达州市2022年高中阶段招生统一考试暨初业水平考试

达州市2022年高中阶段招生统一考试暨初业水平考试

数学

本考试为闭卷考试，考试时间120分钟，本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共8

页.

温馨提不：

1.答题前，考生需用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号正确填写在答题卡对应位置.待

监考老师粘贴条形码后，再认真核对条形码上的信息与自己的准考证上的信息是否一致.

2.选择题必须使用2B铅笔在答题卡相应位置规范填涂.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案

标号；非选择题用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡对应的框内，超出答题区答案无效；在草

稿纸、试题卷上作答无效.

3.保持答题卡整洁，不要折叠、弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀.

4.考试结束后，将试卷及答题卡一并交回.

第I卷（选择题）

一、单项选择题

1.下列四个数中，最小的数是（）

A.0B.-2C.1D.&

【答案】B

【解析】解：；-2＜（）＜l＜0，

最小的数是-2,

故选B.

【点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握实数的大小比较是解题的关键.

2.在以下“绿色食品、响应环保、可回收物、节水”四个标志图案中，是轴对称图形的是（）

【答案】A

【解析】解：A.是轴对称图形，故该选项符合题意；

B.不是轴对称图形，故该选项不符合题意；

C.不是轴对称图形，故该选项不符合题意；

D.不是轴对称图形，故该选项不符合题意；

故选A

【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义.

3.2022年5月19日，达州金境机场正式通航.金亚机场位于达州高新区，占地总面积2940亩，概算投资

约为26.62亿元.数据26.62亿元用科学记数法表示为()

9IO

A.2.662x1()8元B.0.2662x1()9元C.2.662xlO%D.26.62X10TC

【答案】C

【解析】解：26.62亿=2662000000=2.662xlO9.

故选C.

【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为a*10"的形式，其中14|41<10,〃为整数.确

定〃的值时，要看把原来的数，变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当

原数绝对值210时，"是正数；当原数的绝对值VI时，”是负数，确定。与〃的值是解题的关键.

4.如图，8,直线跖分别交AB，CO于点/，N,将一个含有45。角直角三角尺按如图所示

的方式摆放，若ZEMB=80°，则NPNM等于()

A.15°B.25°C.35°D.45°

【答案】C

【解析】解：..工8〃。，

ZDNM=ZBME=m0,

NPND=45°,

：.NPNM=NDNM-NDNP=35°,

故选：C.

【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

5.中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两('两'为我国古代货币

单位)；马二匹、牛五头，共价三十八两，阀马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列

方程组为()

4x+6y=38]4x+6y=48(4x+6y=48(4y+6x=48

A.《'B・《C.vD.v

2x+5y=4812x+5y=3815x+2y=38|_2y+5x=38

【答案】B

【解析】解：设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可得

故选B

【点睛】本题考查了列二元一次方程组，理解题意列出方程组是解题的关键.

6.下列命题是真命题的是()

A.相等的两个角是对顶角

B.相等的圆周角所对的弧相等

C.若a<。，则ac2<be2

D,在一个不透明的箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里任意摸出1个球，

摸到白球的概率是5

【答案】D

【解析】有公共顶点且两条边互为反向延长线的两个角是对顶角，故A选项错误，不符合题意；

在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故B选项错误，不符合题意；

若a<b,则ac2K8c?,故C选项错误，不符合题意；

在一个不透明箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里任意摸出1个球，

摸到白球的概率是g,故D选项正确，符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了命题的真假，涉及对顶角的定义，圆周角定理，不等式的基本性质及概率公式，熟练掌

握知识点是解题的关键.

7.如图，在AABC中，点。，E分别是A8，BC边的中点，点尸在DE的延长线上.添加一个条件，使

得四边形ADRS为平行四边形，则这个条件可以是()

A.ZB=ZFB.DE=EFC.AC-CFD.AD=CF

【答案】B

【解析】解：：在△ABC中，D,E分别是AB,BC的中点，

；”是4ABC的中位线，

：.DE//ACS.DE^^AC,

A、根据N8=N尸不能判定C尸〃AD,即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误.

B、根据DE=EF可以判定DF^AC,由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平

行四边形，故本选项正确.

C、根据AC=C/不能判定AC〃。凡即不能判定四边形AZJFC为平行四边形，故本选项错误.

