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文档简介
三明市重点中学2024年数学高三上期末检测模拟试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.从5名学生中选出4名分别参加数学,物理,化学,生物四科竞赛,其中甲不能参加生物竞赛,则不同的参赛方案种数为A.48 B.72 C.90 D.962.记单调递增的等比数列的前项和为,若,,则()A. B. C. D.3.若集合,则()A. B.C. D.4.从某市的中学生中随机调查了部分男生,获得了他们的身高数据,整理得到如下频率分布直方图:根据频率分布直方图,可知这部分男生的身高的中位数的估计值为A. B.C. D.5.在中,,,,若,则实数()A. B. C. D.6.如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积是()A. B. C. D.87.若复数,其中为虚数单位,则下列结论正确的是()A.的虚部为 B. C.的共轭复数为 D.为纯虚数8.是的()条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要9.在平面直角坐标系中,已知点,,若动点满足,则的取值范围是()A. B.C. D.10.一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合,如果圆锥的表面积与半球的表面积相等,那么这个圆锥轴截面底角的大小是()A. B. C. D.11.已知复数满足,则的值为()A. B. C. D.212.已知若在定义域上恒成立,则的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知是偶函数,则的最小值为___________.14.若,则__________.15.成都市某次高三统考,成绩X经统计分析,近似服从正态分布,且,若该市有人参考,则估计成都市该次统考中成绩大于分的人数为_____.16.如图所示,在直角梯形中,,、分别是、上的点,,且(如图①).将四边形沿折起,连接、、(如图②).在折起的过程中,则下列表述:①平面;②四点、、、可能共面;③若,则平面平面;④平面与平面可能垂直.其中正确的是__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)健身馆某项目收费标准为每次60元,现推出会员优惠活动:具体收费标准如下:现随机抽取了100为会员统计它们的消费次数,得到数据如下:假设该项目的成本为每次30元,根据给出的数据回答下列问题:(1)估计1位会员至少消费两次的概率(2)某会员消费4次,求这4次消费获得的平均利润;(3)假设每个会员每星期最多消费4次,以事件发生的频率作为相应事件的概率,从会员中随机抽取两位,记从这两位会员的消费获得的平均利润之差的绝对值为,求的分布列及数学期望18.(12分)设不等式的解集为M,.(1)证明:;(2)比较与的大小,并说明理由.19.(12分)等比数列中,.(Ⅰ)求的通项公式;(Ⅱ)记为的前项和.若,求.20.(12分)如图,已知平面与直线均垂直于所在平面,且.(1)求证:平面;(2)若,求与平面所成角的正弦值.21.(12分)已知函数.(Ⅰ)若,求曲线在处的切线方程;(Ⅱ)当时,要使恒成立,求实数的取值范围.22.(10分)如图,内接于圆O,AB是圆O的直径,四边形DCBE为平行四边形,平面ABC,,.(1)求证:平面ACD;(2)设,表示三棱锥B-ACE的体积,求函数的解析式及最大值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】因甲不参加生物竞赛,则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛①当甲参加另外3场比赛时,共有•=72种选择方案;②当甲学生不参加任何比赛时,共有=24种选择方案.综上所述,所有参赛方案有72+24=96种故答案为:96点睛:本题以选择学生参加比赛为载体,考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识,属于基础题.2、C【解析】
先利用等比数列的性质得到的值,再根据的方程组可得的值,从而得到数列的公比,进而得到数列的通项和前项和,根据后两个公式可得正确的选项.【详解】因为为等比数列,所以,故即,由可得或,因为为递增数列,故符合.此时,所以或(舍,因为为递增数列).故,.故选C.【点睛】一般地,如果为等比数列,为其前项和,则有性质:(1)若,则;(2)公比时,则有,其中为常数且;(3)为等比数列()且公比为.3、A【解析】
