初二数学八年级上册全册导学案(含答案)

初二数学八年级上册

全册导学案

第一章轴对称与轴对称图形

1.1我们身边的轴对称图形

教学目标：

1、观察、感受生活中的轴对称图形，认识轴对称图形。

2、能判断一个图形是否是轴对称图形。

3、理解两个图形关于某条直线成轴对称的意义。

4、正确区分轴对称图形与两个图形关于某条直线成轴对称。

5、理解并能应用轴对称的有关性质。

教学重点：

1、能判断一个图形是否是轴对称图形。

2、轴对称的有关性质。

难点：

1、,说断一个图形是否是轴对称图形。

2、正确区分轴对称图形与两个图形关于某条直线成轴对称。

教学过程：

一、情境导入

教师展示图片：五角星、脸谱、正方形、禁行标志、山水倒映等。

学生欣赏，思考：这些图形有什么特点？

二、探究新知

1、生活中有许多奇妙的对称，如从镜子里看到自己的像;把手掌盖在

镜子上，镜子里的手与自己的手完全重合在一起；这些都是对称,

你还能举出例子吗？

学生分组思考、讨论、交流，选代表发言。

教师巡回指导、点评。

2、动手做一做：用直尺和圆规在纸上作出一个梯形，并把纸上的梯

形剪下来，沿上底和下底的中点的连线对折，直线两旁的部分能

完全重合吗？

学生活动：观察、小结特点。

3、教师给出轴对称图形的定义。

问题：

⑴“完全重合”是什么意思？

⑵这条直线可能不经过这个图形本身吗？

⑶圆的直径是圆的对称轴吗？

学生分组思考、讨论、交流，选代表发言，教师点评。

⑴指形状相同，大小相等。

⑵不能，因为这条直线必须把这个图形分成能充分重合的两部分，则

第-2-页共190页

必然经过这个图形的本身。

⑶不是，因为圆的直径是线段，而不是直线，应说直径所在的直线或

经过圆心的直线。

4、猜想归纳：

正三角形有几条对称轴？正方形呢？正五边形呢？正六边形呢？从

中可以得到什么结论？

学生思考、讨论、交流。

5、你还能举出生活中轴对称图形的例子吗？

6、教科书第五页图1-6⑴⑵两个图，问题：想一想，每组图形中，左

边图形沿虚线对折后与右边的图形有着怎样的关系？

7、教师给出两个图形关于某条直线成轴对称的定义。

8、你还能举出生活中两个图形关于某条直线成轴对称的例子吗？

思考：轴对称图形与两个图形关于某条直线成轴对称有什么异同？

学生思考、分组讨论、交流。

教师引导小结。

三、巩固反馈

1、26个英文大写字母中，是轴对称图形的是

2、中华民族是一个有着五千年文明历史的古老民族，在她灿烂的文

化中，汉字是其中一朵瑰丽的奇葩，请写出几个是轴对称的汉字-

3、关于奥运会五环图案有下列各说法：①它不是轴对称图形；②它

是轴对称图形，只有一条对称轴③它是轴对称图形，有无数条对称轴,

其中正确的是o

从轴对称的角度，你觉得哪些图形比较独特？简要说明你的理由。

5、画出一个只有三条对称轴的轴对称图形。

D

第-3-页共190页

6、上面哪一个选项的右边图形与左边图形成轴对称？

四、课堂小结

学完本节，你有什么收获？

五、作业设计

1、必做题：教科书第6页练习题1-4题。

2、选做题：

把长方形纸片折叠，使边CD落在EF处，折痕为KH,则与梯

形CDGH成轴对称的图形是（）o

A、梯形ABHGB、梯形ABKGC、梯形EFGHD、梯形EFKH

1.2线段的垂直平分线

教学目标：

1、通过折叠的方式认识线段的轴对称性。

2、理解并能运用线段垂直平分线的性质。

教学重点：引导学生了解有关线段垂直平分线的知识。

难点：运用线段垂直平分线的性质解决问题。

教学过程：

—＞自主探索

iM

第-4-页共190页

在纸上画一条线段AB,通过对折使点A与点B重合，独立解决以下

问题：

1、将纸展开后铺平，记折痕所在的直线为MN,直线MN与线段AB

的交点为0,线段A0与B0的长度有什么关系？

2、直线MN与线段AB有怎样的位置关系？

3、由以上1、2,直线MN叫做线段AB的

4、线段AB是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？

5、在直线MN上任取一点P,连接PA与PB,如果把这张纸沿直线

MN对折，PA与PB重合吗？

6、在直线MN上再取另一点Q,连接QA与QB,把这张纸沿直线

MN对折，QA与QB重合吗？

7、由以上5、6,你有什么结论?

8、尝试用尺规作图的方法作出线段AB的垂直平分线o

二、小组合作

任意画一个三角形，用圆规和直尺作出它的三条边的垂直平分线，有

什么发现？

三、学以致用

1、点P、C、D是线段AB的垂直平分线上的三点，分别连接PA、

PB,AC、BC,AD、BD,指出图中所有相等的线段。

2、任意画一条线段，用直尺和圆规把它四等分。

3、AB要在A、B、C三个村庄之间修一座变电站，使

它到三个村

第-5-页共190页

庄的距离

相等，你能在图中找出点0的位置吗？

C

四、达标反馈，当堂训练

1、如上左图，直线MN和DE分别是线段AB、BC的垂直平分线，

它们交于点P，请问：PA和PC相等吗？

2、如上右图，AB=AC,MN垂直平分AB,若AB=6,BC=4,^ADBC

的周长。

3、如上左图，在直线上求作■点P,使PA=PB.