D、根据A0=CF,尸。〃AC不能判定四边形ADR7为平行四边形，故本选项错误.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了三角形的中位线的性质和平行四边形的判定.三角形中位线定理：三角形的中位线

平行于第三边，且等于第三边的一半.

8.如图，点E在矩形ABCD的A8边上，将AADE沿。£翻折，点A恰好落在3c边上的点F处，若

CD=3BF,BE=4,则的长为()

A.9B.12C.15D.18

【答案】C

【解析】解：•••四边形ABC。是矩形，

AAB^CD,ZB=ZC=90°,

---将AADE沿OE翻折，点A恰好落在BC边上的点尸处，

：.FD=AD,EF=AE"EFD=NA=90。，

；CD=3BF,BE=4,

设BF=x,则C£>=3x,AE=AB—BE=CD—BE=3x-4,

在RtABEF中BE2+BF2=EF2，

即42+X2=（3X-4）2,

解得x=3,

/.BF=3,CD=9,

■.■ZEFD=ZA=90°,ZB=ZC=90°,

ZBEF=90°-/BFE=ZDFC,

tanZ.BEF=tan/DFC,

/.-B-F-=-C--D-,

BEFC

39

——................9

4FC

：.FC=\2,

在Rt^bCZ）中，FD=JFC2+Clf=15,

.•.">=ED=15.

故选c.

【点睛】本题考查了矩形与折叠的性质，正切的定义，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关

键.

9.如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边△ABC,分别以点A,B,C为圆心，以AB长为半径

作8C，AC，AB，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形•如果一个曲边三角形的周长为2兀，则此曲

边三角形的面积为（）

A.2兀一2GB.2兀一6C.2TID.n-y/3

【答案】A

【解析】解：设等边三角形ABC的边长为，，

解得厂=2,即正三角形的边长为2,

此曲边三角形的面积为用x2?+3x（竺普--4x2?]=2万-2石

4I3604J

故选A

【点睛】本题考查了扇形面积的计算.此题的关键是明确曲边三角形的面积等于三角形的面积与三个弓形

的面积和，然后再根据所给的曲线三角形的周长求出三角形的边长.

10.二次函数y=ar2+0x+c的部分图象如图所示，与丫轴交于(0,-1),对称轴为直线％=1.以下结论:

1<1A

①aZ?c>0；©a>~；③对于任意实数〃?，都有皿加+加>。+人成立；④若(一2,乂)，-,y2,(2,%)

3J

在该函数图象上，则必<%<X；⑤方程|依2+以+。|=%(k..0,々为常数)的所有根的和为4.其中正

确结论有()

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【解析】•••二次函数了=必2+历c+c的部分图象与y轴交于(0,-1),对称轴为直线％=1,抛物线开头向

上，

:.b=-2a<0,

/.abc>0,故①正确；

令y=ax2-2ax-\=0,

山曰2。土"/+4。…\Ja2

解传x=--------------=1±-------,

2aa

由图得，<0,

a

解得ci>—,

3

•・・抛物线的顶点坐标为(L—a-1),

由图得，一2<—a—lv—1,

解得Ovavl,

「・一<Q<1,故②错误；

3

・.,〃=一2〃，

m(am+/?)>a+Z?可化为m(am—2a)>a—2a,即〃z("z—2)>—1,

/.(m-1)2>0,

若加(a/n+Z?)>a+Z?成立，则相。1,故③错误；

当了<1时，y随x的增大而减小，

X>%，

,对称轴为直线X=1,

.门=2时与％=()时所对应的丫值相等，

必<必<X，故④错误；

\cuc+/?x+c|—k,

当ar?+法+。>o时，ax1+bx+c-k=O>

b-2ac

.0.Xj+%2=------=---------=2,

aa

当ax2+/?x+c<0时，ax2+bx+c+k=0，

b-2a.

二・屈+/——=------2,

aa

:.x}+x2+x3+x4=4,故⑤正确；

综上，正确的个数为2,

故选：A.

【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，一元二次方程求根公式，根与系数的关系等，熟练掌握知识点,

能够运用数形结合的思想是解题的关键.

第n卷(非选择题)

二、填空题

11.计算：2a+3。=.

