必修三三角函数7.3三角函数的性质与图像7.3.1正弦函数的性质与图像全省一等奖

《正弦函数的性质与图像》课件---11--1在函数的图象上，起关键作用的点有：最高点：最低点：与x轴的交点：

在精度要求不高的情况下，我们可以利用这5个点画出函数的简图，一般把这种画图方法叫“五点法”。知识回顾:x6yo--12345-2-3-41

定义域

值域[－1,1]

二、正弦函数的性质观察正弦曲线，得出正弦函数的性质：R时，取最小值－1；时，取最大值1；构建问题、探索解决正弦函数的图像和性质xy1-1

正弦函数的单调性在闭区间

上,是增函数；在闭区间

上，是减函数.

正弦函数的对称性探究：

物理中的简谐运动（弹簧振子）位移和时间的函数关系的图象是怎样的呢？刚才我们看到的图象实际上是函数y=Asin(ωx+φ)的图象简谐振动的图象

函数y＝Asin(ωx＋φ)，其中(A>0,ω>0)表示一个振动量时，

A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅；

往复一次所需的时间，称为这个振动的周期；

单位时间内往复振动的次数，称为振动的频率；

称为相位；x=0时的相位φ称为初相。

1、函数y=Asin(ωx+φ)的图象有什么特征？

2、A,ω,φ对图象又有什么影响?3、如何作出它的图象？

4、它的图象与y＝sinx的图象又有什么关系呢？探究：2sinxsinxx提问:观察讨论上述三个函数图象及所列的表格,什么发生了变化?它又是怎样变化的?与系数A有什么关系?什么没有变?解：列表例1画出函数y=2sinx，x∈R，y=sinx，x∈R的简图上述变换可简记为:y＝sinx的图象y＝2sinx的图象各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)注：A引起图象的纵向伸缩，它决定函数的最大（最小）值,我们把A叫做振幅。各点的纵坐标缩短到原来的1/2倍(横坐标不变)y＝sinx的图象y＝sinx的图象

一般地，函数y=Asinx，x∈R(其中A＞0且A≠1）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）而得到。函数y=Asinx，x∈R的值域是[－A，A]，最大值是A，最小值是－A。结论：[－|A|，|A|]基本练习一升级例2画出函数Y=Sin(X+),X∈RY=Sin(X-),X∈R的简图。00-101-π/35π/37π/62π/3π/602π3π/2ππ/2Sin(X+)Xx+00-101π/49π/47π/45π/43π/402π3π/2ππ/2Sin(X-)Xx-YOX-11提问:观察讨论上述三个函数图象及所列的表格,什么发生了变化?它又是怎样变化的?与有什么关系?什么没有变?所有的点向左(

>0)或向右(

<0)平移|

|

个单位函数y=sin(x+

)(

0)的图象可以看作是把y=sinx的图象上所有的点向左(当

>0时)或向右(当

<0时)平行移动|

|个单位而得到的.y=sinxy=sin(x+

)注:

引起图象的左右平移,它改变图象的位置,不改变图象的形状.

叫做初相.

基本练习二升级例3画出函数y=sin2x，x∈R，y=sin

x，x∈R的简图21p2p2p23p04p2p43pp0x21sinxx100-10p2p2p23p0x21100-10p2p3p4p01）列表：2）描点、连线：xy21sin=xysin=1-1y=sin2x结论:函数y=sinωx(其中ω>0)的图象,可看作把y=sinx图象上所有点的横坐标伸长

(当0<ω<1)或缩短(当ω>1)到原来的1/ω

倍(纵坐标不变)而得到.注:①ω决定函数的周期T=2π/ω,它引起横向伸缩(可简记为:小伸大缩).

上述变换可简记为:Y=sinx的图象y=sin2x的图象各点的横坐标缩短到原来的1/2倍Y=sinx的图象y=sinx的图象各点的横坐标伸长到原来的2倍12(纵坐标不变)(纵坐标不变)y=sinx，x∈Ry=sinω

x，x∈R或缩短横坐标伸长w10)(倍ww11)(><<纵坐标不变基本练习升级y=2sinx

y=sinx

y=sinxy0xπ2π12-1-2y0xπ2π3π4π1-1y=sin2x

y=sinx

y=sinxy0xπ2π1-1y=sin（x＋

）y=sin（x－）y=sinx

ωA

解：1、列五点表

第一步第一步第三步第二步2、描点作图y0xπ1-1重点、函数y=sinωx与

y=sin(ωx+φ)图象的关系yxO

11y=sin2x

函数y=sin2x的图象

函数y=sin(

x+)(

>0且

≠1)的图象可以看作是把y=sin

x

的图象向左(当>0时)或向右(当﹤0时)平移个单位而得到的。结论提示：由于我们研究的函数仅限于

>0的情况，所以只需要判断的正负即可判断平移方向基本练习二函数y=sin（x+φ）与

y=sin(ωx+φ)图象的关系x100-10

函数

的图象-11000xy=sin（x+φ）y=sin(ωx+φ)规律总结，背过规律总结，背过（3）横坐标不变纵坐标伸长到原来的3倍y=3sin(2x+)的图象y=sin(2x+)的图象（1）横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变（2）向左平移

