高斯小学奥数五年级下册含答案第09讲立体几何

第九讲立体几何

首先，我们来学习下.长方体、正方体的体枳与外表积的计算方法.

图形体积表而枳

C%方体=.cS外'表二2x(ab+bc+ca)

a

0,匕%体二/S正方体=6.-

1.•个正方体的棱长总和是72厘米，它的•个面是边长厘米的正方形，它的农

面积是_______平方厘米,体枳是_______立方厘米.

2.•个长方体的长是5分米，宽是45厘米，高是24里米,它的外表积电平方

匣米,体积是________立方厘米.

3.做一个长8分米，宽4分米,高6分米的长方体玻璃鱼缸,至少需要平方分

米的玻璃.

4.有一块楂长是10厘米的正方体的铁块，现在要把它熔铸成一个横截面枳是20平方厘米的长

力体,这个长方体的长是一I里米.如果要求这个长方体每条板的长度都

是整数厘米，它的外表积最小是_________平方厘米.

相信同学们对于这些公式都很熟悉，但是对于较复杂的立体图形,往往我们并不能直接应用公

式进行计算,这个时候又该怎么办呢？

例题I.

有30个边长为1米的正方体，如下图堆成•个四层的立体图形.请问；该立体图形的表面积等于多

少平方米？

分析：所谓外表积，就是立体图形露在外面的总面积.我们可以从上、下、左、右、前、后6个不同

的方向去考虑这个立体图形，把每个方向露出的面积加在•起就行了.

练习1.

用14个楼长是I厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的外表积是多少平方厘米？

在观察物体的时候,我们往往可以从不同的角度进行观察.角度不同,看到的风景就会

不同.比方：我们可以从正面看，上面看,左面看,看到的图形分刈称为正视图，俯视图和左视图.并且

容易发现：正面看和后面看，上面看和卜面看，左面看和右面看得到的图形是相同的.对于较复杂的

立体图形,通过三视图法往往可以很方便地计算出外表积.

例题2.

一个正方体被切成24个大小形状相同的小长方体（见下列图），这些小长方体的外表积之和为

162平方座米,那么原正方体的悻积是多少立方鹿米？

分析:我们先来分析一下切成小块的过程中，图形的外表积是如何变化的.同学们请看下列图:

一刀下去,正方体被一分为二.外表积和原来比,正好多出了A,B两个面.不难看出,这两个而的面积

都等丁原正方体6个而中1个面的面积.按这种方法，每切•刀,增加的都是两个面的面枳.同学们可

以计算一下,按如图的方式切了6刀后,外表积究竟增加了多少？

练习2.

一个正方体被切成36个大小形状相同的小长方体（见卜图），这些小长方体的表而枳之

和为~00平方厘米，那么原正方体的体积是多少立方厘米？

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例题3.

如图,有一个边长为30厘米的大正方体,分别在它的角上、枝上.面上各挖抻一个大

小相同的小正方体后,外表积变为5496平方厘米,那么挖掉的小正方体的枝长是多少厘米？分析:

沱去小正方体后,衣面积会发生变化.如果馆的位置,最终结果会有区别吗？

练习3.

一个正方体棱长10厘米,在它的外表上挖去一个校长3厘米的小正方体.请求出剩下立体图形外表

积的所有可能.

除了长方体、正方悻之外,圆柱和同椎在我们的生活中也特别常见.

如图.圆柱的两个网面叫做底面:周围的面叫做侧面:两个底面之间的距离叫做高.

圆锥的圆面叫做底面；尖点叫做顶点：顶点到底面的距离叫做高,顶点到底面圆周上任意一点的

连线叫做母线.关于圆港的内容,我们不作深入的学习，问学们只需要学会如何计算它的体积即可.

大家可以把圆柱想象成•个底面走畸形的柱子,那其他柱体也就是底面姑其他图形的柱子.如图,

所有“上下一股粗”的图形都称为柱体，图中的两个图形分别叫做三校柱和四梭柱，它们的体积计算

公式都是:

立体图形体积例而展开图

圆柱的侧面展开图为长方

V=底而积X高二Q%彩，长为圆柱底面周长，宽为画柱

的高.

4圆锥的侧面展开图为扇舫,

半径为母线（不是圆锥的鬲！），

V=底面秒1乂高二1JU二力孤长为阅锥底面周长.

（注：圆钱侧面展开只需了解,

A不需掌握）

例题4.

（1）如下左图，足长为8,宽为4的K方形，以长方形的改为轴旋我•周,求所形成的立体图形的体积

和外表积是多少.

（2）如下右图，是直角边分别为3和4的直角三角形，以边长为4的克角边为轴旋转♦周，求所形成

的立体图形的体积.

分析：圆柱体的底面半径和高与长方形的长和高有什么关系？圆锥体呢？

练习4.

有一个圆柱和一个圆锥,它们的奇和底面直径如下图.国柱体积及外表积分别是多少？圆椎的体枳是

多少？（冗取3.14）

例题5.

下列图是一个棱长为4厘米的正方体，分别在前、后、左、右，上、下各面的中央位置挖去一个校长I

厘米的正方体，做成一种玩具.该玩具的外表积是多少平方厘米？如果把这些洞都打穿,外表积乂变成

了多少平方厘米？

分析：打穿以后,表而枳的计算有点更杂.想想都有哪些而是露在外面的？

例题6.

如图,•个底加长20分