辽宁省铁岭市部分校2021年中考九年级第一次调研模拟考试数学试题（含解析）

2021年辽宁省铁岭市部分校中考数学一模试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．北京故宫的占地面积达到720000平方米，这个数据用科学记数法表示为（）A．0.72×106平方米 B．7.2×106平方米 C．72×104平方米 D．7.2×105平方米2．如图，放置的一个机器零件（图1），若其主视图如（图2）所示，则其俯视图为（）A． B． C． D．3．估计2﹣2的值介于下列哪两个整数之间（）A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和64．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．菱形 D．等腰梯形5．商厦信誉楼女鞋专柜试销一种新款女鞋，一个月内销售情况如表所示：型号2222.52323.52424.525数量（双）261115734经理最关心的是，哪种型号的鞋销量最大．对他来说，下列统计量中最重要的是（）A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差6．已知△ABC中，点D、E分别是AB、AC边上的点，DE∥BC，点F是BC边上一点，连接AF交DE于点G．下列结论一定正确的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝7．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且，则S△ADE：S四边形BCED的值为（）A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：48．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是（）A．120° B．135° C．150° D．165°9．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、C的坐标分别为（4，6）、（5，4），且AB平行于x轴，将矩形ABCD向左平移，得到矩形A′B′C′D′．若点A′、C′同时落在函数的图象上，则k的值为（）A．6 B．8 C．10 D．1210．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个命题：①当x＞0时，y＞0；②若a＝﹣1，则b＝4；③抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2；④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m＝2时，四边形EDFG周长的最小值为6．其中真命题的序号是（）A．① B．② C．③ D．④二、填空题：（每小题3分，共24分）11．把一枚均匀的硬币连续抛掷两次，两次正面朝上的概率是．12．若+|tanB﹣|＝0，那么△ABC的形状是．13．若关于x的一元二次方程（a+3）x2+2x+a2﹣9＝0有一个根为0，则a的值为．14．已知二次函数y＝x2+bx+4顶点在x轴上，则b＝．15．如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝3，过点A、C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是．16．如图，直线y＝x与双曲线y＝交于点A，将直线y＝﹣x向右平移使之经过点A，且与x轴交于点B，则点B的坐标为．17．如图，矩形ABCD中，BC＝2，DC＝4，以AB为直径的半圆O与DC相切于点E，则阴影部分的面积为．（结果保留π）18．如图，已知等边△ABC，D是边BC的中点，过D作DE∥AB于E，连接BE交AD于D1；过D1作D1E1∥AB于E1，连接BE1交AD于D2；过D2作D2E2∥AB于E2，…，如此继续，若记S△BDE为S1，记为S2，记为S3…，若S△ABC面积为Scm2，则Sn＝cm2（用含n与S的代数式表示）三、解答题（19题12分，20题10分，共22分）19．（12分）先化简，再求值：（1+），其中a＝2cos45°+2．20．（10分）为了解中考体育科目训练情况，某地从九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次考前体育科目测试，把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格，并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：（1）请将两幅不完整的统计图补充完整；（2）如果该地参加中考的学生将有4500名，根据测试情况请你估计不及格的人数有多少？（3）从被抽测的学生中任选一名学生，则这名学生成绩是D级的概率是多少？四、解答题（每题12分，共24分）21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于点c（n，3），与x轴、y轴分别交于点A、B，过点C作CM⊥x轴，垂足为M，若tan∠CAM＝，OA＝2．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）点D是反比例函数图象在第三象限部分上的一点，且到x轴的距离是3，连接AD、BD，求△ABD的面积．