阎石第五版第二章第三讲

第三讲

逻辑函数的化简

逻辑函数的化简方法公式法卡诺图法本讲内容逻辑函数的常用表达形式公式法化简逻辑函数卡诺图法化简逻辑函数具有无关项的逻辑函数及其化简重点一：重点一：一、逻辑函数的表达形式：1、逻辑函数式的常见形式１）逻辑函数的一般表达式：不是唯一的，可以有多种形式，并且能互相转换。常见的逻辑式主要有5种形式：与－或表达式

或－与表达式

与非－与非表达式

或非－或非表达式

与－或－非表达式２）逻辑函数的标准表达式：有最小项和最大项２种形式3)各种形式之间的转换与—或表达式

或—与表达式

与非—与非表达式

或非—或非表达式

与或非表达式逻辑函数的最小项表达式取反整理为与-或表达式取反与—或表达式

两次取反保留最外层非号内层用摩根定理

与—或表达式

取反整理为与-或表达式取反

或—与表达式

两次取反保留最外层非号内层用摩根定理取相反的项号反函数的最小项表达式逻辑函数变换的意义与非-与非式或非-或非式“与非－或非”

“与－或—非”

（1）与项最少，即表达式中“+”号最少。（2）每个与项中的变量数最少，即表达式中“·”号最少。2、最简与—或表达式的标准逻辑关系明显，且用最少的器件实现了逻辑函数。3、化简目的：4、化简意义：消去多余乘积项和多余的因子，得到最简式。逻辑函数的化简意义及原则举例最简的“与或”表达式：①相与项（即乘积项）的个数最少；（门的个数少）②每个相与项中，所含的变量个数最少（门的输入端少）。化简后电路简单、可靠性高运用公式，将两项合并为一项，消去一个变量。二、代数化简法（公式化简法）用代数法化简逻辑函数，就是直接利用逻辑代数的基本公式和基本规则进行化简。代数法化简没有固定的步骤。1、并项法例1并项法化简2、吸收法

运用吸收律消去多余的与项。例2吸收法化简3、消因子法

运用吸收律消去多余的因子。

例3消因子法化简4、消项法运用公式消去多余项例4消项法化简5、配项法

通过乘以Ａ＋Ａ’（＝１）或加上ＡＡ’（＝０）或用Ａ＋Ａ＝Ａ，增加必要的乘项，再用以上方法化简。例5配项法化简6、综合法

例6综合法化简※代数法化简在使用中遇到的困难：1.逻辑代数与普通代数的公式易混淆，化简过程要求对所有公式熟练掌握；2.代数法化简没有一套完善的方法可循，它依赖于人的经验和灵活性；3.用这种化简方法技巧强，较难掌握。特别是对代数化简后得到的逻辑表达式是否是最简式判断有一定困难。三、卡诺图化简法1、卡诺图将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻排列起来。①逻辑相邻最小项如果两个最小项中只有一个变量不同，则称这两个最小项为逻辑相邻，简称相邻项。如果两个相邻最小项出现在同一个逻辑函数中，可以消去互为反变量的那个量，合并为一项。例如：邻②卡诺图的结构卡诺图的结构二变量卡诺图

三变量卡诺图

四变量卡诺图

附图1二变量卡诺图附图2三变量卡诺图附图3四变量卡诺图注意：左右、上下；在卡诺图中，每一行的首尾；每一列的首尾；的最小项都是逻辑相邻的。2、用卡诺图表示逻辑函数①把逻辑函数化为最小项之和的形式。②将函数式中包含的最小项在卡诺图对应的方格中填1，其余方格中填0。逻辑函数等于它的卡诺图中填入1的那些最小项之和。例7用卡诺图表示逻辑函数

例8用卡诺图表示逻辑函数

例9用卡诺图表示逻辑函数

表达式中包含这个最小项表达式中没有这个最小项3、卡诺图化简逻辑函数的原理①合并最小项：逻辑相邻的最小项可以合并,且消去因子。附图42、4、8相邻最小项的合并总之，2n个相邻的最小项结合，可以消去n个取值不同的变量而合并为1项。2个相邻的最小项结合用一个包围圈表示，消去1个变量合并为1项4个相邻的最小项结合用一个包围圈表示，消去2个变量合并为1项8个相邻的最小项结合用一个包围圈表示，消去3个变量合并为1项②合并最小项原则：（1）圈要尽可能大，这样消去的变量就多。但每个圈内只能含有2n（n=0,1,2,3……）个相邻项。（3）圈的个数尽量少，这样化简后的逻辑函数的与项就少。（2）卡诺图中所有的1都必须圈到，不能合并的1必须单独画圈。注意：取值为1的方格可以被重复圈在不同的包围圈中，但在新画的包围圈中至少要含有1个末被圈过的1方格，否则该包围圈是多余的。取值为1的方格可以被重复圈在不同的包围圈中注意两点：注意对边相邻性和四角相邻性③写出化简后的表达式。②合并相邻的最小项，即根据前述原则画圈。①用卡诺图表示出逻辑函数。４、卡诺图化简逻辑函数的步骤每一个圈写一个最简与项，规则是:取值为l的变量用原变量表示，取值为0的变量用反变量表示，将这些变量相与。然后将所有与项进行逻辑加，即得最简与—或表达式。Y2=例10将Y2=Σ(m0