4、如上右图，ZBAC=120°,NC=30°,DE是线段AC的垂直平分

线，求NBAD的度数。

五、课堂小结

本节课主要学习了：

1、线段垂直平分线的知识。

2、线段的垂直平分线的点到线段两短点的距离相等。

第-6-页共190页

3、利用线段的垂直平分线的点到线段两短点的距离相等解决实际问

题。

六、作业设计

3、必做题：教科书第10页习题A组1-2题,B1-2题。

4、选做题:

与BC的垂直平分线;

1.3角的平分线

教学目标：

1、通过折叠的方式认识角的轴对称性。

2、理解并能运用角的平分线的性质。

3、会画已知角的平分线。

教学重点：引导学生了解有关线角平分线的知识。

难点：运用角平分线的性质解决问题。：

教学过程：

一、自主探索

B

在纸上画NBAC,把它剪下来并对折，使角的两边重合，然后把纸铺

平，独立解决以下问题：

1、角是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？

2、尝试用尺规作图的方法作出NBAC的平分线AD。

3、在AD上任取一点P,作出点P到NBAC两边的垂线段PM与PN,

第-7-页共190页

垂足分别为点M和点N,如果把NBAC沿AD折叠，线段PM与PN

重合吗？由此，你能得出什么结论？

4、在AD上另取另一点Q,重复上述操作，你还能得出同样的结论

吗？

二、小组合作

1、任意作一个锐角三角形，用直尺和圆规作出它的三条角平分线，

你有什么发现？

2、任意作一个直角三角形，用直尺和圆规作出它的三条角平分线，

你有什么发现

3、任意作一个钝角三角形，用直尺和圆规作出它的三条角平分线,

你有什么发现？

猜想结论:

三、学以致用

天泉农副产品集散地M位于三个村庄A、B、C之间，其位置到三条

公路AB、AC、BC的距离相等，你能找到M的位置吗？

四、达标反馈，当堂训练

第-8-页共190页

a）如上左图，在直角坐标系中，AD是Rt^OAB的角平分线，

点D到AB的距离是2,求点D的坐标。

b）如上右图，若点M在NANB的角平分线上，ZA=ZB=90°,

那么你有怎样的结论？

若点N在NAMB的角平分线上，ZA=ZB=90°，那么你有怎

样的结论？

3、如上左图，AABC中，ZA=90°,BD平分

NABC,AD=3cm,BC=10cm,求4BDC的面积。

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4、如上右图，已知NAOB和C、D两点，是否能找到一点P,使得

点P至IJOA、0B的距离相等，而且P点到C、D两点的距离相等。

五、课堂小结

这节课你有哪些收获?

六、作业设置

1、必做题：教科书第12页A组、B组。

2、选做题：

§1.4等腰三角形导学案

（泰山版八年级上册）

一、学习目标

1、经历探索等腰三角形的性质的过程，掌握等腰三角形的轴

对称性、等腰三角形“三线合一”、等腰三角形的两个底角

相等等性质。

2、经历探索等边三角形的轴对称性和内角性质的过程，掌握

这个性质，并会作出合理的说明。

3、掌握已知底边和底边上的高用尺规作等腰三角形的方法。

二、学习重点、难点

重点：等腰三角形与等边三角形的性质

难点：等腰三角形的性质的运用

三、学习过程

（-）情境导入

瓦工师傅盖房时，看房梁是否水平，有时就用一块等腰三

第-10-页共190页

角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好

经过三角板底边的中点，房梁就是水平的。为什么？你想

知道其中的奥秘吗？学了本节后你将恍然大悟。

（二）自主学习

自学课本P"—P|6"挑战自我”，解答下列问题：

1.我们知道等腰三角形是轴对称图形，它底边上的高线所

在的直线式它的对称轴，那么沿着对称轴将等腰三角形

对折，对称轴两旁的部分能重合，如下图，仔细观察，

2.等边三角形是轴对称图形吗？它有儿条对灰轴？等边

三角形是等腰三角形吗？它与等腰三角形相比有何特

别之处？

3.如图，NB=NC,AB=3.6cm,则AC=..

（三）合作探究

探究点一：等腰三角形的性质

例1等腰三角形中有一个角为80°.求另外两个角的度

数.

总结：

第-11-页共190页

探究点二：等边三角形的性质

例2试说明“等边三角形的每个内角都等于60°”

小组合作：用一张正方形的纸折出一个等边三角形.

探究点三：尺规作等腰三角形

例3已知一个等腰三角形的底边和腰，你能作出这个三

角形吗？如果一直底边和底边上的高呢？

（四）练习达标

1.等腰三角形的两边长分别是6cm、3cm,则该等腰三角

形的周长是（）

A.9cmB.12cm

C.12cm或15cmD.15cm

2.等腰三角形的一个角为30。，则它的底角为（）

A.30°B.75°

C.30°或75°D.15°

3如图，在AABC中，D、E是BC边上的两点，且

AD=BD=DE=AE=CE,求NB、/BAC的度数.