【答案】5a

【解析】解：2。+3。

-5a.

故答案为：5a.

【点睛】本题主要考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项法则是解答本题的关键.

12.如图，在R/AABC中，ZC=90°,ZB=20。，分别以点A,B为圆心，大于‘AB的长为半径作弧,

2

两弧分别相交于点M,N,作直线MN,交于点。，连接AT>,则NC4D的度数为.

【答案】50°##50度

【解析】解：•••在向AABC中，ZC=90°,ZB=20°,

：.ZCAB=70°,

由作图可知MN是AB的垂直平分线，

DA=DB，

・•・ZDAB=ZB=20°,

ACAD=ZCAB-ZDAB70°-20°=50°,

故答案为：50°.

【点睛】本题考查了基本作图，垂直平分线的性质，等边对等角，直角三角形的两锐角互余，根据题意分析

得出是AB的垂直平分线，是解题的关键.

13.如图，菱形A8CO的对角线AC与BO相交于点。，AC=24,BD=10,则菱形ABCO的周长是

【答案】52

【解析】解：•••四边形ABCO是菱形，

：.AC1BD,OA="C=12,OB=；BD=5,

"吐/斯+而=]3,

菱形4BCO的周长为：4x13=52.

故答案为：52

【点睛】本题考查了菱形周长的计算，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形的性质，本题中

根据勾股定理计算AB的长是解题的关键.

-x+a<2

14.关于x的不等式组,3x-1恰有3个整数解，则〃的取值范围是.

—x+1

I2

【答案】2Wa<3

-x+a<2①

【解析】解：\ix-l

+l②

I2

解不等式①得：x>a-2,

解不等式②得：x<3,

•.•不等式组有解，

不等式组的解集为：a-2<x<3,

—x+a<2

••・不等式组,3x-l恰有3个整数解，则整数解为1,2,3

-~”x+1

I2

r.0Wa—2<1,

解得2Wa<3.

故答案为：2Wa<3.

【点睛】考查不等式组的解法及整数解的确定.求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取

较小，小大大小中间找，大大小小解不了.本题要根据整数解的取值情况分情况讨论结果，取出合理的答案.

15.人们把近二1a0.618这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比.设

2

小-1,小+1_1,1「2,2c100,100诬

221+a\+b2\+a2\+b21001+a'001+〃°°

S]+s?+…+s100

【答案】5050

【解析】解：=必二1,b6+1

22

；."=赵，垦J,

22

+。+/?

*,\0—___1__।___1__—___2__________—_2_+__a__+_Z_?—]

1+。1+Z?1+。+/?+ah2+a+〃

222+/+〃2+/+〃

2l+a2+l+b2X1+a2+b~+crb1X2+a2+b2

故答案为：5050

【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得=找出的规律是本题的关键.

16.如图，在边长为2的正方形A8CO中，点E,尸分别为A。，C£>边上的动点（不与端点重合），连接

BE,BF，分别交对角线AC于点尸，Q.点E,尸在运动过程中，始终保持/砂b=45°,连接耳

PF,PD.以下结论：①PB=PD；②4EFD=2/FBC；③PQ=PA+CQ；④△BPE为等腰直角三

角形；⑤若过点8作8HLE/7，垂足为“，连接£>”,则。”的最小值为2&-2.其中所有正确结论

的序号是—.

【答案】①②④⑤

BC

如图1，连接B。，延长ZM到M,使AM=CF,连接BM,

•••四边形ABC3是正方形，

AC垂直平分BD,BA=BC,ZBCF=90°=ZBAD=ZABC,

：.PB=PD，ZBCF=NBAM,ZFBC=90°-ZBFC,故①正确;

：.^BCF=^BAM(SAS),

：.ZCBF=ZABM,BF=BM,NM=NBFC,

•;NEBF=45。,

.-.ZABE+ZCBF=45°,

.-.ZABE+ZABM=45°,

即NEBM=NEBF，

\BE=BE，

:AEBF三AEBM(SAS),

：.ZM=ZEFB,NMEB=/FEB,

:./EFB=NCFB,

：.ZEFD=180°-(NEEB+NCFB)=180°-2ZBFC,

•-ZEFD=2ZFBC,故②正确；

如图2,作/CBN=ZABP,交AC的延长线于K,在BK上截取BN=BP,连接CN,

:.^ABP^CBN,

；2BAP=NBCN=45。,

\-ZACB=45°,

.•.ZNCK=90。，

.•.NOVKoNK,即。VHCK,

PQ^PA+CQ,故③错误；

如图1,

••・四边形A8CO是正方形，

ZEBF=ZBCP=ZFCP=45°,

;NBQP=NCQF,

:.ABQPfCQF,

.BQ=PQ

"CQ~FQ'

