山西省太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第13章-根轴

第13章根轴定义从一点作一圆周的任一割线，从点起到和圆周相交为止的两线段之积，称为点对于这个圆周的幂①沈文君.根轴的性质及应用[J].中等数学，2004〔1〕：610.．①沈文君.根轴的性质及应用[J].中等数学，2004〔1〕：610.由相交弦定理及割线定理，知点的幂是定值．假设点在圆内，那么点的幂等于以该点为中点的弦半弦长的平方；假设点在圆外，那么点的幂等于从该点所引圆周的切线长的平方；假设点在圆周上，那么点的幂等于0．由定义，关于圆周的幂有以下结论．结论1点对于以为圆心、以为半径的圆周的幂，等于及半径的关系式．结论2对于两圆有等幂的点的轨迹，是一条过连心线上一定点且垂直连心线的直线．事实上，设点到圆和圆的幂相等，圆，圆的半径分别为，〔〕，那么，即如图13-1，设的中点为，于点，那么易得所以，过定点的垂线即是两圆等幂点的轨迹．这条直线称为两圆的根轴或等幂轴．特别地，假设两圆同心，那么．从而，同心圆的根轴不存在；假设，圆变成一点，那么点对于圆的幂是．此时，直线〔轨迹〕称为一圆与一定点的根轴．根轴有下面的性质．性质1假设两圆相交，其根轴就是公共弦所在的直线．性质2假设两圆相切，其根轴就是过两圆切点的公切线．性质3三个圆，其两两的根轴或相交于一点，或互相平行．事实上，假设三条根轴中有两条相交，那么这一交点对于三个圆的幂均相等，所以必在第三条根轴上，这一点，称为三个圆的根心．显然，当三个圆的圆心的一条直线上时，三条根轴互相平行．当三个圆的圆心不共线时，根心存在．性质4假设两圆相离，那么两圆相离，那么两圆的四套公切线的中点在根轴上．性质5一点对于不同心两圆、的幂为，，是这两圆的等幂轴，于，那么．即一点对于不同心两圆的幂之差等于等幂轴到该点的距离乘以圆心距之积的2倍．证明设于，作于，便得推论假设两圆不同心，那么其中一个圆的任何点对于另一圆的幂的绝对值，必等于该点到等幂轴的距离乘以圆心距之积的2倍．即假设点在上，那么，此时．下面给出运用上述性质解题的例子．例1〔IMO50预选题〕的内切圆分别与边，切于点，，与交于点，点，满足四边形和四边形式平行四边形．证明：．证明如图13-3，设的内切圆和内的旁切圆分别为圆和圆，圆和圆与边分别切于点，，圆与直线，分别切于点，．由，得，．因此，对于点，，它们到点的距离等于它们向圆所引的切线段的长．从而，是点圆和圆的根轴．同理，是点圆和圆的根轴．于是，与的交点为圆，圆，圆的根心．所以．例2〔2007年第45届越南数学奥林匹克题〕下底边为〔即，且〕的梯形内接于．是在直线上移动的点，且使得不与相切．以为直径的圆交于点，记与交于点，是与的交点〔〕．求证：直线通过一定点．证明如图13-4，记关于的对称点为．下面证明：、、三点共线，也就是直线通过定点．记以为直径的圆为，以为直径的圆为，注意到，那么直线、分别为与，的根轴．记以为直径的圆为，以为直径的圆为，注意到，那么之心啊、分别为与，的根轴．记与直线交于点，由，知，而，于是，知点在圆上，从而，直线是、的根轴．由根心定理，知三个圆、、的根轴、、交于点．因此，、、三点共线．例3〔2023年美国数学奥林匹克题〕如图13-5，设圆和交与点、．过的圆心的直线交圆于点、，过的圆心的直线交于点、．证明：假设、、、四点共圆，那么该圆的圆心在直线上．证明设、分别为圆、的圆心，联结，过作的垂线，过作的垂线，设与交于点．记过、、、的圆为，那么为的圆心．注意到、、分别为圆与，圆与，圆与的根轴．于是，直线、、共点，设为〔当、、两两平行时，视为无穷远点〕．由知．同理，．于是，知为的垂心〔当为无穷远点时，在所在直线上〕．因此，．又为上一点，而．故在直线上．例4〔2006年第19届韩国数学奥林匹克题〕在中，，的内切圆与，，的切点分别为，，．记与的不同于点的交点为，过点作的垂线交于点，，分别是与直线，的交点．求证：是线段的中点．证明如图13-6．