A

（五）课堂小结BDE

这一节你学会了什么？

（六）拓展提升

1.如图所示，ZB=ZC,AD平分NBAC交BC于D,AABC

的周长为36cm,△ADC的周长为30cm,那么AD的长

为cm.

BDC

2、如图，AABC为等边三角形，Z1=Z2=Z3,试说明

△DEF为等边三角形.

四.作业

§1.5成轴对称图形的性质导学案

（泰山版八年级上册）

一、学习目标

1、经历探索轴对称图形的性质的过程，理解连接对应点的线

被对称轴平分、对应线段相等、对应角相等的性质.

2、会画出与已知图形关于某条直线对称的图形.

二、学习重点、难点

重点：轴对称图形的性质

难点：利用轴对称图形的性质作对称图形

三、学习过程

（-）情景导入

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同学们，今年的10月1日是我们伟大的祖国60周岁的生日，

全国上下正洋溢在一片欢歌笑语的海洋里，都在为母亲的生日

积极地做准备，你做了什么准备呢？不如我们现在来叠五角星

吧。你还记得怎么叠吗？跟老师一起做……好了，五角星叠好

了.请同学们想一想，这种折纸叠正五角星的方法，其中隐含着

什么数学道理？

（二）自主学习

自学课本已一—P.例二，完成下列问题：

1.的直线，叫做这条线段的垂直平分线.

2.成轴对称的两个图形，在大小和形状方面有怎样的关

系？你是怎么知道的？

4.轴对称图形的对应线段、对应角有怎样的关系？

（三）合作探究

探究点一：成轴对称图形的性质

要求：明确成轴对称图形的对应点连线被对称轴垂直平分,

对应线段相等，对应角相等.

同桌合作解决课本PM列1.

探究点二：运用轴对称的性质作一个图形关于某条直线的

轴对称图形.

自学例二，然后小组交流纠错.

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利用10分钟的时间完成课本PlS练习和P19练习

（五）课堂小结

谈谈你的收获.

（六）拓展提升

1.课本P2O习题A组

2.将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形,

已知ZCED'=80°,则NAED的大小是（）

A40°B50°C60°D80°

3.如图是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个

小正方形，是补画后的图形为轴对称图形.

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四、作业

§1.6镜面对称导学案

（泰山版八年级上册）

一、学习目标

1、结合现实生活中的实例，了解镜面对称及其应用，欣赏镜面

对称图形；

2、思考并探索镜面对称下图形的变化.

二、学习重点、难点

重点：镜面对称及其应用

难点：镜面对称下图形的变化

三、学习过程

（一）情景导入

自远古以来，对称的形式被认为是和谐、美丽并且真实的.

不论在自然界里还是在建筑中，不论在艺术中还是在科学

中，甚至最普通的日常生活用品中，对称的形式都随处可见.

山倒影在湖中，这是多么令人难忘的对称景象.

学好对称，对我们认识图形来说是很重要.（此处建议老

师们适当准备一些相关的图片，以激发学生的学习兴趣。）

（二）自主学习

自学课本P2I——P22,解决下列问题：

1、物体与它在镜子里的像成镜面对称，它们的大小、形

状相同吗？

2、一次晚会上，主持人出了一道题目：“如何把式子

2+3=8变成一个真正的等式？"你能吗？

（三）合作探究

探究点：镜面对称的原理及判断方法

认真阅读课本的“小资料”、“实验与探究”，结合自己的

生活经历，同桌互助总结镜面对称的原理.

（四）练习达标

1、课本“挑战自我”.

2、P区练习与习题A组

（五）课堂小结

说说镜面对称的原理及判别方法

（六）拓展提升

1、课本P22习题B组

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2、宋代理学家邵康写有一首五言绝句：“一去二三里，烟

村四五家，楼台七八座，八九十枝花.”把这首诗写在一张

纸上，并将写字的一面平行对折镜面.在这首诗的所有字中

中，镜子中的像与原字一样的是

四、作业

§1.7简单的图案设计导学案

（泰山版八年级上册）

一、学习目标

1、欣赏生活中的轴对称图案，能分析它是由哪些简单儿何图形

组成的.

2、能利用简单几何图形设计轴对称图案，体验数学活动的乐趣,

培养学生的创新意识.

二、学习重点、难点

设计图案

三、学习过程

（-）情境导入

同学们都知道，我们潍坊是一个风筝之都。同学们你放过吗？

回想一下你玩的风筝的样子，在于其他同学交流一下，你会有更多的

发现。其实，这些美丽的风筝你都能设计出来，甚至有可能还要美。

怎么样，想不想自己做一个风筝？想，那就来好好的学习一下本节知

识吧。

（二）自主学习

看课本P25----------P26,依次解决相关问题.

（二）合作探究

利用轴对称进行简单的图案设计

（四）练习达标

课本p25-----------P班练习和习题.

