8.2 函数与数学模型 原卷版

8.2函数与数学模型【考点梳理】考点一：函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b为常数且k≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数型函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)对数型函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)幂函数型模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)考点二：应用函数模型解决问题的基本过程1．审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；2．建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；3．求模——求解数学模型，得出数学模型；4．还原——将数学结论还原为实际问题．【题型归纳】题型一：利用二次函数模型解决实际问题1．（2023上·湖南长沙·高一长郡中学校考期中）如图，把直截面半径为的圆柱形木头锯成直截面为矩形的木料，如果矩形的一边长为（单位：），面积为（单位：），则把表示为的函数的解析式为（）A． B．，C． D．，2．（2023上·河北张家口·高一统考期中）2023年杭州亚运会已经圆满结束.杭州凭借其先进的体育基础设施和丰富的办赛经验，成为举办体育赛事的理想城市.为了助力杭州的绿色发展，进一步做好垃圾分类处理，当地某企业引进一个把厨余垃圾加工处理为某化工产品的项目.已知该企业日加工处理厨余垃圾量x（单位：吨）最少为70吨，最多为100吨.日加工处理总成本y（单位：元）与日加工处理厨余垃圾量x之间的函数关系可近似的表示为且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为110元.(1)该企业日加工处理厨余垃圾量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业日加工处理厨余垃圾处于亏损状态还是盈利状态？(2)为了使该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，要求企业从以下两种方案中选择其中的一种.方案一：每日进行定额财政补贴，金额为2300元；方案二：根据日加工处理厨余垃圾量x进行财政补贴，金额为30x元.如果你是企业的决策者，从企业获得最大利润的角度考虑，你会选择哪种补贴方案？为什么？题型二：分段函数模型3．（2023上·广东河源·高一龙川县第一中学校考期中）佗城位于龙川县最南端，内有百岁街､越王井､赵伦故居､正相塔､越王庙､孔庙､考棚等旧址及古建筑，某开发商计划2024年在伦城景区开发新的游玩项目，全年需投入固定成本400万元，若该项目在2024年有万名游客，则需另投入成本万元，且，该游玩项目的每张门票售价为80元.(1)求2024年该项目的利润（万元）关于游客数量（万人）的函数关系式（利润=销售额成本）.(2)当2024年游客数量为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？4．（2023上·湖北孝感·高一湖北省孝感市第一高级中学校联考期中）以人工智能、航空航天、生物技术、光电芯片、信息技术、新材料、新能源、智能制造等为代表的高精尖科技，属于由科技创新构成的物理世界，是需要长期研发投入，具有极高技术门槛和技术壁垒，最近十年，某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2023年起全面发售．经测算，生产该高级设备每年需固定投入固定成本500万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且，每百台高级设备售价为80万元，且高级设备年产量最大为10000台．(1)求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式；(2)当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润．题型三：分式型函数模型5．（2023上·安徽·高一校联考期中）第19届亚运会2023年9月23日至10月8日在浙江杭州举办，亚运会三个吉祥物琼琼､宸宸､莲莲，设计为鱼形机器人，同时也分别代表了杭州的三大世界遗产良渚古城遗址､京杭大运河和西湖，他们还有一个好听的名字：江南忆.由市场调研分析可知，当前“江南忆”的产量供不应求，某企业每售出千件“江南忆”的销售额为千元.，且生产的成本总投入为千元.记该企业每生产销售千件“江南忆”的利润为千元.(1)求函数的解析式；(2)求的最大值及相应的的取值.6．（2023上·河北石家庄·高一石家庄二中校考期中）某生产企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新，通过市场分析，生产此款全年需投入固定成本250万，每生产（千部），需另投入成本万元，且.由市场调研知，每部售价万元，且全年内生产的当年能全部销售完.(1)求出2023年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数解析式（利润＝销售额－成本）；(2)2023年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？题型四：指数函数模型7．（2023·全国·高一课堂例题）人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Malthus，1766—1834）就提出了自然状态下的人口增长模型，其中t表示经过的时间，表示时的人口数，r表示人口的年平均增长率.