NBQC=NPQF,

:.ABCQ~APFQ,

；.NBCQ=NPFQ=45。,

:."BF=NPFB=45。,

/BPF=90。,

，尸尸为等腰直角三角形，故④正确；

如图1,当点B、H、。三点共线时，。，的值最小,

BD=42?+2?=20，

ZBAE=NBHE=90°,BE=BE,

:.ABAE*BHE(AAS),

，BA=BH=2,

：.DH=BD-BH=2y/2-2•故⑤正确；

故答案为：①②④⑤.

【点睛】本题考查了正方形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定

和性质，熟练掌握知识点并准确作出辅助线是解题的关键.

三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17.计算：（-1）2022+|-2|---2tan45°.

【答案】0

【解析】解:原式=l+2-l-2xl

=1+24-2

=0.

【点睛】本题考查实数的混合运算，熟练掌握零指数累的运算、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.

a-\

18.化简求值:‘门十二T'其中"有一1.

ci~-2Q+1

【答案】二T

a—1。~+。+。+1

【解析】解：原式=7~Tv7—n

（Q—1）+

1

=-----

Q+1

当a=6-1时，原式一=—.

V3-1+13

【点睛】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握分式的运算法则以及正确的计算是解题的关

键.

19.“防溺水”是校园安全教育工作的重点之一.某校为确保学生安全，开展了“远离溺水・珍爱生命”的防溺水

安全知识竞赛.现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理和分析（成绩

得分用x表示，共分成四组：480„x<85,B.85,,x<90,C.90„x<95,D.95领k100）,下面给

出了部分信息：

七年级10名学生的竞赛成绩是:96,84,97,85,96,96,96,84,90,96.

八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：92,92,94,94.

七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表

年级七年级八年级

平均数9292

中位数96m

众数b98

方差28.628

八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图

根据以上信息，解答下列问题：

(1)上述图表中a=,b-,m=；

(2)根据以上数据，你认该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由(一条

理由即可)；

(3)该校七、八年级共1200人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀(X.95)的学生人

数是多少？

【答案】(1)30,96,93

(2)七年级学生掌握防溺水安全知识较好，理由：虽然七、八年级的平均分均为92分，但七年级的中位数

高于八年级

(3)估计参加此次竞赛活动成绩优秀(x>95)的学生人数是540人

【解析】(1)解：一20%—10%—白［*100=30,

•••在七年级10名学生的竞赛成绩中96出现的次数最多，

•••。=96；

:八年级10名学生的竞赛成绩在A组中有2个，在8组有1个，

•••八年级10名学生的竞赛成绩的中位数是第5和第6个数据的平均数，

.•.*(92+94)+2=93,

故答案为：30,96,93；

(2)七年级学生掌握防溺水安全知识较好，理由：虽然七、八年级的平均分均为92分，但七年级的中位数

高于八年级.

(3)七年级在xi95的人数有6人，八年级在x»95的人数有3人，

估计参加此次竞赛活动成绩优秀(x»5)的学生人数为：1200x弟=540(人)，

20

答：估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x>95）的学生人数是540人.

【点睛】本题考查读扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力以及中位数，众数和平均数，利用统计

图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题.