（五）拓展提升

练习册5、6两题

（六）作业

第-17-页共190页

第一章综合检测

一、选择题（每题3',共30'）

1、下列图形中一定是轴对称的图形是（）。

A、梯形B、直角三角形C、角D、平行四边形

2、等腰三角形的一个内角是50°,则另外两个角的度数分别是

（）o

A、65°65°B、50°80°C、65°65°或50°80°D、50°50°

3、如果等腰三角形的两边长是6和3,那么它的周长是（）o

A、9B、12C、12或15D、15

4、到三角形的三个顶点距离相等的点是（

A、三条角平分线的交点B、三条中线的交点C、三条高的交点D、三

条边的垂直平分线的交点

5、等腰三角形的一个外角等于100°,则与它不相邻的两个内角的度

数分别为（）。

A、40°40°B、80°20°C、50°50°D、50°50°或80°200

6、ZA0B的平分线上一点P到OA的距离为5,Q是0B上任一点，则

（）o

A、PQ>5B、PQ25C、PQ<5D、PQW5

7、下列轴对称的图形中，对称轴最少的是（）o

A、等边三角形B、等腰梯形C、正方形D、圆

8、已知等腰AAOB的底边=8cm,且|AC-BC|=5cm,则腰AC的长为

（）。

A^13cm或3cmB、3cmC、13cmD、8cm或6cm

9、如图，在4ABC中，AB=AC,NA=36°,BD、CE分别是NABC、ZACB

的角平分线，且相交于点F,则图中的等腰三角形有（）0

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10、下列说法错误的是（）

A、等腰三角形底边上的高所在的直线是它的对称轴

B、等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴

C、等腰三角形顶角的平分线所在的直线是它的对称轴

D、等腰三角形定有三条对称轴

二、填空题（每题3',共30,）

1、Z\ABC中，DE垂直平分AC,与AC交于点E，与BC交于点D,NC=15,

NBAD=60,则4ABC是三角形。

2、ZAOB内部有一点P,分别作出点P关于OA、OB的对称点P2,

连接PR,分别交OA、0B、于点M、N,若PR=5cm,则△PMN的周长

为=

3、已知点P到X轴Y轴的距离分别是2和3,且点P关于X轴对称

的点在第四象限，则点P的坐标是。

4、等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为45°,则这个三角形

的底角为O

5、数轴上表示1和3的点分别为点A和点B,点B关于点A的对称

点为点C,则点C所表示的数是o

6、已知点P、Q关于直线x=l对称，点P的横坐标为-2,点Q的纵坐

标是-3,则点P的纵坐标为，点Q的横坐标是（）,

PQ=。

7、如图，已知，D是BC边上的一点，若AD=BD,AB=AC=CD,则N

BAC=.

D

8、如果4ABC和AA'B'C'关于直线1成轴对称，且NA=50°,Z

B'=70°，那么NC=o

9、AABC中，AD为角平分线，DE±AB于E,DF±AC于F,AB=10厘米,

AC=8厘米，ZiABC的面积为45平方厘米，则DE的长为。

10、AABC中，D为AB的中点，且CD=AD=BD,则NACB=。

三、解答题（每题10',共40'）

1、如下左图，在AABC中，BC边的垂直平分线交AC于点D,连接BD.

⑴如果CE=4,ABDC的周长为18,求BD的长。

⑵如果NADM=50°,ZABD=20°,求NA的度数。

第-19-页共190页

2、如上右图，4PAB中，MN是AB的垂直平分线，比较PA、PB。

H

3、如左上图，在aABC中，AB=AC,E在CA的延长线上，ZAEF=ZAFE,

AD是高，是说明EF与BC的位置关系，并说明理由。

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参考答案

1.1

巩固反馈答案：

1、略。2、田、山、串、王等3、②。4、第5、9、10个不是轴对称

图形。5、略。6、Bo

作业设计答案：

1、略。2、Co

1.2

达标反馈，当堂训练答案：

1、PA=PCo2、10o3、90°o

作业设计答案：2、PA=PC

1.3

达标反馈，当堂训练答案：

1、D(2,0)o2、AM=BM；NA=NB。3、15cm2o4、略。

1.4"自主学习|"第3题AC=3.6cm

“练习达标”LD2.C3.ZB=30°ZBAC=120°

“拓展提升"LAD=12cm2.提示：利用三角形的外角性质

1.5“拓展提升”2.B3.开放题，答案不唯一.

1.6“拓展提升”2.一，二，三，十

第一章综合检测答案部分

一、1、C2、C3、D4、A5、D6、B7、B8、C9、CIO、D

二、1、直角2、53、P(3,2)4、62、5°或22、5°5、-1

6、-3,2,47、108°8、60°9、510、90°

三、1、⑴、BD=5(2)80°2、PA>PB3、EF±BC4、EB=DE

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第二章乘法公式与因式分解

2.1平方差公式

【教学内容】：17.1平方差公式

【学习目标工

1.记住平方差公式并会进行运用。

2.能用几何拼图的方式验证平方差公式。

【学习重点和难点工

重点;平方差公式，平方差公式的儿何拼图验证及其应用。

难点：平方差公式的几何拼图验证及其应用

【教学方法工创设情境一自主探究一合作交流一拓展提高.