表是1950~1959年我国的人口数据资料：年份1950195119521953195419551956195719581959人口数/万55196563005748258796602666145662828645636599467207(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；(2)如果按表的增长趋势，那么大约在哪一年我国的人口数达到13亿？8．（2023下·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期末）由于突发短时强降雨，某中学地下车库流入大量雨水．从雨水开始流入地下车库时进行监测，已知雨水流入过程中，地下车库积水量（单位：）与时间（单位：）成正比，小时后雨停，消防部门立即使用抽水机进行排水，此时与的函数关系式为（为常数），如图所示．(1)求关于的函数表达式；(2)已知该地下车库的面积为，当积水深度小于等于时，师生方可入内，那么从消防部门开始排水时算起，至少需要经过几个小时以后，师生才能进入地下车库？题型五：对数函数模型9．（2023上·浙江宁波·高一镇海中学校考期中）声强级（单位：分贝）由公式：给出，其中为声强（单位：瓦/平米），基准声强瓦/平米.(1)已知正常听力范围是25分贝以内；听力损失在2640分贝为轻度耳聋；听力损失在4170分贝为中度耳聋；听力损失在7190分贝为重度耳聋.某耳聋患者听力声强范围为瓦/平米到瓦/平米，则其听力损失为何种程度耳聋？(2)某医院为布置育婴室查阅相关科学研究得知：新生要幼儿适宜声音强度应在35分贝到40分贝，有利于婴儿早教且不会影响婴儿听觉神经发育；声音超过40分贝可能会对婴儿听力产生影响，则为了宝宝的身体发育和睡眠质量，育婴室的环境声音应不超过多少瓦/平米？10．（2023上·江西南昌·高一统考期末）在不考虑空气阻力的条件下，某飞行器的最大速度为v（单位：）和所携带的燃料的质量M（单位kg）与飞行器（除燃料外）的质量m（单位kg）的函数关系式近似满足．当携带的燃料的质量和飞行器（除燃料外）的质量相等时，v约等于，当携带的燃料的质量是飞行器（除燃料外）的质量3倍时，v约等于．(1)求a，b的值；(2)问携带的燃料的质量M（单位kg）与飞行器（除燃料外）的质量m（单位kg）之比满足什么条件时，该飞行器最大速度超过第二宇宙速度．（参考数据：）题型六：幂函数模型11．（2021上·河南平顶山·高一统考期末）某企业为努力实现“碳中和”目标，计划从明年开始，通过替换清洁能源减少碳排放量，每年减少的碳排放量占上一年的碳排放量的比例均为，并预计年后碳排放量恰好减少为今年碳排放量的一半.（1）求的值；（2）若某一年的碳排放量为今年碳排放量的，按照计划至少再过多少年，碳排放量不超过今年碳排放量的？12．（2023·全国·高一）党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）.(1)分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？题型七：给定函数模型求解13．（2023上·江苏徐州·高一徐州高级中学校考期中）无人机被视为衡量科技实力、创新能力和高端制造水平的重要标志，2022年我国民用无人机总产值超过300亿元，我国无人机产业呈现出蓬勃发展的态势.现有某企业销售甲、乙两种小型无人机所得的利润分别是（单位：万元）和（单位：万元），它们与投入资金（单位：万元）的关系有经验公式，.今将3万元资金投入经营甲、乙两种小型无人机，其中对甲无人机投资（单位：万元）.(1)试用表示总利润（单位：万元），并写出的取值范围.(2)求当为多少时，总利润取得最大值，并求出最大值.14．（2023上·广东佛山·高一统考期中）物体在常温下冷却的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度为，经过一段时间后的温度为，则，其中为环境温度，为参数.某日室温保持为20，李华在8点时用智能电热水壶烧1升水（假设加热时水温随时间的变化为一次函数，且初始温度与室温一致），8分钟后水温达到100，水壶停止工作，壶中热水开始自然冷却，8点18分时，壶中水温为60.(1)求8点起壶中水温（单位：）关于时间（单位：分钟）的函数；(2)若当日李华在1升水沸腾（水温达到100）时，恰好有事出门，于是将智能电热水壶设定为保温状态，已知智能电热水壶会自动检测壶内水温，当壶内水温高于临界值50时，设备不加热；当壶内水温不高于临界值50时，开始加热至80后停止，加热速度与正常烧水一致.问李华离开后，智能电热水壶在几点几分开始第二次加热？（结果保留整数）（参考数据：，）【双基达标】一、单选题15．（2023上·重庆·高一四川外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于．经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（参考数据：）（）A．10分钟 B．14分钟C．15分钟 D．20分钟16．（2023上·四川成都·高三四川省成都市第八中学校校考阶段练习）噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压，下表为不同声源的声压级:已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（）声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车106090混合动力汽车105060电动汽车1040A． B．C． D．17．（2023上·四川成都·高一校考期中）纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量C、放电时间t和放电电流I之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为15A时，放电时间为30h；当放电电流为50A时，放电时间为，则该蓄电池的Peukert常数约为（）（参考数据：，）A．0.82 B．