22．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD为∠ABC的平分线，DF⊥BD交AB于点F，△BDF的外接圆⊙O与边BC相交于点M，过点M作AB的垂线交BD于点E，交⊙O于点N，交AB于点H，连接FN．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AF＝4，tan∠N＝，求⊙O的半径长．五、解答题（12分）23．（12分）太阳能光伏建筑是现代绿色环保建筑之一，老张准备把自家屋顶改建成光伏瓦面，改建前屋顶截面△ABC如图2所示，BC＝10米，∠ABC＝∠ACB＝36°，改建后顶点D在BA的延长线上，且∠BDC＝90°，求改建后南屋面边沿增加部分AD的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95．tan18°≈0.32，sin36°≈0.59．cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）六、解答题（12分）24．（12分）某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似抛物线y＝x2的形状．今在一个坡度为1：5的斜坡上，沿水平距离间隔50米架设两固定电缆的位置离地面高度为20米的塔柱，以点A为原点，PD为y轴建立坐标系．（1）求抛物线的解析式；（2）这种情况下在竖直方向上，求下垂的电缆与地面的最近距离．七、解答题（本题12分）25．（12分）如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，可以证明△ACD≌△BCE，则AD＝BE．（1）将图1中的△CDE绕点C旋转到图2，猜想此时线段AD与BE的数量关系，并证明你的结论．（2）如图2，连接BD，若AC＝2cm，CE＝1cm，现将△CDE绕点C继续旋转，则在旋转过程中，△BDE的面积是否存在最大值？如果存在，直接写出这个最大值；如果不存在，请说明理由．（3）如图3，在△ABC中，点D在AC上，点E在BC上，且DE∥AB，将△DCE绕点C按顺时针方向旋转得到三角形CD'E'（使∠ACD'＜180°），连接BE'，AD'，设AD'分别交BC、BE'于O、F，若△ABC满足∠ACB＝60°，BC＝，AC＝，求的值及∠BFA的度数．八、解答题（本题14分）26．（14分）如图所示，抛物线y＝x2+bx+c经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DC＝DE，求出点D的坐标；（3）在第二问的条件下，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标．

2021年辽宁省铁岭市部分校中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．北京故宫的占地面积达到720000平方米，这个数据用科学记数法表示为（）A．0.72×106平方米 B．7.2×106平方米 C．72×104平方米 D．7.2×105平方米【分析】根据科学记数法的定义，写成a×10n的形式．a×10n中，a的整数部分只能取一位整数，1≤|a|＜10，且n的数值比原数的位数少1，720000的数位是6，则n的值为5．【解答】解：720000＝7.2×105平方米．故选：D．2．如图，放置的一个机器零件（图1），若其主视图如（图2）所示，则其俯视图为（）A． B． C． D．【分析】俯视图是从上面看所得到的图形，此几何体从上面看可以看到一个长方形，中间有一个长方形．【解答】解：其俯视图为．故选：D．3．估计2﹣2的值介于下列哪两个整数之间（）A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6【分析】先估算出3.5＜＜4，再进行变形即可．【解答】解：∵3.5＜＜4，∴7＜﹣1＜8，∴5＜2﹣2＜6，即2﹣2在5和6之间，故选：D．4．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．菱形 D．等腰梯形【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念和各图的特点求解．【解答】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念，知A、B、D只是轴对称图形；菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．故选：C．5．商厦信誉楼女鞋专柜试销一种新款女鞋，一个月内销售情况如表所示：型号2222.52323.52424.525数量（双）261115734经理最关心的是，哪种型号的鞋销量最大．对他来说，下列统计量中最重要的是（）A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．鞋店经理最关心的是哪种型号的鞋销量最大，就是关心那种型号销的最多，故值得关注的是众数．【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故应最关心这组数据中的众数．故选：B．6．已知△ABC中，点D、E分别是AB、AC边上的点，DE∥BC，点F是BC边上一点，连接AF交DE于点G．