【教学准备】：多媒体课件+导学案

【导学流程工

一、创设问题情境，引入新课。

请同学们与我一起观看这幅图片，它是有一些美丽的长方形

花坛组成，如果每幅图案的长方形的长为(a+b)米，宽为(a-b)

米，它的面积为多少呢？

同学们会很快地回答为：(a+b)(a-b),那么如何计算呢？

这是初•我们学习的内容，多项式乘以多项式。为了更好

地巩固以前学过的内容，同学们拿出我们刚发的导学案，做一下

导学案上的题目。

【温故知新】请同学们用3分钟的时间独立完成下列问题。通过计算,

你能发现它们的规律吗？

(1)(x+1)(x-l)=

(2)(m+2)(m-2)=

(3)(2x+l)(2xT)=

根据大家作出的结果，你能猜想(a必)(a—力的结果是多

少吗？小组讨论交流，大胆猜测。

为了验证大家猜想的结果，我们再计算：

第-22-页共190页

Qa+b)(a—6)-a2—ab+ab—Z>2=a2—Z?2.

得出平方差公式

(a+b)(a-力)=a~lf.

即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差.

引出本节课的学习内容2.1平方差公式

明确本节的学习目标。

二、自主学习一：

自学任务：

1、学生自学课本34页。

2、通过自学，能通过所计算的式子总结规律，推导公式，进而找出

公式的结构特点。

3、能够通过图形验证公式。

在学习过程中，学生互相之间探索交流，教师精讲点拨。

平方差公式：(a+b)(a—b)=a2—b2

两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。

平方差公式结构特征：(引导学生探索归纳，大胆发言)

教师归纳概括：

①左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一

项互为相反数。

②右边是乘式中两项的平方差。即相同的平方与相反项的平方的差。

为了更好地证明该定理的正确性，设计用动画的形式直观地说明

平方差公式的正确性。(见多媒体课件)

第-23-页共190页

你能根据下图中的面积说明平方差公式吗?

学生观察图形，计算阴影部分的面积.经过思考可以发现：

左边图形的面积:(a+8)(a—b).

右边旋转以后的图形的面积为：(才一^).

这两部分面积应该是相等的，即(出6)(a—b)="6.

教师活动：

引导学生细心观察，自主探索，发现规律，进行归纳，初步感受

平方差公式.

在本活动中教师主要关注：

(1)学生能否自己主动参与探索过程；

(2)学生在交流中所投入的情感和态度.

学生活动：

为了让学生进一步理解该公式，能更好地运用该公式，我又设计

了下面的练习。(见多媒体课件)

第-24-页共190页

会填会选我最棒:

1.参照平方差公式“(a+b)(a—力)=才一次”填空

(1)(t+s)(t-s)=(2)(3m+2n)(3m-2n)=

(3)(1+n)(l-n)=(4)(10+5)(10-5)=

2、判断下列式子是否可用平方差公式。

(1)(-a+b)(a+b)(2)(-2a+b)(-2a-b)

(3)(-a+b)(a-b)(4)(a+b)(a-c)

三、自主学习二:

请同学们用5分钟的时间看课本35页的例1和例2.要求如下:

(1)记住利用平方差公式进行计算的方法和步骤。

(2)理解只有符合公式要求的乘法才能运用公式简化运算。其

余的运算仍按乘法法则计算。

(3)看完后，用8分钟的时间独立完成导学案上的1和2两题。

L下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是()

A.(A+1)(1+X)；B.(2x-5)(2x+5)

C.(—a+8)(a—b)；D.(*—y)(矛+〃)；

2.运用平方差公式进行计算:

(1)(3x+4)(3x-4)

(2)(3a+2b)(2b-3a)

(3)(-4x-3y)(-4x+3y)

(4)51X49

(5)(a+1)(4a-l)-(2a+l)(2a-l)

学生活动：

【合作交流】：先小组内交流，由组长公布解题步骤和答案，小组内

解决不了的问题由组长提交班内交流，如再有疑问由老

师点拨精讲。

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【归纳总结】：由学生总结本节学习内容，并归纳出知识要点。以便于

同学在做题时能正确运用平方差公式.

四、知识应用

【题组训练工(学生用8分钟时间独立完成下列题目)：

1.下面各式的计算对不对，如果不对，应当怎样改正？

(1)(x+2)(x-2)=x2-2()

(2)(-3a-2)(3a-2)=9a-4()

2.运用平方差公式进行计算：

(1)(a+3b)(a-3b)

(2)(3+2a)(-3+2a)

(3)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)

(4)58X62

(5)(m+3)(m-3)(m2+9)

五、归纳总结：

通过本节课的学习我有哪些收获？由学生总结解题步骤，不全

面的老师点拨。进一步加深对平方差公式的记忆和理解。

【达标测评】：学生用5分钟独立完成，然后同位互改试卷。

运用平方差公式计算下列公式：

1.(2x-3y)(2x+3y)

2.(~2m_5)(2m-5)

3.105X95

4.(ab+1)(ab-1)

六、应用提高、拓展创新：

【拓展提高】：运用平方差公式计算：

(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)

七、布置作业：

1、课本35页练习1题。

2、课本36页习题A组。

3、课本36页习题B组。(选作)

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2.2完全平方公式（一）

【学习目标】

1、记住完全平方公式并会灵活应用。

2、能用儿何拼图的形式验证完全平方公式。

【学习重点］

完全东方公式的灵活应用。

【学习难点】

理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算.