20.某老年活动中心欲在一房前3m高的前墙（AB）上安装一遮阳篷3C,使正午时刻房前能有2m宽的

阴影处（AO）以供纳凉，假设此地某日正午时刻太阳光与水平地面的夹角为63.4。，遮阳篷与水平面

的夹角为10°,如图为侧面示意图，请你求出此遮阳篷的长度（结果精确到0.1m）.（参考数据：

sin10°a0.17,cos10°«0.98,tanl0°«0.18；sin63.4°«0.89,cos63.4°«0.45,tan63.4°»2.00）

【答案】遮阳篷BC的长度约为3.4米

【解析】如图，过点C作CV_L4O于点尸，则四边形AECE是矩形，

设CF=2x,则A£=C尸=2x,BE=3—2x,

CF

在RtACDF中tanNCDF=----=tan63.4°«2,

DF

DF-x,

EC—AF—AD+DF—2+x,

ftp

在RtzXBEC中，tan/BEC=——=tan10°«0.18,

EC

3-2x

®0.18

2+x

解得：x=1.21,经检验，x是方程的解，且符合题意,

.-3—2%=().58,

RF

sinNBEC=—a0.17,

BC

答：遮阳篷BC的长度约为3.4米.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握三角形的三边关系是解题的关键.

21.某商场进货员预测一种应季7恤衫能畅销市场，就用4000元购进一批这种T恤衫，面市后果然供不应

求.商场又用8800元购进了第二批这种T恤衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件的进价贵了4元.

（1）该商场购进第一批、第二批T恤衫每件的进价分别是多少元？

（2）如果两批T恤衫按相同的标价销售，最后缺码的40件7恤衫按七折优惠售出，要使两批T恤衫全部

售完后利润率不低于80%（不考虑其他因素），那么每件丁恤衫的标价至少是多少元？

【答案】（1）该商场购进第一批每件的进价为40元，第二批T恤衫每件的进价为44元

（2）每件T恤衫的标价至少是80元

【解析】（1）设该商场购进第一批每件的进价为x元，第二批T恤衫每件的进价为（X+4）元，

f4000.8800

由题意得，-----x2=----

xx+4

解得x=40,

经检验，x=40是原方程的解且符合题意,

x+4=44,

所以，该商场购进第一批每件进价为40元，第二批T恤衫每件的进价为44元;

4000

(2)两批T恤衫的数量为x3=300(件),

40

设每件T恤衫的标价是y元，由题意得:

(300-40)y+40x0.7y>(4000+8800)x(1+80%),

解得y280

所以，每件T恤衫的标价至少是80元.

【点睛】本题考查了列分式方程解决实际问题，列不等式解决实际问题，准确理解题意，找准数量关系是解

题的关键.

k

22.如图，一次函数y=x+l与反比例函数丫=一的图象相交于A(m,2),8两点，分别连接Q4,OB.

x

(1)求这个反比例函数的表达式；

(2)求AAOB的面积；

(3)在平面内是否存在一点尸，使以点O,B,A,P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出

点P的坐标；若不存在，请说明理由.

2

【答案】(1)y=-

x

(3)尸(一1,1)或「(一3,-3)或P(3,3)

【解析解：把A(九2)代入一次函数y=x+l,得2=〃?+1,

解得“2=1,

41,2),

kk

把A(l,2)代入反比例函数丁=一，得2=生,

x1

：.k=2,

2

・••反比例函数的表达式为丁=一;

x

2

(2)解：令一=x+l,解得x=l或％=-2,

x

当x=-2时，y=—l,即3(—2,—1),

当x=0时，y=1,

・•.OC=1,

SSSOCXOCXOCX+XXiX2+r

.AOB=.OCA+.OCB=--\B\+--A=~-(iB\A)=^(.)=^i

(3)解：存在，理由如下：

当。4与OB为邻边时，点。(0,0)先向左平移2个单位再向下平移1个单位到点B(-2,-l),则点4(1,2)也

先向左平移2个单位再向下平移1个单位到点P,即P(-1,D;

当A8与A。为邻边时，点A(l,2)先向左平移3个单位再向下平移3个单位到点B(-2,-1),则点。(0,0)也

先向左平移3个单位再向下平移3个单位到点P,即F(-3-3);

当BA与8。为邻边时，点B(-2,-1)先向右平移3个单位再向上平移3个单位到点A(l,2),则点0(0,0)也

先向右平移3个单位再向上平移3个单位到点P,即P(3,3)；

综上，P点坐标为n-U)或「(-3,-3)或P(3,3).

【点睛】本题考查了反比例函数与特殊四边形的综合题目，涉及求反比例函数解析式，三角形的面积公式，

反比例函数与一次函数的交点问题，平移的性质，熟练掌握知识点并运用分类讨论的思想是解题的关键.

