5.4.2正弦函数余弦函数的性质（原卷版）

5．4．2正弦函数、余弦函数的性质【知识点梳理】知识点一：周期函数函数，定义域为，当时，都有，其中是一个非零的常数，则是周期函数，是它的一个周期．知识点诠释：1、定义是对中的每一个值来说的，只有个别的值满足或只差个别的值不满足都不能说是的一个周期．2、对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期．知识点二：正弦函数性质函数正弦函数定义域值域奇偶性奇函数周期性最小正周期单调区间增区间减区间最值点最大值点；最小值点对称中心对称轴知识点诠释：（1）正弦函数的值域为，是指整个正弦函数或一个周期内的正弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么正弦函数的值域就可能不是，因而求正弦函数的值域时，要特别注意其定义域．（2）求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求的单调递增区间时，应先将变换为再求解，相当于求的单调递减区间；二是根据单调性的定义，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域．知识点三：正弦型函数的性质．函数与函数可看作是由正弦函数，余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数，余弦函数类似地得到：（1）定义域：（2）值域：（3）单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，分别与正弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由解出的范围所得区间即为增区间，由解出的范围，所得区间即为减区间．（4）奇偶性：正弦型函数不一定具备奇偶性．对于函数，当时为奇函数，当时为偶函数．知识点诠释：判断函数的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件．（5）周期：函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为．（6）对称轴和对称中心与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为．知识点四：余弦函数的性质函数余弦函数定义域值域奇偶性偶函数周期性最小正周期单调区间增区间减区间最值点最大值点最小值点对称中心对称轴知识点诠释：（1）余弦函数的值域为，是指整个余弦函数或一个周期内的余弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么余弦函数的值域就可能不是，因而求余弦函数的值域时，要特别注意其定义域．（2）求余弦函数的单调区间时，应先将变换为再求解，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域．知识点五：余弦型函数的性质．函数可看作是由余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由余弦函数类似地得到：（1）定义域：（2）值域：（3）单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，余弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间．（4）奇偶性：余弦型函数不一定具备奇偶性，对于函数，当时为偶函数，当时为奇函数．（5）周期：函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为．（6）对称轴和对称中心与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为．同理，的对称轴由解出，对称中心的横坐标由解出．知识点诠释：判断函数的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件．若，则函数不一定有对称轴和对称中心．【题型归纳目录】题型一：正余弦函数的周期问题题型二：正余弦函数的奇偶问题题型三：正余弦函数的对称问题题型四：正余弦函数的单调问题题型五：根据正余弦函数单调性求参数的范围问题题型六：比较大小题型七：正余弦函数的最值与值域问题题型八：正余弦函数的综合应用【典型例题】题型一：正余弦函数的周期问题例1．（2022·全国·高一专题练习）的最小正周期是（

）A． B． C．2 D．3例2．（2022·陕西汉中·高一期末）下列四个函数中，在区间上单调递增，且最小正周期为的是（

）A． B． C． D．例3．（2022·山东德州·高一期末）设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则（

）A． B．C． D．变式1．（2022·陕西渭南·高一期末）函数的最小正周期为（

）A． B． C． D．变式2．（2022·广东·珠海市斗门区第一中学高一阶段练习）下列函数中周期为，且为偶函数的是（

）A． B．C． D．变式3．（2022·全国·高一课时练习）已知函数(，)在区间上单调，且，则的最小正周期为（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】（1）定义法，即利用周期函数的定义求解．（2）公式法，对形如或（，，是常数，，）的函数，（3）观察法，即通过观察函数图象求其周期．三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解．题型二：正余弦函数的奇偶问题例4．（2022·浙江·杭州四中高一期末）在区间上为减函数，且为奇函数的是（

