圆形轨道Ⅰ上运动周期的倍D．卫星从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ再到轨道III的过程中，机械能守恒【答案】C【详解】A．卫星在地球表面时，忽略地球自转的影响，物体所受的重力等于物体与地球间的万有引力，所以有解得当卫星进入5R的轨道时，物体此时所受的重力等于其与地球间的万有引力，所以有解得故A项错误；B．卫星做绕地球做匀速圆周运动有解得当，解得当，解得故项错误；C．根据开普勒定律，有因为卫星绕地球飞行，所以整理有又因为卫星在椭圆轨道Ⅱ的半长轴为，所以有上述式子可得，卫星在椭圆轨道Ⅱ的周期是圆形轨道Ⅰ周期倍，卫星在椭圆轨道Ⅱ从A到B运动的时间是圆形轨道Ⅰ周期的倍，故C项正确；D．卫星从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ再到轨道Ⅲ的过程中，变轨需要加速，即物体的动能增加，根据所以机械能增加，故D项错误。故选C。【例13】（2022年四川巴中零诊）2021年5月15日7时18分，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器稳稳降落在火星北半球的乌托邦平原。“天问一号”登陆火星需经历如图所示的变轨过程。已知引力常量为G，则下列说法正确的是（）A．飞船在轨道上运动时，运行的周期TIII=TII>TIB．飞船在轨道I上的机械能大于在轨道II上的机械能C．飞船在P点从轨道II变轨到轨道I，需要在P点朝速度反方向喷气D．若轨道I贴近火星表面，已知飞船在轨道I上运动的角速度，可以推知火星的密度【答案】D【详解】A．根据开普勒第三定律可知，飞船在轨道上运动时，轨道半长轴关系aIII>aII>aI运行的周期TIII>TII>TI选项A错误；B．飞船从轨道Ⅱ到轨道Ⅰ要点火减速，则飞船在轨道I上的机械能小于在轨道II上的机械能，选项B错误；C．飞船在P点从轨道II变轨到轨道I，要减速，需要在P点朝速度同方向喷气，选项C错误；D．若轨道I贴近火星表面，则可得已知飞船在轨道I上运动的角速度，可以推知火星的密度，选项D正确。故选D。【例14】（2022年山东莱芜检测）在新中国成立70周年之际，航天国乐为“一带一路”倡议起点