23.如图，在中，NC=90°,点。为AB边上一点，以。4为半径的G)O与相切于点。，分

别交AB，AC边于点E,F.

(1)求证：AO平分N8AC;

(2)若BO=3,tanZC4£>=p求0。的半径.

9

恪案】⑴见解析⑵I

•；NC=90°,以。4为半径的。。与8c相切于点。,

ZC=ZODB=9Q°,

AC//OD,

：.ZCAD=ZODA,

OA-OD，

：.ZODA=ZOAD,

：.ZCAD=ZOAD,

平分㈤C；

连接。E,

•♦,AE是直径，

：.ZADE=90°,

■：ABED=ZADE+ZOAD,ABDA=ZC+NCAD/CAD=ZOAD,tanACAD=1,

IDF

ABED=ZBDA,tanZCAD=tanOAD=—=—,

2AD

；.ABED~ABDA)

,-B--D-----B--E-----D--E----1

,AB~BD~AD~2

•・・BD=3,

AB=6，

.BEAB-AE6-AEI

.茄一~BD-3--5'

9

解得AE=一,

2

OA=—,

4

9

，。0的半径为一.

4

【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和

性质及锐角三角函数，熟练掌握知识点并准确作出辅助线是解题的关键.

24.某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形ABC和等腰直角三角

形CDE,按如图1的方式摆放，/4CB=NECD=90。，随后保持AABC不动，将△CDE绕点C按逆时针

方向旋转a（0°<a<90°）,连接AE，BD，延长交AE于点凡连接C77.该数学兴趣小组进行如

下探究，请你帮忙解答：

（1）初步探究】如图2,当E£）〃BC时，则a=；

（2）【初步探究】如图3,当点E,尸重合时，请直接写出A尸，BF，CF之间的数量关系：；

（3）【深入探究】如图4,当点E,F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程;

若不成立，请说明理由.

（4）【拓展延伸】如图5,在AABC与△COE中，NAC5=N£>CE=90°,若BC=〃zAC,CD=mCE

（“为常数）.保持AABC不动，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转a（00<。<90°）,连接AE，BD，

延长BO交AE于点凡连接CF,如图6.试探究AF，BF，CE之间的数量关系，并说明理由.

【答案】（1）45°

（2）BF=AF+®CF

（3）=AF+仍然成立，理由见解析

（4）BF=^\+nrFC+mAF

【解析】（1）•••等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CDE,

ZECD=90°,AC±BC

故答案为：45°

（2）•.•NACB=NECD=90。

在AACE与ABC。中，

又ED=及CE

•.•瓦尸重合,

故答案为：BF=AF+6CF

（3）同（2）可得AACEm4BCD

:.AE=DB，ZEAC=NDBC

过点。，作C〃_LFC,交BF于点、H,

则ZECF+ZFCD=ZFCD+ZDCH=90°,

/ECF=/DCH,

在△FEC与△HOC中，

ZFEC=Z.HDC

<EC=CD,

NECF=NDCH

&FECRHDC,

:.FC=CH,

.•.△CEH是等腰直角三角形，

FH=y/2FC-CH=FC,

ZFCH=ZACF+ZACH=90°,NACB=ZBCH+ZACH=90°,

ZACFZBCH,

在△AF'C与△BHC中，

FC=HC

<ZACF=ZBCH,

AC=BC

..AAFC也ABHC,

：.BH=AF，

BF=FH+BH=-J1CF+AF，

即BF=AF+yf2CF，

(4)过点C作CGJ_CF,交BF于点、G,

BC=mAC,CD=mCE,

BCCD

"~AC~~CE'

.ACBC

"~EC~~DC'

•.•ZACE=NBCD=a,

:.△ACES^BCD,

/CBG=/CAF,

•••ZFCA+ZACG=ZGCB+ZACG,

ZFCA=ZGCB,

:.AAFCS&BGC,

BGGCBC_

----=-----=-------m,

AFFCAC

BG=TTIAF,GC=mFC，

RtA^CG中，FG=4FC2+C@NT+^FC，

BF=FG+GB=yJl+nrFC+mAF，

即BF=M+nrFC+mAF-

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与

判定，掌握全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定是解题的关键.

25.如图1,在平面直角坐标系中，己知二次函数