）A． B．C． D．例5．（2022·全国·高一课时练习）已知函数为偶函数，则的取值可以为（

）A． B． C． D．0例6．（2022·全国·高一专题练习）若函数是奇函数，则的值可以是（

）A． B． C． D．变式4．（2022·全国·高一专题练习）已知函数图象的两相邻对称轴之间的距离为，且为偶函数，则（

）A． B． C． D．变式5．（2022·全国·高一专题练习）已知函数（，，为实数），且，则（

）A． B．1 C． D．4045变式6．（2022·北京·北师大实验中学高一期中）下列函数中为奇函数的是（

）A． B． C． D．变式7．（2022·江苏·高一单元测试）已知函数为一次函数，若对任意的，都有，当时，函数的最大值与最小值之和为M，则M的值为（

）A． B．1 C．0 D．2变式8．（2022·全国·高一课时练习）设函数为定义在上的奇函数，当时，（m为常数），则等于（

）A．-1 B．0 C．1 D．2变式9．（2022·上海·高一专题练习）已知，，且，则（

）A． B． C． D．变式10．（2022·贵州·遵义航天高级中学高一阶段练习）设,其中都是非零实数,若,那么（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【方法技巧与总结】判断函数奇偶性的方法（1）利用定义判断一个函数的奇偶性，要考虑两方面：①函数的定义域是否关于原点对称；②与的关系；（2）判断函数的奇偶性常用方法是：①定义法；②图象法．题型三：正余弦函数的对称问题例7．（2022·湖南·武冈市教育科学研究所高一期末）关于函数图象的对称性，下列说法正确的是（

）A．关于直线对称 B．关于直线对称C．关于点对称 D．关于点对称例8．（2022·全国·高一课时练习）函数的图象的一个对称轴方程是（

）A． B． C． D．例9．（2022·陕西西安·高一期末）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．函数的图象关于点对称 B．函数图象的一条对称轴是直线C．是奇函数 D．若，则变式11．（2022·辽宁抚顺·高一期末）函数，若方程的解为，则（

）A． B． C． D．变式12．（2022·全国·高一课时练习）已知是上的奇函数，若的图象关于直线对称，且在区间内是单调函数，则（

）A． B． C． D．变式13．（2022·湖南·长沙麓山国际实验学校高一开学考试）已知函数，则下列判断错误的是（

）A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称C．的值域为 D．的图象关于点对称变式14．（2022·全国·高一课时练习）记函数（）的最小正周期为．若，且的图象关于点中心对称，则（

）A．1 B． C． D．3变式15．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，．若方程的两个解为，则（

）A． B． C． D．变式16．（2022·北京市第十二中学高一阶段练习）已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在区间上单调，则的最大值为（

）A． B． C． D．变式17．（2022·全国·高一专题练习）已知函数的图象关于点中心对称，则的最小值为（

）A． B． C． D．变式18．（2022·江西·高一期中）已知函数的图象关于直线对称，则（

）A． B． C． D．变式19．（2022·北京·中关村中学高一期中）若点是函数图象的一个对称中心，则的值可以是（

）A． B． C． D．变式20．（2022·陕西·西安中学高一期中）已知直线是函数图像的一条对称轴，则的值为（

）A．3 B．4 C．2 D．1变式21．（2022·全国·高一专题练习）已知函数在内不存在对称中心，则的取值范围为（

）．A． B． C． D．【方法技巧与总结】（1）正弦曲线（余弦曲线）既是轴对称图形，也是中心对称图形；（2）正弦曲线（余弦曲线）的对称轴一定过正弦曲线（余弦曲线）的最高点或最低点，即此时的正弦值（余弦值）取最大值或最小值；（3）正弦曲线（余弦曲线）的对称中心一定是正弦曲线（余弦曲线）与轴的交点，即此时的正弦值（余弦值）为0．题型四：正余弦函数的单调问题例10．（2022·内蒙古·阿拉善左旗第一中学高一期末（文））函数的单调递减区间是（）A． B．C． D．例11．（2022·全国·高一课时练习）函数在上的增区间是（

）A． B．C． D．例12．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高一期末）函数的单调减区间是（