【学习准备】

多媒体课件

【教学方法】

创设情境一自主探究一合作交流一拓展提高

【导学流程】

一、提出问题，创设情境

［师］请同学们探究下列问题：

一位老人非常喜欢孩子.每当有孩子到他家做客时，老人都要拿

出糖果招待他们.来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩

子，老人就给每个孩子两块塘，…

（1）第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多

少块糖？

（2）第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多

少块糖？

（3）第三天这（a+b）个孩子一起去看老人，老人一共给了这些

孩子多少块糖？

（4）这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总

数哪个多？多多少？为什么？

学生互相讨论交流。

［生］（1）第一天老人一共给了这些孩子£糖.

（2）第二天老人一共给了这些孩子b?糖.

（3）第三天老人一共给了这些孩子（a+b）2糖.

（4）孩子们第三天得到的糖块总数与前两天他们得到的糖块总

数比较，应用减法.即：

（a+b）（a2+b2）

我们上一节学了平方差公式即（a+b）（a-b）=a2-b2,现在遇到了

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两个数的和的平方，这正是我们这节课要研究的问题。

明确本节的学习目标。

计算下列各式，你能发现什么规律？

(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=_______;

(2)(m+2)2=_______；

(3)(p-1)2=(p-1)(p-1)=_

(4)(m-2)2=；

(5)(a+b)J；

(6)(a-b)2-

学生独立尝试，大胆猜测。

二、独立探究，探索交流

自学任务：

1、自学课本36页。

2、通过自学，掌握完全平方公式的推导过程、结构特点。

3、会用儿何图形解释完全平方公式。

学生自学，自学过程中小组之间互相交流。6分钟后检查自学效果。

自学检测：

1、完全平方公式文字叙述：

两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们

的积的2倍.

符号叙述：（a+b）:a'+Zab+b'（a_b）?=a2-2ab+b'

2、从几何角度去解释完全平方差公式.

你能根据图（1）和图（2）中的面积说明完全方方公式吗？

____________________DH

ITHr

图（1）图（2）

小组讨论交流，积极发言。

三、精讲点拨，提高升华

请同学们总结完全平方公式的结构特征。

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公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项

是左边二项式中每一项的平方.而另一项是左边二项式中两项乘积的

2倍。

我们还要正确理解公式中字母的广泛含义：它可以是数字、字母

或其他代数式，只要符合公式的结构特征，就可以运用这一公式。

四、达标检测：

1、下列式子符合完全平方公式形式的是()

A、a-+ab+b~B、a'+2a+2C^a'_2b+b"D、a~+2a+l

五、自主学习二：

1、自学课本37页、38页。

2、通过自学，会灵活应用完全平方公式进行计算。

达标检测：：

1、判断下列各式是否正确，如果错误并加以改正：

(1)(2a-l)2=2a2-2^1;

(2)(2a+l)2=4a2+1；

(3)(-a-l)2=-a-2a-l.

2、应用完全平方公式计算：

(1)(4m+n)2(2)(y-—)~

2

(3)(-a-b)2(4)(b-a)2

3、运用完全平方公式计算：

(1)1022(2)992

六、课堂总结：

你学会了什么？完全平方公式与平方差公式有什么区别？讨

论交流。

完全平方公式和平方差公式不同：

1、形式不同

2、结果不同：

完全平方公式的结果是三项，

即(a±b)2=a'±2ab+b';

平方差公式的结果是两项，

即(a+b)(a-b)=a'-b".

七、拓展应用：

1、计算(Za+b+c)?

2、要使x?+6x+a成为形如成-b),的完全平方公式,求a,b.

八、作业：

1、课本38页练习1、2、3题。

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2、习题40页A组。

3、习题40页B组3、4题。（选作）

2.2乘法公式复习课

【学习目标】

1、熟记平方差公式和完全平方公式。

2、综合应用平方差公式和完全平方公式进行多项式的运算。

【重点】乘法公式的综合应用

【难点】乘法公式的综合应用

【学习准备】多媒体课件

【学习方法】自主探究学习法

【导学流程】

一、创设情境，复习引入

回顾与思考：

1、平方差公式及结构特征，应用平方差公式应注意什么问题？

2、完全平方公式及结构特征，在什么情况下可以应用？

3、练一练：

(1)(a+2)(a-2)

⑵(gx+2)，)2

(3)(一；x+2y)(一；x-2y)

(4)(w+l)2-〃2

(5)(2m-5n)2

(6)(x+4y-6z)(x-4y+6z)

3

(7)(2m-3n)(m+—n)

(8)(-2p-3q)2

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本节课继续乘法公式的学习，引出课题，明确本节的学习目标。

二、学生自学：

自学任务：

1、自学课本38页。

2、通过自学明确平方差公式和完全平方公式的选择应用及综合应

用。

自学检测：

1、想一想：(a+b+c)'