记过点且平行于的直线与过点且垂直的直线交点为，直线与的交点为，直线与的交点为．由，知，，，共线．由，知．又，知，，，，五点共圆．记此圆为．由，知，，，四点共圆，记此圆为．由根轴性质3，知，圆，圆两两相交的根轴，，交于点，而之间与相交于，从而与重合．于是，由，有，即知．由，有，即知．注意懂啊，故，即是线段的中点．例5〔2007年第45届越南数学奥林匹克题〕下底边为〔即，且〕的题型内接于．是在直线上移动的点，且使得不与相似．以为直径的圆交于点，记与交于点，是与的交点〔〕．求证：直线通过一定点．证明如图13-7，记关于对称的点为．下面证明：、、三点共线，也就是直线通过顶点．注意到直线是和以为直径的圆〔记为圆〕的根轴，由于，因此直线是和以为直径的圆〔记为圆〕的根轴．记与直线交于点，由，得，而，于是，知点在圆上，从而，直线是圆和的根轴．由根轴定理，知三个圆，，的根轴，，交于根心．因此，、、三点共线．例6〔2023土耳其国家队选拔赛题〕以为圆心，为半径的圆为四边形的内切圆．设，分别为与、与的交点，为对角线与的交点．证明：，其中为点到直线的距离．证明如图13-8，设，，，分别为四边形与内切圆相切的切点，且分别在边，，，上．过作于，那么在上．一方面，由牛顿定理，知与的交点和对角线与的交点重合，即与的交点为．另一方面，，，，和，，，分别四点共圆，为这两个圆的另一交点，因此，直线，，分别为这两个圆和四边形内切圆的根轴，从而由根轴定理，为其根心．故．例7〔2003年第29解俄罗斯数学奥林匹克题〕如图13-9，在锐角的边和上各取一点和，四边形的两条对角线相于点．和的垂心分别为，．证明：如果直线经过和的外接圆的交点，那么它必定经过和的外接圆的交点．证明分别以对角、为直径作圆和圆．设，，、分别是和的高，其中，在圆上，点、在圆上．于是，、、、四点共圆．从而，即点位于圆和圆的根轴上．同理，点也位于圆和圆的根轴上．于是，该根轴就是直线取对角线、的中点分别为、，那么、分别为圆、圆的圆心．根据题设，点位于圆和圆的根轴上，所以．〔*〕注意到同弧上的圆周角相等，有，．所以，．因此，〔*〕式中的平方差或者等于0，或者是它们的相似比的平方．假设该平行差为，有，于是，这与为锐角三角形矛盾．故该平方差相似比的平方，又由有．从而有，故，于是，知．同样，由，，有，亦有．而，那么，即关于圆和圆的幂相等．故点在圆和圆的根轴上．练习十三1．从半圆上的一点向直径引垂线，设垂足为，作圆分别切、、于点，，．求证：．2．〔1992年中国台北数学奥林匹克〕设是的内心，过作的垂线分别交边，于点，．求证：分别与、相切于、的圆必与的外接圆圆相切．3．〔1972年全苏数学奥林匹克竞赛试题〕凸四边形的两条对角线交于点，和的垂心分别为和，和的重心分别为和．证明：．4．在凸五边形中，，，为形内一点，使得，．证明：．5．〔第30届俄罗斯数学奥林匹克竞赛试题〕设锐角的外心为，的外心为，点边的中点，在边，上分别取点，，使得．证明：．6．〔1995年第36届IMO试题〕设，，，是一条直线上依次排列的四个不同的点，分别以，为直径的圆交于和，直线交于．假设为直线上异于的一点，直线与以为直径的圆交于及，直线与以Wie直径的圆交于及．试证：，和共点．7．〔1998年第35届IMO预选题〕一圆圆切于两条平行线和；第二个圆圆切于，外切圆于；第三个圆圆切于，外切圆于，外切圆于，交于，求证：是的外心．8．〔2004~2005年第22届伊朗数学奥林匹克题〕的外接圆的圆心为，是边的中点，与外接圆交于点，，点在上，过点的外接圆的切线与相交于点．用同样的方式，可以构造点和，证明：，，三点共线．9．〔2006年第9届香港数学奥林匹克题〕凸四边形的外接圆的圆心为，，与交于点，假设为四边形内部一点，使得．求证：，，三点共线．10．〔2005年第31届俄罗斯数学奥林匹克11年级题〕非等腰锐角，，是它的两条高，又线段与平行于的中位线相交于点，证明：经过的外心和垂心的直线与直线垂直．11．〔2023年国家队集训测试题〕设，分别为的边，上点，是内一点，使得，且