广东省深圳市2023届高三二模数学试卷

广东省深圳市2023届高三数学二模试卷

一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1.已知集合A={2,0},8={2,3},则C;B（AB）=（）

A.{0}B.{2}C.{3}D.{0,3}

33Y<1

2,已知函数=1-'则f（f（2））=（）

log3x,x>L

C.2D.-2

3.设等差数列{%}的前〃项和为S"，若SIo=2O,S20=10,则S3o=（）

A.OB.-10C.-30D.-40

4.设表面积相等的正方体、正四面体和球的体积分别为匕、匕和匕，则（）

A.V,<%<匕B.%<K<%C.%<K<%D.%<%<K

5.已知AOAB中，OC=C4,00=203,AD与BC相交于点M,OM=x04+>OB则

有序数对（x,y）=（）

11I1JIII

A.（一，一）B.（一，一）C.（一,一）D.（一，一）

23322442

6.从1,2,3,4,5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8

的概率为（）

1r2

A.一B.一C.一D.一

3399

22

7.设椭圆C：鼻+与=1（。>6>0））的左、右焦点分别为6，F2,直线/过点耳.若点心

关于/的对称点P恰好在椭圆C上，且6P•丹玛=g〃，则C的离心率为（）

A.-B.-D-

335

8.己知£>0,x,ye,且ev+£siny=evsinx,则下列关系式恒成立的为（

4'4

A.cosx<cosyB.cosx>cosyC.sinx<sinyD.sinx2siny

二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）：

假设经验回归方程为5=晟+0.28,则（）

A.3=0.24

B.当x=8时，y的预测值为2.2

C.样本数据y的40%分位数为0.8

D.去掉样本点（3,1）后，x与y的样本相关系数,•不变

10.已知/（幻是定义在闭区间上的偶函数，且在y轴右侧的图象是函数＞=sin（cosx+°）

（。＞0,0＜夕＜兀）图象的一部分（如图所示），则（）

AJ（x）的定义域为R”，豆

71,

8.当r工=一时,/（X）取得最大值

27rIT

C.当xvO时，/（幻的单调递增区间为K・一，・一1

36

57r1Ijr

D.当x＜0时，/（x）有且只有两个零点一一和——

1212

11.如图，在矩形AEFC中，AE=2y[3,EF=4,B为EF中点,现分别沿AB、BC将A48E、

△BCF翻折，使点E、尸重合，记为点P,翻折后得到三棱锥P-ABC,则（）

EBB

A.三棱锥P-ABC的体积为47士2

3

B.直线PA与直线BC所成角的余弦值为—

6

C.直线PA与平面PBC所成角的正弦值为，

3

D.三棱锥外接球的半径为叵

2

12.设抛物线C：>=》2的焦点为尸，过抛物线C上不同的两点A,B分别作C的切线，两

条切线的交点为P，AB的中点为Q,则()

A.PQLx轴B.PF±AB

C.ZPFA=ZPFBD.|AF|+|M|=2|P尸|

三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知复数z满足z2+z+1=0,则z•z=.

14.若X—N(9,2?),则P(7<X<13)=(精确到0.01).

参考数据:若X~N(〃Q2),则卜0.683,P(|X-“<2cr)=0.955.

15.已知函数/(x)的定义域为R,若/(x+l)-2为奇函数，且〃1一力=/(3+力，则

7(2023)=.

16.足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准足球场的B底线宽AB=72码,球门宽£F=8

码，球门位于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点P,

使得/EPF最大，这时候点P就是最佳射门位置.当攻方球员甲位于边线上的点。处(OA=AB,

OA_LAB)时，根据场上形势判断，有。4、两条进攻线路可供选择.若选择线路Q4,则

甲带球码时,APO到达最佳射门位置;若选择线路OB,则甲带球码时,

到达最佳射门位置.

四、解答题:本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）已知a,b,c分别为AABC三个内角A,B,C的对边，且sin（4-B）=2sinC.

⑴证明:a?=b2+2c2i

27t

(2)若A=,a-3,BC-3BM,求AM的长度.