2、想一想：(a+b+c)(a+b-c)=

根据自学情况，互相讨论交流，大胆尝试。

三、展示反馈：

展示经过学生探索交流后的结果，不同小组的学生分别展示。

(a+b+c)J[(a+b)+c]2=(a+b):!+c2+2(a+b)c=a2+b2+2ab+c2+2ac+2bc

(a+b+c)(a+b-c)=[(a+b)+c][(a+b)-c]=(a+b)2-c2=a2+b2+2ab-c2

四、精讲点拨：

1、平方差公式的结构特点：左边是两个二项式的积，两个二项式中，

一项相同，另一项互为相反数；右边是两个因式中相同项的平方减去

互为相反数的项的平方。

2、完全平方公式的结构特点：左边是两数和或差的平方，右边是两

个数的平方和加上(或减去)这两数乘积的2倍。

3.运用公式计算时;先将要计算的代数式写成公式的原始形式，然后

再一步步计算.

4.解题时，要认真分析题目的结构特点，合理安排运算顺序，灵活运

用公式，可使解题时快速、简洁。

五、达标测评：

1、下列等式是否成立？说明理由.

(1)(-4a+l)2=(l-4a)2；

(2)(-4a-l)2=(4a+l)2；

(3)(4a-1)(l-4a)=(4a-l)(4a-l)-(4a-l)'；

(4)(4a-l)(-l-4a)=(4a-1)(4a+l).

2、指出下列各式中的错误，并加以改正：

(1)(2a-l)2=2a-2a+l;

(2)(2a+l)2=4/+1；

(3)(~a-iy=-a-2a-l.

3、计算：

(1)98X102

(2)2004-2003X2005

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(3)若x2-y2=12,x+y=6,求x,y的值。

六、课堂小结：引导学生对本节知识进行总结。

七、拓展提高：

1、回答下列问题：

(1)a'+b?加上什么式子可以得到(a+b)??

(2)a'b?加上什么式子可以得到(a-b)出

(3)a'+ab+b?力口上什么式子可以得至ij(a-b)2?

2、已知(a+b)J.(a-b)2=25,求a'+b'ab的值.

八、布置作业：

1、课本40页练习1、2题。

2、课本40页习题B组1、2题。(选作)

2.3用提公因式法进行因式分解

【学习目标】

1、掌握因式分解、公因式的定义，能够透彻理解。

2、会用提公因式法分解因式。

3、在探索提公因式法分解因式的过程中学会逆向思维，渗透化

归的思想方法.

［学习重点］

会用漏公因式法分解因式

【学习难点】

如何确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式

【教学准备】

多媒体课件

【学习方法】自主探究学习法

【导学流程】

一、提出问题，创设情境

［师］请同学们完成下列计算，看谁算得又准又快。

(1)20X(-3)2+60X(-3)

(2)101-992

(3)572+2X57X43+432

(学生在运算与交流中积累解题经验，复习乘法公式)

［师］在上述运算中，大家或将数字分解成两个数的乘积，或者

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逆用乘法公式使运算变得简单易行，类似地，在式的变形中，有时

也需要将一个多项式写成几个整式的乘积形式，这就是我们从今天

开始要探究的内容——因式分解。引入新课，同时明确本节的学习

目标。

二、自主学习：

自学任务：

1、学生自学课本41页。

2、通过自学，明确因式分解的定义，公因式的定义。

学生自学，分析讨论，探究新知.

把下列多项式写成整式的乘积的形式

(1)x2+x=________

(2)x2-l=________

(3)am+bm+cm=

［生］根据整式乘法和逆向思维原理，可以做如下计算：

(1)x2+x=x(x+1)

(2)x2-l=(x+1)(x-1)

(3)am+bm+cm=m(a+b+c)

三、精讲点拨：

教师精讲点拨因式分解的定义。

像这种把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个

多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式.

可以看出因式分解是整式乘法的相反方向的变形，所以需要逆向

思维.

再观察上面的第(1)题和第(3)题，你能发现什么特点.

［生］我发现(1)中各项都有一个公共的因式x,(2)中各项都有

一个公共因式m,是不是可以叫这些公共因式为各自多项式的公因式

呢？

［师］你分析得合情合理.

因为ma+mb+mc=m(a+b+c).

于是就把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式

是各项的公因式m,另一个因式a+b+c是ma+mb+mc除以m所得的商，

像这种分解因式的方法叫做提公因式法.

四、应用检测：

1、把8a3b2-12ab%分解因式.

2、把2a(b+c)-3(b+c)分解因式.

3、把3x3-6xy+x分解因式.

4、把-4a*16^-18a分解因式.

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5、把6(x-2)+x(2-x)分解因式.

(让学生利用提公因式法的定义尝试独立完成，然后与同伴交流

解题心得，教师深入到学生中去发现问题，并对有困难的学生进行

适时的引导和启发，最后师生共同评析、总结)

1、解：8a3b2+12ab2c=4ab2•2a2+4ab2,3bc=4ab:(2a'+3bc).

总结：提取公因式后，要满足另一个因式不再有公因式才行.可

以概括为一句话：括号里面分到“底”，这里的底是不能再分解为止.

2、解：2a(b+c)-3(b+c)=(b+c)(2a-3).

总结：公因式可以是单项式，也可以是多项式，是多项式时应整体考

虑直接提出.