先确定集合中的元素,然后由交集定义求解.【详解】,.故选:A.【点睛】本题考查求集合的交集运算,掌握交集定义是解题关键.4、C【解析】
由题可得,解得,则,,所以这部分男生的身高的中位数的估计值为,故选C.5、D【解析】
将、用、表示,再代入中计算即可.【详解】由,知为的重心,所以,又,所以,,所以,.故选:D【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用,涉及到向量的线性运算,是一道中档题.6、A【解析】
由三视图还原出原几何体,得出几何体的结构特征,然后计算体积.【详解】由三视图知原几何体是一个四棱锥,四棱锥底面是边长为2的正方形,高为2,直观图如图所示,.故选:A.【点睛】本题考查三视图,考查棱锥的体积公式,掌握基本几何体的三视图是解题关键.7、D【解析】
将复数整理为的形式,分别判断四个选项即可得到结果.【详解】的虚部为,错误;,错误;,错误;,为纯虚数,正确本题正确选项:【点睛】本题考查复数的模长、实部与虚部、共轭复数、复数的分类的知识,属于基础题.8、B【解析】
利用充分条件、必要条件与集合包含关系之间的等价关系,即可得出。【详解】设对应的集合是,由解得且对应的集合是,所以,故是的必要不充分条件,故选B。【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判断方法——集合关系法。设,如果,则是的充分条件;如果B则是的充分不必要条件;如果,则是的必要条件;如果,则是的必要不充分条件。9、D【解析】
设出的坐标为,依据题目条件,求出点的轨迹方程,写出点的参数方程,则,根据余弦函数自身的范围,可求得结果.【详解】设,则∵,∴∴∴为点的轨迹方程∴点的参数方程为(为参数)则由向量的坐标表达式有:又∵∴故选:D【点睛】考查学生依据条件求解各种轨迹方程的能力,熟练掌握代数式转换,能够利用三角换元的思想处理轨迹中的向量乘积,属于中档题.求解轨迹方程的方法有:①直接法;②定义法;③相关点法;④参数法;⑤待定系数法10、D【解析】
设圆锥的母线长为l,底面半径为R,再表达圆锥表面积与球的表面积公式,进而求得即可得圆锥轴截面底角的大小.【详解】设圆锥的母线长为l,底面半径为R,则有,解得,所以圆锥轴截面底角的余弦值是,底角大小为.故选:D【点睛】本题考查圆锥的表面积和球的表面积公式,属于基础题.11、C【解析】
由复数的除法运算整理已知求得复数z,进而求得其模.【详解】因为,所以故选:C【点睛】本题考查复数的除法运算与求复数的模,属于基础题.12、C【解析】
先解不等式,可得出,求出函数的值域,由题意可知,不等式在定义域上恒成立,可得出关于的不等式,即可解得实数的取值范围.【详解】,先解不等式.①当时,由,得,解得,此时;②当时,由,得.所以,不等式的解集为.下面来求函数的值域.当时,,则,此时;当时,,此时.综上所述,函数的值域为,由于在定义域上恒成立,则不等式在定义域上恒成立,所以,,解得.因此,实数的取值范围是.故选:C.【点睛】本题考查利用函数不等式恒成立求参数,同时也考查了分段函数基本性质的应用,考查分类讨论思想的应用,属于中等题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、2【解析】
由偶函数性质可得,解得,再结合基本不等式即可求解【详解】令得,所以,当且仅当时取等号.故答案为:2【点睛】考查函数的奇偶性、基本不等式,属于基础题14、【解析】
由已知利用两角差的正弦函数公式可得,两边平方,由同角三角函数基本关系式,二倍角的正弦函数公式即可计算得解.【详解】,得,在等式两边平方得,解得.故答案为:.【点睛】本题主要考查了两角差的正弦函数公式,同角三角函数基本关系式,二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用,考查了转化思想,属于基础题.15、.【解析】
根据正态分布密度曲线性质,结合求得,即可得解.【详解】根据正态分布,且,所以故该市有人参考,则估计成都市该次统考中成绩大于分的人数为.故答案为:.【点睛】此题考查正态分布密度曲线性质的理解辨析,根据曲线的对称性求解概率,根据总人数求解成绩大于114的人数.16、①③【解析】