1.15 C．3.87 D．18．（2023上·内蒙古鄂尔多斯·高一校考期中）研究发现，X射线放射仪在使用时，其发射器发出的射线强度、接收器探测的射线强度与射线穿透的介质厚度（单位：毫米）满足关系式，其中正实数为该种介质的吸收常数．工作人员在测试某X射线放射仪时，向发射器与接收器之间插入了厚5毫米的金属板，发现接收器探测到的射线强度比插入金属板前下降了90%．现想让接收器探测到的射线强度会比插入金属板前下降%．则需要向发射器与接收器之间插入金属板的厚度至少为（）A．毫米 B．毫米 C．毫米 D．毫米19．（2023上·广东佛山·高一石门中学校考期中）当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约经过N年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14原有初始质量为Q，该生物体内碳14所剩质量y与死亡年数x的函数关系为（）A． B．C． D．20．（2023上·江苏宿迁·高一统考期中）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是，经过一段时间后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期．现有一杯用热水冲的速溶咖啡，放在的房间中，如果咖啡降温到需要，那么降温到，需要的时长为（）A． B． C． D．21．（2023上·宁夏银川·高一银川二中校考阶段练习）声强级（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：），若学校图书规定：在阅览室内，声强级不能超过40dB，则最大声强为（）A． B．C． D．22．（2023上·安徽·高一校联考竞赛）我们知道存储温度（单位：℃）会影响着鲜牛奶的保鲜时间（单位：），温度越高，保鲜时间越短.已知与之间的函数关系式为（为自然对数的底数），某款鲜牛奶在5℃的保鲜时间为，在25℃的保鲜时间为.（参考数据：）(1)求此款鲜牛奶在0℃的保鲜时间约为几小时（结果保留到整数）；(2)若想要保证此款鲜牛奶的保鲜时间不少于，那么对存储温度有怎样的要求？23．（2023上·安徽·高一校联考竞赛）某品牌汽车制造厂引进了一条小型家用汽车装配流水线，本年度第一季度统计数据如下表月份1月2月3月小型汽车数量（辆）306080创造的收益（元）480060004800(1)根据上表数据，从下列三个函数模型中：①，②，③选取一个恰当的函数模型描述这条流水线生产的小型汽车数量（辆）与创造的收益（元）之间的关系，并写出这个函数关系式；(2)利用上述你选取的函数关系式计算，若这家工厂希望在一周内利用这条流水线创收6020元以上，那么它在一周内大约应生产多少辆小型汽车？24．（2023上·江西·高一校联考阶段练习）今年以来，旅游业迎来了全面复苏的喜人景象.某文旅企业准备开发一个新的旅游景区，前期投入200万元，若该景区开业后的第一年接待游客万人，则需另投入成本万元，且，该景区门票价格为64元人.(1)求该景区开业后的第一年的利润（万元）关于人数（万人）的函数关系式（利润收入成本）.(2)当该景区开业后的第一年接待游客多少人时，获得的利润最大？最大利润为多少？25．（2023上·宁夏银川·高一银川二中校考阶段练习）某科研机构对某病毒的变异毒株在特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记录，用x表示经过单位时间的个数，用y表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据：X（T）123456…Y（万个）…10…50…250…若该变异毒株的数量y（单位：万个）与经过x（）个单位时间T的关系有两个函数模型（）与（，）可供选择.(1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；(2)求至少经过多少个时间单位，该变异毒株的数量不少于一亿个.【高分突破】一、单选题26．（2023上·江西赣州·高三江西省大余中学校联考期中）某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以减少对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量（单位：）与过滤时间（单位：）的关系为（是正常数）.若经过过滤后消除了的污染物，则污染物减少大约需要（）（参考数据：）A． B． C． D．27．（2023上·广东佛山·高一统考期中）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足.已知某同学视力的五分记录法的数据为，则其视力的小数记录法的数据约为（）（）A．1.59 B．1.28 C．0.63 D．28．（2023上·湖南·高一校联考期中）某企业为了鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每个月用水量不超过15吨，按每吨3元收费；每个月用水量超过15吨，超过部分按每吨5元收费.职工小王10月份的水费为70元，则小王10月份的实际用水量为（）A．18吨 B．20吨 C．22吨 D．24吨29．（2023上·四川成都·高一石室中学校考期中）已知当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量y与死亡年数x的关系为．不久前，考古学家在某遗址中提取了数百份不同类型的样品，包括木炭、骨头、陶器等，得到了一系列的碳14测年数据，发现生物组织内碳14的含量是死亡前的．则可以推断，该遗址距离今天大约多少年（参考数据，）（）A．2355 B．2455 C．2555 D．2655二、多选题30．（2023上·江苏苏州·高一南京航空航天大学苏州附属中学校考阶段练习）几名大学生创业，经过调研，他们选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润（单位：万元）与每月投入的研发经费（单位：万元）有关．