3、解：3x2-6xy+x=x,3x-x•6y+x,l=x(3x-6y+l).

总结：1作为项的系数，通常可以省略，但如果单独成一项时,

它在因式分解时不能漏掉，可以概括为：某项提出莫漏1.

4、解：-4a3+16a-18a

=-(4a-16a+18a)

=-2a(2a__8a+9)

注意：如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“一”号,

使括号内的第一项的系数是正的.在提出“一”号时，多项式的各项

都要变号.可以用一句话概括：首项有负常提负.

5、解:6(x-2)+x(2-x)

=6(x-2)-x(x-2)

=(x-2)(6-x).

总结：有时多项式的各项从表面上看没有公因式，但将其中一些

项变形后，但可以发现公因式，然后再提取公因式.

五、课堂小结：

今天我们学习了提公因式法分解因式.同学们在理解的基础上，

可以用四句顺口溜来总结记忆用提公因式法分解因式的技巧.

各项有“公”先提“公”，

首项有负常提负.

某项提出莫漏1.

括号里面分到“底”.引导学生归纳。

六、拓展提高：

320°-4x3“+10x3国是7的倍数吗？为什么?

七、布置作业：

1、课本42页练习。

2、课本42页习题A组1、2、3题。(3题选作)

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2.4用公式法进行因式分解（一）

【学习目标】

1.能说出平方差公式的特点。

2.能较熟练地应用平方差公式分解因式。

【重点】

应用平方差公式分解因式。

【难点】

灵活应用公式和提公因式法分解因式，并理解因式分解的要求.

【教学准备】多媒体课件

【教学方法】自主探究学习法

【导学流程】

-、提出问题，创设情境

出示投影片，让学生思考下列问题.

问题1：你能叙述多项式因式分解的定义吗？

问题2：运用提公因式法分解因式的步骤是什么？

问题3：你能将a2-b?分解因式吗？你是如何思考的？

二、学生自学，尝试探究

自学任务：

1、自学课本43页和44页的例1.

2、通过自学，掌握因式分解的平方差公式的结构特点。

3、会应用平方差公式进行多项式的因式分解。

结合提出的问题，学生自学。教师进行适当的点拨指导。

说明：

1.多项式的因式分解其实是整式乘法的逆用，也就是把一个多

项式化成了儿个整式的积的形式.

2.提公因式法的第一步是观察多项式各项是否有公因式，如果

没有公因式，就不能使用提公因式法对该多项式进行因式分解.

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3.对不能使用提公因式法分解因式的多项式，不能说不能进行

因式分解.

4、要将a?-b2进行因式分解，可以发现它没有公因式，不能用

提公因式法分解因式，但我们还可以发现这个多项式是两个数的平方

差形式，所以用平方差公式可以写成如下形式：

a'-b2=(a+b)(a-b).

多项式的乘法公式的逆向应用，就是多项式的因式分解公式，如

果被分解的多项式符合公式的条件，就可以直接写出因式分解的结

果，这种分解因式的方法称为运用公式法。今天我们就来学习利用平

方差公式分解因式，明确本节的学习目标。

自学检测，展示反馈：

1、观察平方差公式：a?-b2=(a+b)(a-b)的项、指数、符号有什么

特点？

(让学生分析、讨论、总结，最后得出下列结论)

2、填空：

(1)4a2=()之；

(2)-b2=()2；

9

(3)0.16a=()2；

(4)1.21肃=()2；

(5)2-x"=()2；

4

(6)5-x'y-()上

9

［做以上填空题的作用在于训练学生迅速地把一个单项式写成平

方的形式.也可以对积的乘方、界的乘方运算法则给予一定时间的

复习，避免出现4a2=(4a)2这一类错误］

3、分解因式

(1)4x2-9(2)(x+p)2-(x+q)

三、教师精讲，达标检测

因式分解的平方差公式的结构特点：

(1)左边是二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反.

(2)右边是两个多项式的积，一个因式是两数的和，另一个因式

是这两数的差.

在乘法公式中，“平方差”是计算结果，而在分解因式，“平方

差”是得分解因式的多项式.

由此可知如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写

第-36-页共190页

成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式.

达标检测：

1、把下列各式分解因式

(1)36(x+y)2-49(x-y)2

(2)(x-l)+b2(l-x)

(3)(x2+x+l)2-1

(4)_(X+»

44

2、分解因式

(1)x4-y4(2)a3b-ab

解：⑴x4-y4

=(x2+y2)(x2-y2)

=(x2+y2)(x+y)(x-y).X

(2)a3b-ab=ab(a'-l)=ab(a+1)(a-1).

学生解题中可能发生如下错误：

(1)系数变形时计算错误；

(2)结果不化简；

(3)化简时去括号发生符号错误.

最后教师归纳：

(1)多项式分解因式的结果要化简：

(2)在化简过程中要正确应用去括号法则，并注意合并同类项。

四、课堂小结：

引导学生总结本节的学习内容，强调注意的问题。

1.如果多项式各项含有公因式，则第一步是提出这个公因式。

2.如果多项式各项没有公因式，则第一步考虑用公式分解因式。

3.第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需

要进一步分解因式，直到每个多项式因式都不能分解为止。

五、拓展提高：

给