下列结论一定正确的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADG∽△ABF，△AEG∽△ACF，∴，∴，故选：C．7．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且，则S△ADE：S四边形BCED的值为（）A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4【分析】首先根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，证得△ADE∽△ACB，再由相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求得答案．【解答】解：在△ADE与△ACB中，，∴△ADE∽△ACB，∴S△ADE：S△ACB＝（AE：AB）2＝1：4，∴S△ADE：S四边形BCED＝1：3．故选：C．8．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是（）A．120° B．135° C．150° D．165°【分析】直接利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出∠BOD＝30°，再利用弧度与圆心角的关系得出答案．【解答】解：如图所示：连接BO，过点O作OE⊥AB于点E，由题意可得：EO＝BO，AB∥DC，可得∠EBO＝30°，故∠BOD＝30°，则∠BOC＝150°，故的度数是150°．故选：C．9．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、C的坐标分别为（4，6）、（5，4），且AB平行于x轴，将矩形ABCD向左平移，得到矩形A′B′C′D′．若点A′、C′同时落在函数的图象上，则k的值为（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】设点A′、C′的坐标分别为（4﹣a，6），（5﹣a，4），依据点A′、C′同时落在函数的图象上，可得方程6（4﹣a）＝4（5﹣a），求得a的值即可得到k的值．【解答】解：∵点A、C的坐标分别为（4，6）、（5，4），且AB平行于x轴，∴平移后，可设点A′、C′的坐标分别为（4﹣a，6），（5﹣a，4），∵点A′、C′同时落在函数的图象上，∴6（4﹣a）＝4（5﹣a），解得a＝2，∴C'（3，4），∴k＝3×4＝12，故选：D．10．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个命题：①当x＞0时，y＞0；②若a＝﹣1，则b＝4；③抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2；④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m＝2时，四边形EDFG周长的最小值为6．其中真命题的序号是（）A．① B．② C．③ D．④【分析】①根据二次函数所过象限，判断出y的符号；②根据A、B关于对称轴对称，求出b的值；③根据＞1，得到x1＜1＜x2，从而得到Q点距离对称轴较远，进而判断出y1＞y2；④作D关于y轴的对称点D′，E关于x轴的对称点E′，连接D′E′，D′E′与DE的和即为四边形EDFG周长的最小值．求出D、E、D′、E′的坐标即可解答．【解答】解：①当x＞0时，函数图象过一四象限，当0＜x＜b时，y＞0；当x＞b时，y＜0，故本选项错误；②二次函数对称轴为x＝﹣＝1，当a＝﹣1时有＝1，解得b＝3，故本选项错误；③∵x1+x2＞2，∴＞1，又∵x1﹣1＜0＜x2﹣1，∴Q点距离对称轴较远，∴y1＞y2，故本选项正确；④如图，作D关于y轴的对称点D′，E关于x轴的对称点E′，连接D′E′，D′E′与DE的和即为四边形EDFG周长的最小值．当m＝2时，二次函数为y＝﹣x2+2x+3，顶点纵坐标为y＝﹣1+2+3＝4，D为（1，4），则D′为（﹣1，4）；C点坐标为C（0，3）；则E为（2，3），E′为（2，﹣3）；则DE＝＝；D′E′＝＝；∴四边形EDFG周长的最小值为+，故本选项错误．故选：C．二、填空题：（每小题3分，共24分）11．把一枚均匀的硬币连续抛掷两次，两次正面朝上的概率是．【分析】举出所有情况，看正面都朝上的情况数占总情况数的多少即可．【解答】解：共4种情况，正面都朝上的情况数有1种，所以概率是．故答案为：．12．若+|tanB﹣|＝0，那么△ABC的形状是锐角三角形．【分析】利用特殊角的三角函数值可得∠A和∠B的度数，进而可得答案．【解答】解：由题意得：cos2A﹣＝0，tanB﹣＝0，则∠A＝45°，∠B＝60°，∴∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∴△ABC的形状是锐角三角形．故答案为：锐角三角形．13．若关于x的一元二次方程（a+3）x2+2x+a2﹣9＝0有一个根为0，则a的值为3．【分析】将x＝0代入原方程，结合一元二次方程的定义即可求得a的值．【解答】解：根据题意，将x＝0代入方程可得a2﹣9＝0，解得：a＝3或a＝﹣3，∵a+3≠0，即a≠﹣3，∴a＝3．故答案为：3．14．已知二次函数y＝x2+bx+4顶点在x轴上，则b＝±4．【分析】根据二次函数顶点在x轴上得出△＝b2﹣4ac＝m2﹣4×2×2＝0，即可得出答案．【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx+4的顶点在x轴上，∴△＝b2﹣4ac＝b2﹣4×1×4＝0，∴b2＝16，∴b＝±4．