）A． B．C． D．变式22．（2022·上海市新场中学高一期末）函数的单调增区间是（

）A． B．C． D．变式23．（2022·全国·高一课时练习）函数是（

）A．奇函数，在区间上单调递增 B．奇函数，在区间上单调递减C．偶函数，在区间上单调递增 D．偶函数，在区间上单调递减变式24．（2022·北京市育英中学高一期中）已知函数和在区间I上都是减函数，那么区间I可以是（

）A． B． C． D．变式25．（2022·河南开封·高二期末（理））已知函数的图象的相邻两个最高点的距离为，．则（

）A．B．的图象的对称轴方程为C．的图象的单调递增区间为D．的解集为变式26．函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（）A． B．C． D．【方法技巧与总结】（1）用“基本函数法”求函数（，）或（，）的单调区间的步骤：第一步：写出基本函数（或）的相应单调区间；第二步：将“”视为整体替换基本函数的单调区间（用不等式表示）中的“”；第三步：解关于的不等式．（2）对于形如的三角函数的单调区间问题，当时，可先用诱导公式转化为，则的单调递增区间即为原函数的单调递减区间，单调递减区间即为原函数的单调递增区间．余弦函数的单调性讨论同上．另外，值得注意的是这一条件不能省略．题型五：根据正余弦函数单调性求参数的范围问题例13．（2022·上海·高一期末）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．例14．（2022·辽宁葫芦岛·高一期末）已知函数,若使得在区间上为增函数的整数有且仅有一个,则实数的取值范围是(

)A． B． C． D．例15．（2022·重庆巴蜀中学高一期末）已知函数的一条对称轴为，一个对称中心为，且在上单调，则的最大值（

）A．5 B．6 C．7 D．8变式27．（2022·山东枣庄·高一期末）已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（

）A． B． C． D．变式28．（2022·全国·高一专题练习）已知，函数在内单调递减，则的取值范围是（

）A． B． C． D．变式29．（2022·河北·鸡泽县第一中学高一期末）已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（）A． B． C． D．变式30．（2022·浙江·平湖市当湖高级中学高一阶段练习）若函数在区间上单调递增，且，则的一个可能值是（）A． B． C． D．变式31．（2022·全国·高一课时练习）设，若函数在上单调递增，则的取值范围是________变式32．（2022·福建·高一期末）已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为________.变式33．（2022·上海浦东新·高一期中）已知在单调递增，则实数的最大值为______变式34．（2022·江苏连云港·高一期末）已知（其中）的单调递增区间为，则_________.【方法技巧与总结】已知正（余）弦函数的单调性求参数范围，多用数形结合思想及转化思想求解．题型六：比较大小例16．（2022·河北·鸡泽县第一中学高一阶段练习）比较，与的大小关系为______．例17．（2022·甘肃天水·高一阶段练习（理））比较，，的大小_________.例18．（2022·重庆·高一期末）已知，则的大小关系是（

）A． B． C． D．变式35．（2022·全国·高一课时练习）设函数（是常数），若，则，，之间的大小关系可能是A． B．C． D．变式36．（2022·四川达州·高一期末（理））三个实数，，的大小关系是（