、m2、m4、m6、m8~m15)化简为最简与或式。此例说明，为了使化简结果最简，可以重复利用最小项。Y2ABCD00011110000111101111110000111111AD+解：Y2=ADY2=AD=A+D例11：用圈０法化简Y2。解：若卡诺图中1的数目远远大于0的数目，可用圈0的方法。1111Y2ABCD0001111000011110111100001111例12：用卡诺图化简逻辑函数11FABCD000111100001111011111000000001解：F=AD+AB’D’+A’B’C’D’+A’B’CD’若给定的逻辑函数不是最小项表达式,可以直接填写卡诺图。例13

：用卡诺图化简逻辑函数1111111111同一逻辑函数化简的结果可能不唯一例14：用卡诺图化简逻辑函数

Y=AC’+A’C+BC’+B’C解答一:卡诺图及合并图如右:结果为:Y=AB’+A’C+BC’解答二:卡诺图及合并图如右:结果为:Y=AC’+B’C+A’BYBCA010001111011111100YBCA010001111011111100练习：用卡诺图化简法化简逻辑函数:Y(A,B,C,D)=∑m(0,1,2,3,4,6,8,10,11,14)结果为:Y=CD’+A’B’+A’D’+

B’C+

B’D’四、具有无关项的逻辑函数及其化简在实际的数字系统中，会出现这样一种情况：函数式中没有包含的某些最小项，写入或不写入函数式,都不影响原函数的值,不影响原函数表示的逻辑功能，这样的最小项叫“无关项”。无关项由“约束项”和“任意项”形成，这里只介绍由约束项形成的无关项.例13车行与三色信号灯之间逻辑关系

任意项：输入变量的取值使函数为1或0不影响电路的功能。1、无关项2、具有无关项的逻辑函数的化简用公式化简式，无关项可写入也可不写。用卡诺图化简时，无关项用表示，它可以当作1，也可以当作0。或Φ例15例16本讲小结本讲结束一逻辑函数表达式及最简形式二逻辑函数的公式化简法三逻辑函数的卡诺图化简法课后作业：2.18(5)(8)2.19(4)2.12(1)2.13(2)前二章小结例1

并项法化简例题解析：例2

吸收法化简Y1=((A'B)'+C)ABD+ADY2=AB+AB(C'+D+(C'+

D'))Y3=A+(A'(BC)')'(A+D+(BC'+ED')')+BC=AD=AB=A+BCA+BC例3

消因子法化简例4

消项法化简多余项例5

配项法化简还有其它方法???例6

综合法化简例7

某逻辑函数的真值表如下表所示，用卡诺图表示该逻辑函数。A

B

CL00000101001110010111011100010111解：

该函数为三变量，先画出三变量卡诺图，然后根据表将8个最小项L的取值0或者1填入卡诺图中对应的8个小方格中即可，如下图所示。LBCA010001111011100001例8

用卡诺图表示逻辑函数解：首先把逻辑函数转换为最小项表达式，如下：填写卡诺图：LBCA010001111011110000例9用卡诺图表示逻辑函数解：直接填写卡诺图：LBCA010001111011110000ABY0101m0m1m2m3YAB00011110ABABABAB00011110YABm0m1m3m2Y=F（A、B）附图1二变量卡诺图YYABC0100011110m0m1m4m5m3m2m7m6ABC0001111001m0m1m4m5m3m2m7m6Y=F（A、B、C）附图2三变量卡诺图ABCYD00000101101010010111111001m0m1m3m2m4m5m7m6m8m9m11m10m12m13m15m14YABCD0001111000011110m0m1m4m5m3m2m7m6m12m13m8m9m15m14m11m10Y=F（A、B、C、D）附图3四变量卡诺图例13在十字路口有红绿黄三色交通信号灯，规定红灯亮停，绿灯亮行，黄灯亮等一等，分析车行与三色信号灯之间逻辑关系。解：设红、绿、黄灯分别用A、B、C表示，且灯亮为1，灯灭为0。车用L表示，车行L=1，车停L=0。该函数的真值表如下：红灯A绿灯B黄灯C车L000×00100101011×1000101×110×111×5个最小项是约束项(不可能出现这些情况):A'B'C'+A'BC+AB'C+ABC'+ABC=0。附图42个相邻最小项的合并ABCD1111111YCDAB0001111000011110A’B’D’AB’CABDBC’DCD11111111BC附图44个相邻最小项的合并ABCDYCDAB0001111000011110BD附图48个相邻最小项的合并111111111111BABCDCYCDAB0001111000011110例15化简具有约