北师大版九年级上第二章 一元二次方程1 认识一元二次方程 公开课比赛一等奖

2.1认识一元二次方程第1课时一元二次方程新知导入幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？如果设所求的宽度为xm，那么你能列出怎样的方程？观察下面等式：102＋112＋122＝132＋142.新知导入你还能找到五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？如果将这五个连续整数中的第一个数设为x，那么怎样用含x的代数式表示其余四个数？根据题意，你能列出怎样的方程？新知导入如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？

你能计算出滑动前梯子底端距墙的距离吗？如果设梯子底端滑动xm，那么你能列出怎样的方程？

新知讲解议一议由上面三个问题，我们可以得到三个方程：(8－2x)(5－2x)＝18，x2＋(x＋1)2＋(x＋2)2＝(x＋3)2＋(x＋4)2，(x＋6)2＋72＝102.这三个方程有什么共同特点？新知讲解定义：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程．一元二次方程的识别方法：整理前是整式方程，且只含一个未知数；整理后未知数的最高次数是2.一元二次方程的定义

例1下列方程：①x2＋y－6＝0；②x2＋＝2；③x2－x－2＝0；④x2－2＋5x3－6x＝0；⑤2x2－3x＝2(x2－2)，是一元二次方程的有(

)

A．1个B.2个C．3个D．4个A导引：要判断一个方程是否是一元二次方程，要从原方程及整理后的方程两方面进行判断，看其是否符合一元二次方程的条件．①中有两个未知数；②不是整式方程；④未知数的最高次数是3；⑤整理后二次项系数为零．新知讲解一元二次方程的识别方法：整理前：①整式方程，②只含一个未知数；整理后：未知数的最高次数是2.总结新知讲解下列关于x的方程一定是一元二次方程的是(

)A．ax2＋bx＋c＝0B．x2＋1－x2＝0C．x2＋

＝2D．x2－x－2＝0若方程(m－1)x|m|+1－2x＝3是关于x一元二次方程，则(

)A．m＝1

B．m＝－1

C．m＝±1

D．m≠±112DB练一练：新知讲解一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax²+bx+c=0(a≠0)这种形式叫做一元二次方程的一般形式.一元二次方程的一般形式新知讲解一元二次方程的项和各项系数ax²+bx+c=0二次项系数一次项系数a≠0二次项一次项常数项新知讲解新知讲解例2将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．去括号，得3x2－3x＝5x＋10.移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2－8x－10＝0.其中二次项系数为3，一次项系数为－8，常数项为－10.解：新知讲解(1)ax2＋bx＋c＝0，当a≠0时，方程才是一元二次方程，但b，c可以是0.(2)将一个一元二次方程化成一般形式，可以通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤．(3)指出一元二次方程的某项时，应连同未知数一起；指出某项系数时应连同它前面的符号一起.

总结新知讲解练一练：

把方程x(x＋2)＝5(x－2)化成一般形式，则a，b，c的值分别是(

)

A．1，－3，10B．1，7，－10

C．1，－5，12D．1，3，2A新知讲解关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋|m|－1＝0

的常数项为0，则m等于(

)A．1B．－1C．1或－1D．0B新知讲解建立一元二次方程的模型一元二次方程模型：一元二次方程是刻画现实世界的一个有效数学模型，它是把实际问题中语言叙述的数量关系通过设未知数用一元二次方程来表达．常用一元二次方程来建模的问题有：图形的面积、增长(利润)率、行程问题、工程问题等．新知讲解例3小雨在一幅长90cm，宽40cm的油画四周外围镶上一条宽度相同的边框，制成一幅挂图并使油画画面的面积是整个挂图面积的54%，设边框的宽度为xcm，根据题意，列出方程．本题涉及两个基本量：油画的面积与整个挂图的面积．在油画四周外围镶上宽度为xcm的边框，则整个挂图的长与宽各增加了多少？利用长方形的面积公式和油画面积与整个挂图面积之间的关系列方程x904040+2x90+2x解：(90＋2x)(40＋2x)×54%＝90×40.新知讲解建立一元二次方程模型解决实际问题时，既要根据题目条件中给出的等量关系，又要抓住题目中隐含的一些常用关系式(如面积公式、体积公式、利润公式等)进行列方程．总结新知讲解随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是()

A．20(1＋2x)＝28.8

B．28.8(1＋x)2＝20

C．20(1＋x2)＝28.8D．20＋(1＋2x)＋20(1＋x)2＝28.8C练一练：课堂总结判别一元二次方程的“两方法”：（1）根据定义要把握三