）A． B．C． D．变式37．（2022·河北·邢台一中高一阶段练习）已知，则、、的大小关系为（

）A． B． C． D．变式38．（2022·陕西·咸阳百灵学校高一阶段练习）若，则的大小关系是A． B． C． D．【方法技巧与总结】比较两个三角函数值的大小（1）比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．（2）比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上．题型七：正余弦函数的最值与值域问题例19．（2022·江苏·苏州市第五中学校高一阶段练习）函数y＝sinx的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的最大值是________．例20．（2022·安徽六安·高一期中）已知函数f（x）＝sin，其中x∈，若f（x）的值域是，则实数a的取值范围是______．例21．（2022·上海·曹杨二中高一期末）函数的最大值是__________.变式39．（2022·河南安阳·高一阶段练习）已知函数的最大值为，最小值为.（1）求a､b的值；（2）求函数的最小值并求出对应x的集合.变式40．（2022·全国·高一专题练习）已知函数的图象关于直线对称，且图象上相邻两个最高点的距离为.（1）求和的值；（2）当时，求函数的最大值和最小值.变式41．（2022·江苏省南通中学模拟预测）设，，若函数的最大值为0，最小值为，试求a与b的值，并求使y取得最大值和最小值时的x值.变式42．（2022·新疆·库车市伊西哈拉镇中学高一期末）设函数.（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时的值．变式43．（2022·上海·复旦附中高一期中）函数的值域为_____________.变式44．（2022·上海中学高一期中）函数在区间上的最小值是______.变式45．（2022·广东·卓雅外国语学校高一阶段练习）若函数的值域为，则的最小值为_________变式46．（2022·新疆·克拉玛依十三中高一阶段练习）函数的值域为___________【方法技巧与总结】一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等．三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质．常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种：（1）形如的三角函数，令，根据题中的取值范围，求出的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出的最值（值域）．（2）形如的三角函数，可先设，将函数化为关于的二次函数，根据二次函数的单调性求值域（最值）．（3）对于形如（或）的函数的最值还要注意对的讨论．题型八：正余弦函数的综合应用例22．（2022·江西省万载中学高一期中）已知函数，，(1)求函数的单调递减区间；(2)求函数的最大值、最小值及对应的x值的集合；(3)若对任意，存在，使得，求实数m的取值范围.例23．（2022·新疆·柯坪湖州国庆中学高一期末）已知函数，.(1)求的最小正周期；(2)有零点，求的范围.例24．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，对于任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.变式47．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，．(1)求的值域；(2)若关于的方程有解，求实数的取值范围．变式48．（2022·全国·高一课时练习）设函数，函数的最小值为，且为函数的一个零点．(1)求函数的单调递增区间；(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．变式49．（2022·全国·高一课时练习）已知函数.(1)若，函数的最大值为0，最小值为，求，的值；(2)当时，函数的最大值为2，求的值.变式50．（2022·全国·高一课时练习）已知函数图象的一个对称中心为，其中为常数，且.(1)求函数的解析式；(2)已知函数，若对任意的，均有，求实数的取值范围.【同步练习】一、单选题1．（2022·陕西师大附中高一期中）按从小到大排列的顺序为（

）A． B．C． D．2．（2022·全国·高一单元测试）函数的值域是（

）A． B． C． D．3．（2022·全国·高一课时练习）若函数在区间内存在最小值，则的值可以是（

）A． B． C． D．4．（2022·全国·高一课时练习）设函数(其中的大致图象如图所示，则的最小正周期为（

）A． B． C． D．5．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则（

）A．的最大值为3，最小值为1B．的最大值为3，最小值为-1C．的最大值为，最小值为D．的最大值为，最小值为6．（2022·全国·高一课时练习）函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．7．（2022·全国·高一课时练习）若函数在处取得最小值3，那么的值为（

）A． B． C． D．8．（2022·湖南·新邵县教研室高一期末）定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期，且当时，，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2022·全国·高一课时练习）（多选）已知函数，则下列结论中正确的有（

）A．函数是奇函数B．函数的一个周期为C．函数图象的一个对称中心为D．函数图象的对称轴方程为10．（2022·河北省文安县第一中学高一阶段练习）已知是锐角，那么下列各值中可能取得的值是（

）A． B．1 C． D．11．（2022·全国·高一课时练习）声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波．我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数．音有四要素：音调、响度、音长和音色，它们都与正弦函数参数有关．响度与振幅有关，振幅越大，响度越大，振幅越小，响度越小；音调与声波的振动频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利．像我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音．我们听到的声音的函数是．结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中正确的是（

）A．函数不具有奇偶性B．函数在区间上单调递增C．若某声音甲的函数近似为，则声音甲的响度一定比纯音的响度大D．若声音乙的函数近似为，则声音乙一定比纯音低沉12．（2022·安徽省宿州市苐三中学高一期中）已知函数，则下列结论正确的有（

）A．B．函数图像关于直线对称C．函数的值域为D．若函数有四个零点，则实数的取值范围是13．（2022·河南·新密