18.（12分）飞盘运动是一项入门简单，又具有极强的趣味性和社交性的体育运动，目前已经

成为了年轻人运动的新潮流.某俱乐部为了解年轻人爱好飞盘运动是否与性别有关，对该地

区的年轻人进行了简单随机抽样，得到如下列联表：

飞盘运动

性别合计

不爱好爱好

男61622

女42428

合计104050

（1）在上述爱好飞盘运动的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人

中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为X,求X的分布列和数学期望;

(2)依据小概率值a=0.0的独立性检验，能否认为爱好飞盘运动与性别有关联？如果把上表

中所有数据都扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断爱好飞盘运

动与性别之间的关联性，结论还一样吗？请解释其中的原因.

n(adbe?

附:/其中〃=a+0+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(A»+d)

a0.10.010.001

X"2.7066.63510.828

19.(12分)在三棱柱ABC-44cl中，AB=BC=2,ZABC=—,\C{L\B.

(1)证明:AA=AC；

(2)若AA=2,BCt=714,求平面4cBi与平面BCGg夹角的余弦值.

2n

20.(12分)已知数列｛4｝满足，％=3,a„an+l=9x2-',neN*.

⑴求数列(«„｝的通项公式；

(2)证明:数列｛/｝中的任意三项均不能构成等差数列.

21.(12分)已知双曲线：/一丁=],点加为双曲线c右支上一点，48为双曲线C的左、

右顶点，直线AM与y轴交于点。，点。在x轴正半轴上，点E在y轴上.

⑴若点M(2,6)，2(2,0),过点。作2M的垂线/交该双曲线C于S,T两点，求ZiOST

的面积；

(2)若点M不与3重合，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.

①OD=DE；②8M_LEQ；③[00|=2.

注:若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

22.(12分)已知函数—x.

⑴讨论函数的单调性：

(2)当加>0时，函数+X恰有两个零点.

m

⑴求机的取值范围；

(ii)证明:g(x)>m,n—mm

参*考*答*案

一'选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

题号12345678

答案DACBDDCA

二'选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合迤目要求.

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

题号9101112

答案ABDBCDBDAC

三,填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.114.0.8215.216.72-166,12^2-16^

四'解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)

解：(1)V$inG4-B)=2$inC=2sin[n-(J+5)]=sin(yl+5),........................1分

sinAcosB-cosJsin5=2(sinAcosB+cosAsinB),

:,sindcosB+3cosdsin3=0........................................................3分

由正弦定理和余弦定理得二与+3dx竺上二三=0..........................4分

lac2bc

化简得d=d2+2r2................................................................5分

(2)(法1)在△疑。中•由余弦定理得/+C2+*=9..............................6分

又br+2c2=a2=9•............................................................7分

b=c=y/3»......................................................................8分

由得艮眩=(，

在△d&M中，由余弦定理得,工"，=c2+(yfl)2-2rx|flxcosB,

...10分

(法2)在AL5C中，由余弦定理得好+1+从=9...................................6分

又；炉+2J=J=9,...........................................................7分

b=C=y/i8分

18.（12分）

解：（1）样本中爱好飞盘运动的年轻人中男性16人，女性24人,比例为4：6.

按照性别采用分层抽样的方法抽取10人，则抽取男性4人，女性6人...................1分

随机变量X的取值为：0,1，2.3.

尸（*=0）=★=；..................................................................2分

Cw6

尸（X=l）=警=；.................3分

尸"=2喈£……-.......................................................4分

尸吠=3）=舁................................................................5分

Cl0SU

随机变量X的分布列为_________________________________________________________________

X0123

131

P

62W30

随机变量X的数学期里E(X)=0X!+1*:+2XW+3X±=?.........................6分

02103Uj

（2）零假设为4：爱好飞盘运动与性别无关联.......................................7分

根据列联表重的数据，经计算得到z2=当空文上亚=1299<6.635=1。1.........9分

10x40x22x28

根据小概率值。=001的独立性检验，没有充分证据推断H。不成立,因此可以认为成立,即认

为爱好飞盘运动与性别无关联...................-..............................10分

40

列联表中所有数据都扩大到原来的10倍后，三二10°;髻；：二,；12.99>6.635二”].

