高中专题复习及考试要求 第八章 平面解析几何 第3节 圆的方程

第3节圆的方程考试要求掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.1.圆的定义和圆的方程知

识

梳

理定义平面内到______的距离等于______的点的轨迹叫做圆方程标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心C(a，b)半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)充要条件：_______________圆心坐标：________定点定长D2＋E2－4F＞02.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)|MC|＞r⇔M在_____，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；(2)|MC|＝r⇔M在_____，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)|MC|＜r⇔M在_____，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内.圆外圆上圆内[常用结论与微点提醒]1.圆心在坐标原点半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2.2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.诊

断

自

测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.(

)(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆.(

)(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆.(

)(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(

)答案(1)√

(2)×

(3)×

(4)√解析(2)当a＝0时，x2＋y2＝a2表示点(0，0)；当a＜0时，表示半径为|a|的圆.答案D3.(老教材必修2P120例3改编)过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是(

) A.(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B.(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C.(x－1)2＋(y－1)2＝4 D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4

解析设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r.因为圆心C在直线x＋y－2＝0上，所以b＝2－a.又|CA|2＝|CB|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，所以a＝1，b＝1.所以r＝2.所以方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.

答案C4.(2019·合肥模拟)已知A(1，0)，B(0，3)两点，则以AB为直径的圆的方程是(

) A.x2＋y2－x－3y＝0 B.x2＋y2＋x＋3y＝0 C.x2＋y2＋x－3y＝0 D.x2＋y2－x＋3y＝0答案A答案CD答案D考点一圆的方程【例1】(1)(一题多解)已知圆E经过三点A(0，1)，B(2，0)，C(0，－1)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为(

)(2)(2020·潍坊调研)在平面直角坐标系xOy中，以点(0，1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为(

)A.x2＋(y－1)2＝4 B.x2＋(y－1)2＝2C.x2＋(y－1)2＝8 D.x2＋(y－1)2＝16解析(1)法一(待定系数法)设圆E的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，又圆E的圆心在x轴的正半轴上，法二(几何法)答案(1)C

(2)B规律方法求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③设x1，x2是方程③的两根，由|x1－x2|＝6，得D2－4F＝36，④联立①②④，解得D＝－2，E＝－4，F＝－8，或D＝－6，E＝－8，F＝0.故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.答案(1)x2＋(y＋1)2＝4(2)x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0(2)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，角度1利用几何意义求最值【例2－1】

已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上.考点二与圆有关的最值问题多维探究(2)设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距.由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，角度2利用对称性求最值【例2－2】

已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(

)答案A规律方法求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.角度3建立函数关系求最值答案12规律方法根据题中条件列出相关的函数关系式，再根据函数知识或基本不等式求最值.解析(1)x2＋y2表示圆(x－2)2＋y2＝3上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图).连接A′C交圆C于Q，由对称性可知考点三与圆有关的轨迹问题【例3】

已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求： (1)(一题多解)直角顶点C的轨迹方程； (2)直角边BC的中点M的轨迹方程.

解(1)法一设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.

因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0).所以x0＝2x－3，y0＝2y.所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0).由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0).规律方法求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.【训练3】

已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B. (1)求圆C1的圆心坐标； (2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程.

解(1)由x2＋y2－6x＋5＝0得(x