当每月投入的研发经费不高于万元时，，研发利润率．他们现在已投入研发经费万元，则下列判断正确的是（）A．投入万元研发经费可以获得最大利润率B．要再投入万元研发经费才能获得最大月利润C．要想获得最大利润率，还需要再投入研发经费万元D．要想获得最大月利润，还需要再投入研发经费万元31．（2023上·高一课时练习）某企业生产一种机器的固定成本为万元，但每生产100台时又需可变成本万元，市场对此商品的年需求量为500台，销售收入函数为(万元)，其中x是产品售出的数量(单位：百台)，则下列说法正确的是（）A．利润y表示为年产量x的函数为B．当年产量为475台时企业所得的利润最大，为万元C．当年产量(单位：百台)时，企业不亏本D．企业不亏本的最大年产量为500台32．（2023上·浙江宁波·高一浙江省宁波市鄞州中学校联考期中）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系（，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是120小时，在20℃的保鲜时间是30小时，则（）A．且B．在10℃的保鲜时间是60小时C．要使得保鲜时间不少于15小时，则储存温度不低于30℃D．在零下2℃的保鲜时间将超过150小时33．（2023上·辽宁辽阳·高一统考期中）某商家为了提高一等品M的销售额，对一等品M进行分类销售．据统计，该商家有200件一等品M，产品单价为元．现计划将这200件一等品分为两类：精品和优品．其中优品x件（，），分类后精品的单价在原来的基础上增加2x%，优品的单价调整为元（），因市场需求旺盛，假设分类后精品与优品可以全部售完．若优品的单价不低于分类前一等品M的单价，且精品的总销售额不低于优品的总销售额，则n的值可能为（）A．5 B．6 C．7 D．8三、填空题34．（2023上·重庆·高一重庆巴蜀中学校考期中）已知某种果蔬的有效保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）近似满足函数关系（，为常数，为自然对数底数），若该果蔬在的保鲜时间为216小时，在的有效保鲜时间为8小时，那么在时，该果蔬的有效保鲜时间大约为小时.35．（2023上·上海浦东新·高一上海市进才中学校考期中）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为衰减速度为22，且当训练迭代轮数为22时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为．36．（2023上·云南昆明·高一昆明八中校考期中）如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：）与时间t（单位：月）的关系为．关于下列说法正确的是．①浮萍的面积每月的增长率为2；②浮萍每月增加的面积都相等；③第5个月时，浮萍面积不超过；④若浮萍蔓延到，，所经过的时间分别是，，，则．37．（2023上·广东广州·高一广州市协和中学校考期中）国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间的关系（为最初污染物数量）．如果前2个小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还要小时．四、解答题38．（2023上·重庆·高一重庆八中校考阶段练习）塑料袋给我们生活带来了方便，但对环境造成了巨大危害.某品牌塑料袋经自然降解后残留量与时间年之间的关系为为初始量，为光解系数（与光照强度､湿度及氧气浓度有关），为塑料分子聚态结构系数.（参考数据：）(1)已知塑料分子聚态结构系数是光解系数的90倍，若塑料自然降解到残留量为初始量的时，大约需要多少年？(2)为了缩短降解时间，该品牌改变了塑料分子聚态结构，其他条件不变.已知2年就可降解初始量的.要使残留量不超过初始量的5%，至少需要多少年？39．（2023上·安徽·高一和县第一中学校联考期中）某快递公司为降低新冠肺炎疫情带来的经济影响，引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本.已知购买x台机器人的总成本为（单位：万元）.(1)应买多少台机器人，可使每台机器人的平均成本最低；(2)现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m人将物件放在机器人上，机器人将物件送达指定分拣处.经过实验知，每台机器人日平均分拣量为（单位：件）.求引进机器人后，日平均分拣量的最大值.40．（2023上·广西·高一校联考阶段练习）首届全国学生（青年）运动会于2023年11月5日在广西南宁举行，假设你是某纪念章公司委托的专营店销售总监.现有一款纪念章，每枚进价5元，同时每销售一枚这种纪念章需向学青会组委会上交特许经营管理费2元用于活动公益开支，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为元..(1)请你写出专营店一年内销售这种纪念章所获利润（元）与每枚纪念章的销售价格（元）的函数关系式；(2)当每枚纪念章销售价格为多少元时，该专营店一年内的利润最大？最大利润为多少元？41．（2023上·四川成都·高一石室中学校考期中）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的含量变化规律的“散点图"”如图，该函数近似模型如下：，又已知酒后1小时测得酒精含量值为毫克/百毫升，根据上述条件，解答以下问题：(1)当时，确定的表达式；(2)喝1瓶啤酒后多长时间后才可以驾车？（时间以整分钟计算）（附参考数据：）42．（2023上·河南·高一校联考阶段练习）定义：将人每小时步行扫过地面的面积记为人的扫码速度，单位是平方公里/小时，如扫码速度为1平方公里/小时表示人每小时步行扫过的面积为1平方公里.十一黄金周期间，黄山景区是中国最繁忙的景区之一