函数y=sinxy=sin2x的图象方法1：例4、如何由变换得的图象？典例解析1-１2-2oxy3-32

y=sin(2x+

)

y=sinx

y=sin2x

y=3sin(2x+

)

方法1：函数y=sinxy=sin(x+)的图象（3）横坐标不变纵坐标伸长到原来的3倍y=3sin(2x+)的图象y=sin(2x+)的图象（1）向左平移纵坐标不变（2）横坐标缩短到原来的倍方法2：1-１2-2oxy3-32

y=sin(2x+

)

y=3sin(2x+

)

方法2：y=sin(x+

)

y=sinx

函数y=Asin(wx+φ)的图象方法2.gsp所有点的横坐标

伸长为原来的2倍

所有的点向右平移多少个单位？所有点的纵坐标

伸长为原来的2倍

所有的点向右平移多少个单位？

所有点的纵坐标

伸长为原来的多少倍？所有点的横坐标

伸长为原来的多少倍？途径一:途径二:y=sinxy=sin(x+

)横坐标缩短>1(伸长0<<1)到原来的1/

倍y=sin(

x+

)纵坐标伸长A>1(缩短0<A<1)到原来的A倍y=Asin(

x+

)y=sinxy=Asin(

x+

)总结:向左>0(向右<0)方法1:(按顺序变换)平移|

|个单位纵坐标不变横坐标不变y=sinx横坐标缩短>1(伸长0<<1)到原来的1/

倍y=sin

x纵坐标伸长A>1(缩短0<A<1)到原来的A倍y=Asin(

x+

)y=sinxy=Asin(

x+

)总结:纵坐标不变横坐标不变方法2:(按顺序变换)向左>0(向右<0)平移|

|/

个单位向左或向右平移个单位纵坐标不变，横坐标变为原来的倍纵坐标不变，横坐标变为原来的倍向左或向右平移个单位练习：1．为了得到函数的图象，只需把正弦曲线上的所有的点的（）A．横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变．B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变．C．纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变．D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变．A2．为了得到函数的图象，只需把正弦曲线上的所有的点的（）A．横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变．B．横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变．C．纵坐标伸长到原来的4倍,横坐标不变．D．纵坐标缩短到原来的倍,横坐标不变．D3、要得到函数的图象，只需将函数的图象

()A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位DCBD7、将函数y=f(x)图象上每个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x轴向左平移个单位，得到曲线y=sinx的图象相同，则y=f(x)的函数表达式为D正弦型函数的性质与图像正弦型函数的性质正弦型函数的性质与图像正弦型函数的性质规律总结，背过R[-1，1]2π奇函数原点对称6）、在处达到__________，在处达到

______________(k∈z)1）、定义域是________；2）、值域是_________；3）、最小正周期是_________；4）、在（-∞，+∞）上是__________，图象关于____________；5）、在上是_________，在上是__________；增函数减函数最大值1最小值-1整体思想正弦函数f(x)=sinx的主要性质：1、定义域：由ωx+

∈R，有x∈R，所以定义域为R2、值域：由y=sinx∈[-1，1]，即-1≤sin(ωx+

)≤1故-A≤Asin(ωx+

)≤A所以y=Asin(ωx+

)∈[-A，A]值域为

[-A+b，A+b]又A＞0

有y=sin(ωx+

)∈[-1，1]对于y=sinx有x∈R考试重点

y=-Asin(ωx+

)∈[-A，A]y=sinx取最大值1；y=sinx取最小值-1；最值问题练习：求下列函数的最大值、最小值、周期单调区间在闭区间

上,是增函数；在闭区间

上，是减函数.+增放增，减放减单调区间在闭区间

上,是增函数；在闭区间

上，是减函数.+增放减，减放增单调区间+增放减，减放增+增放增，减放减对称问题函数y=Asin(wx+φ)的图象方法2.gsp1-１2-2oxy3-3y=3sin(2x+

)

C（）例5:已知函数y=Asin(

x+)(>0,A