连接、交于点,取的中点,证明四边形为平行四边形,可判断命题①的正误;利用线面平行的性质定理和空间平行线的传递性可判断命题②的正误;连接,证明出,结合线面垂直和面面垂直的判定定理可判断命题③的正误;假设平面与平面垂直,利用面面垂直的性质定理可判断命题④的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题①,连接、交于点,取的中点、,连接、,如下图所示:则且,四边形是矩形,且,为的中点,为的中点,且,且,四边形为平行四边形,,即,平面,平面,平面,命题①正确;对于命题②,,平面,平面,平面,若四点、、、共面,则这四点可确定平面,则,平面平面,由线面平行的性质定理可得,则,但四边形为梯形且、为两腰,与相交,矛盾.所以,命题②错误;对于命题③,连接、,设,则,在中,,,则为等腰直角三角形,且,,,且,由余弦定理得,,,又,,平面,平面,,,、为平面内的两条相交直线,所以,平面,平面,平面平面,命题③正确;对于命题④,假设平面与平面垂直,过点在平面内作,平面平面,平面平面,,平面,平面,平面,,,,,,,又,平面,平面,.,平面,平面,.,,显然与不垂直,命题④错误.故答案为:①③.【点睛】本题考查立体几何综合问题,涉及线面平行、面面垂直的证明、以及点共面的判断,考查推理能力,属于中等题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)22.5(3)见解析,【解析】
(1)根据频数计算频率,得出概率;(2)根据优惠标准计算平均利润;(3)求出各种情况对应的的值和概率,得出分布列,从而计算出数学期望.【详解】解:(1)估计1位会员至少消费两次的概率;(2)第1次消费利润;第2次消费利润;第3次消费利润;第4次消费利润;这4次消费获得的平均利润:(3)1次消费利润是27,概率是;2次消费利润是,概率是;3次消费利润是,概率是;4次消费利润是,概率是;由题意:故分布列为:0期望为:【点睛】本题考查概率、平均利润、离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,考查古典概型、相互独立事件概率乘法公式等基础知识,考查运算求解能力,属于中档题.18、(1)证明见解析;(2).【解析】试题分析:(1)首先求得集合M,然后结合绝对值不等式的性质即可证得题中的结论;(2)利用平方做差的方法可证得|1-4ab|>2|a-b|.试题解析:(Ⅰ)证明:记f(x)=|x-1|-|x+2|,则f(x)=,所以解得-<x<,故M=(-,).所以,||≤|a|+|b|<×+×=.(Ⅱ)由(Ⅰ)得0≤a2<,0≤b2<.|1-4ab|2-4|a-b|2=(1-8ab+16a2b2)-4(a2-2ab+b2)=4(a2-1)(b2-1)>0.所以,|1-4ab|>2|a-b|.19、(Ⅰ)或(Ⅱ)12【解析】
(1)先设数列的公比为,根据题中条件求出公比,即可得出通项公式;(2)根据(1)的结果,由等比数列的求和公式,即可求出结果.【详解】(1)设数列的公比为,,,或.(2)时,,解得;时,,无正整数解;综上所述.【点睛】本题主要考查等比数列,熟记等比数列的通项公式与求和公式即可,属于基础题型.20、(1)见解析;(2)【解析】
(Ⅰ)证明:过点作于点,∵平面⊥平面,∴平面又∵⊥平面∴∥,又∵平面∴∥平面(Ⅱ)∵平面∴,又∵∴∴∴点是的中点,连结,则∴平面∴∥,∴四边形是矩形设,得:,又∵,∴,从而,过作于点,则∴是与平面所成角∴,∴与平面所成角的正弦值为考点:面面垂直的性质定理;线面平行的判定定理;线面垂直的性质定理;直线与平面所成的角.点评:本题主要考查了线面平行的证明和直线与平面所成的角,属立体几何中的常考题型,较难.本题也可以用向量法来做:用向量法解题的关键是;首先正确的建立空间直角坐标系,正确求解平面的一个法向量.注意计算要仔细、认真.≌21、(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)求函数的导函数,即可求得切线的斜率,则切线方程得解;(Ⅱ)构造函数,对参数分类讨论,求得函数的单调性,以及最值,即可容易求得参数范围.【详解】(Ⅰ)当时,,则.所以.又,故所求切线方程为,即.(Ⅱ)依题意,得,即恒成立.令,则.①当时,因为,不合题意.②当时,令,得,,显然.令,得或;令,得.所以函数的单调递增区间是,,单调递减区间是.当时,,,所以,只需,所以,所以实数的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线方程
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