100x400x220x280

根据小概率值a=0.01的独立性检验，推断成立,即认为爱好飞盘运动与性别有关联.

所以，结论不一样，原因是每个数据都扩大为原来的10倍，相当于样本量变大为原来的1。倍.导

致推断结论发生了变化.........................................................12分

19.（12分）

证明：（I）设AC的中点为。.连接Q&,OB.

因为4=BC,所以/C_LOB...................................................1分

又因为4G/〃c.且4G所以/c_L4B...................................2分

因为4B,OBu平面。网，且45003=5，

所以dC_L平面OB4............................................................3分

因为。4u平面OR-k.

所以4C_LQ4.................................................................4分

又因为。是4c的中点，

所以4$=4C................................................................5分

解：（2）（法1）在△融C中，由余弦定理求得4C=2JJ,则4G=AC=2/.

因为4G所以4^+4。；=sc；,解得43=7?...........................6分

在油ZUC均和后△AOB中，可知4。=。3=1.

在△。皿中.+OB-=AiB-.因此40_L0B...................................7分

由（1）知，AfiAC,且4C,QBu平面4SC.且4£70。3=。，

所以遥。，平面的...............................................................8分

以丽，衣,这所在直线分别为x轴，）■轴，二轴，建立如图所示的空间直用坐标系，则40.0.1），

5（1,0.0）,C（0.7l0）,/（O.-VJ.O）.所以d£=4=aVIo）.4c=（0.73.-1）.BC=（-1,V3.0）.

竭=豆=（0.肉）.................9分

设平面4c耳的法向量为JW=（%,“：]）,

tnA,B,=0k+y/iv,=0

则，2J，即｛1八.

加YC=o[6JL3=O

令x】=JT.得肺=（JT「L-JT）...

（第19题图）

设平面BCC14的法向量为〃=（&,%.二。,

令%=3得"=（G"我...................................................II分

设平面4C%与平面BCC遇夹角为e,则cos"=焉・=.

所以平面4c4与平面BCG4夹角的余弦值为］.....................................12分

（法2）设BG与4c相交于点M.同（法I）可求得44=4C=&G=CG=2..............7分

因此.QA/X^C.A.MJ.B.C,所以幺肛是平面4s与平面的夹角〈或其补角）.

B

4MC1：

8SZ4MG=；；55^=-7..............--…堡上1sBp..................11分

2AyMxC}M7

所以平面45与平面BCC/i夹角的余弦值为］....................................12分

20.（12分）

11:1

解：＜1）由。.。“小以？-.{9a„1a„,=9x2**..........1分

以上两式相比.得手=4

.........................................2分

由4乂q=18,4=3,得。？=6,........................................3分

所以.数列也~｝是首项为3,公比4为的等比数列.。3=3*47=3*2（3河...........4分

数列｛%1｝是首项为6,公比为4的等比数列，仁.=6x4-：=3x22....................................5分

综上，数列机｝的通项公式为4=3x27.”wN*■.....--..........6分

（2）假设数列｛q｝中存在三项数列q,,at.fl,（其中卅＜上＜P＞成等差数列,

则a.+a,=〃.....................一7分

由（1）得3K2I+3X2X=6K2’T,即2-T+2Z=2’.............................................8分

两边同时除以2.“，得l+2i=2J"・（♦）

•;ni<k<p,且/n.hpwN',/.^-m+l,p-W€?T,

・•・（*）式左边为奇数，右边为偶数

・•・（*）等式不成立，假设不成立.

所以.数列SJ中得任意三项均不能构成等差数列....................................12分

21.（12分）

解：（1）（；i1）因为点M（2,扬,5（1.0）,

直线BM的斜率k33f=3a=小.

2—1

所以.垂线/的方程为x=-6y+2................................................../分

设点5（七,丁]），T（x2,y2）.

x=-75^+2,1-

,,•.«2r-W3v+3=O.............................................2分

{『一炉=1

]“+”=2百

则A=（T4）2-4x2x3=24,3........................................3分

>V'2=7

即157■卜戊+尸他+%）2_4mz=2-J6..............................................4分

原点。到直线/的距离为d=l，

所以，AOST的面积为：x|ST|xd=92而X1H#..................................-5分

（法2）因为点M的坐标为M（2.我，点B的坐标为8（1,0）直线艮"的斜率.

1csst=在0=6所以垂线/的方程为x=My+2.................................一1分

2—1

设点S（X]，M）,T（孙冉），

X=-Jiy+2.、

,，二•得2r+4x-7=0.................-............................2分

{丁一y=1

X[+、2=-2

则A=42+4X2X7=72，7.................................................3分

xlx2^-

即I不一与卜7（xl+x2）2-4X1X2=4..................................................4分

垂线，与〉轴的交点为（0.乎）.

所以.£^OST的面积为:x|%]—|x二=：*3®x-j—=y/6.

(2)®@作为条件,③作为结论

令点D(0,%)，，版(加J，O)(M>1),

由题意得3(1.0)，4(-1.0).

•••4Q、Af三点共线，

又・：ob=加,

・•・点E的坐标为5(0，招)........................................................8分

x()十，

直线艮”的斜率=#7•

玉)一1

:BMLEQt

k3M>0

设点。(%.。),

2»

丁宜线EQ的斜率kE0=4=2Jo±L.

-J'O7。

券詈2

•・1。。卜2.

0@作为条件,②作为结论

令点ZXO.Vp),jbXM>D，

由已知点3的坐标为H(LO),4-L0),

三点共线,

端口.............-........-.................-..........................7分

又，：ob=Di:，

工点E的坐标为E(0,^^),.............................................................................................................8分

%+1

又•・•|。。卜2,点。在戈轴正华轴上，...2(2,0),

2州

戈o+l=Jb,

又「2台，

2现Q---------=--1,

(.v0-l)(x0+l)x0--l

:.BM1.EQ.12分

②③作为条件.①作为结论

令点2X0,").M(%,)bXM>l)，不妨设%>0,

■三点共线.

。母>。'且人品=品=有.................................8分

:点Q在X轴正半轴上且I。。1=2,•••点2(2,0).

VBM1EQ,

—.................-”10分

kBMJO

又^

.必=渔』>0且/=侬尤=与式=竺心，

“"y}XQ-IX0+I

f2加即而=瓦...............................................................................................................12分

22.(12分)

解：(1)设/(：0工-—'.CY，........................................1分

当mW0时./‘(力="兄幅一】一1<0,

.・・/«在RL：取调递减：......................................................2分

当m>0时，设尸(x)=me叫-1-1,尸'6)=>0.

・・・/'(x)在R上单调递增,

.•.当xe(y.f巴)，/,(x)<0,"X)在区间(TO.匕巴巴)上单调递减：

mm

当了(X)在xe(匕皿.+8),r(x)>0,f(x)在区间(匕色巴,2)上中调递增.........3分

mm

/、、/•、/\Mr-1ln"+l/，,、mr-i1W"xemr'—I

(2)(i)g(x)=e----------(m>A0s),g*(x)=7neTO1------=----------------，

mmxmx

设A(x)=m2.tew-1-1.则/(%)=m2(mx+1>"*1-1.

・・・力'(x)>0,/.h(x)在区间(0,内)上单调递增.

1—InwInwIni,

由(I)可知当m=l时，则/(》)》/(-----)=----=-^-=0,即e""》x,...........................4分

mm1

._2J.4-1」

,,h(m2+1)=m2-(w-+1)-ew^"'-1>m*'(m-+1)--+1)-1F

.-13_3

••h(m-+1)>m*-m--mm--1=0

又•.•力(0)=7,由零点存在性定理可知.

存在x”(0.”F+l)，使得咐)=°，叩网*)

；.g(x)在区间(0当)上单调递减,在区间(孙内)上单调递增...........................5分

当时,由(*)可知gOOHeET-Mxi+l=l-'啊?1%+D,且呵eET=Lwi,

mnrxim

设可工)=工/T,w'(x)=(x+l)ex-1>0,则P(x)在(O.yc)上单调递增.

叙1)=1.・•.〃/<1,又由胴》1・・・期《人忘1，

・・・1一〃%(111毛+1)》1-"%》0.即虱»》8(再)》0・与条件矛盾,....