故答案为：±4．15．如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝3，过点A、C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是．【分析】先证明△ADE≌△FAH，可得四边形AECF是菱形，设DE＝x，则BF＝x，CE＝CF＝3﹣x，在Rt△BCF中，则（3﹣x）2＝x2+22，解方程即可得解．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠FAH＝∠AED，∵∠ADE＝∠AHF＝∠DAF＝90°，AD＝2，FH＝2，∴AD＝FH，∴△ADE≌△FAH（AAS），∴AF＝AE，∵AE∥CF，AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形，∵AF＝AE，∴四边形AECF是菱形，设DE＝x，则BF＝x，CE＝CF＝3﹣x，在Rt△BCF中，（3﹣x）2＝x2+22，解得x＝；故答案为：．16．如图，直线y＝x与双曲线y＝交于点A，将直线y＝﹣x向右平移使之经过点A，且与x轴交于点B，则点B的坐标为（2，0）．【分析】联立求得A的坐标，设出平移后的解析式，得到A点，求得平移后的解析式，即可求得B点的坐标．【解答】解：由得或，∴A（1，1），设直线y＝﹣x向右平移b个单位长度经过点A，则平移后的解析式为y＝﹣（x﹣b）＝﹣x+b，代入A（1，1）得，1＝﹣1+b，解得b＝2，∴平移后的解析式为y＝﹣x+2，令y＝0，则求得x＝2，∴B（2，0），故答案为（2，0）．17．如图，矩形ABCD中，BC＝2，DC＝4，以AB为直径的半圆O与DC相切于点E，则阴影部分的面积为π．（结果保留π）【分析】连接OE．先求空白部分BCE的面积，再用△BCD的面积﹣空白部分BCE的面积得阴影面积．【解答】解：连接OE．阴影部分的面积＝S△BCD﹣（S正方形OBCE﹣S扇形OBE）＝×2×4﹣（2×2﹣π×2×2）＝π．18．如图，已知等边△ABC，D是边BC的中点，过D作DE∥AB于E，连接BE交AD于D1；过D1作D1E1∥AB于E1，连接BE1交AD于D2；过D2作D2E2∥AB于E2，…，如此继续，若记S△BDE为S1，记为S2，记为S3…，若S△ABC面积为Scm2，则Sn＝cm2（用含n与S的代数式表示）【分析】根据D是边BC的中点，过D作DE∥AB，得到E为AC的中点，BE⊥AC，设△ABC的高是h，根据三角形的面积公式求出s1＝•BC•AD＝s＝，根据DE∥AB，D1E1∥AB，得到＝＝2＝，求出s2＝，同理s3＝s＝，进而得出sn＝，即得到答案．【解答】解：∵D是边BC的中点，过D作DE∥AB，∴E为AC的中点，BE⊥AC，设△ABC的高是h，过E作EM⊥BC于M，∵BD＝DC，DE∥AB，∴AE＝EC，∵AD⊥BC，EM⊥BC，∴AD∥EM，∴DM＝MC，∴EM＝AD＝h，∴s1＝•BC•AD＝s＝，∵DE∥AB，D1E1∥AB，∴＝＝2＝，∴s2＝•AE•h﹣•AE•h＝s＝，同理s3＝s＝，…sn＝，故答案为：．三、解答题（19题12分，20题10分，共22分）19．（12分）先化简，再求值：（1+），其中a＝2cos45°+2．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝•＝，当a＝2cos45°+2＝+2时，原式＝＝＝．20．（10分）为了解中考体育科目训练情况，某地从九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次考前体育科目测试，把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格，并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：（1）请将两幅不完整的统计图补充完整；（2）如果该地参加中考的学生将有4500名，根据测试情况请你估计不及格的人数有多少？（3）从被抽测的学生中任选一名学生，则这名学生成绩是D级的概率是多少？【分析】（1）首先根据题意求得总人数，继而求得A级与D级占的百分比，求得C级与D级的人数；则可补全统计图；（2）根据题意可得：估计不及格的人数有：4500×20%＝900（人）；（3）由概率公式的定义，即可求得这名学生成绩是D级的概率．【解答】解：（1）总人数为：12÷30%＝40（人），A级占：×100%＝15%，D级占：1﹣35%﹣30%﹣15%＝20%；C级人数：40×35%＝14（人），D级人数：40×20%＝8（人），补全统计图得：（2）估计不及格的人数有：4500×20%＝900（人）；（3）从被抽测的学生中任选一名学生，则这名学生成绩是D级的概率是：20%．四、解答题（每题12分，共24分）21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于点c（n，3），与x轴、y轴分别交于点A、B，过点C作CM⊥x轴，垂足为M，若tan∠CAM＝，OA＝2．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）点D是反比例函数图象在第三象限部分上的一点，且到x轴的距离是3，连接AD、BD，求△ABD的面积．【分析】（1）利用三角函数求得AM的长，则C的坐标即可求得，利用待定系数法求得反比例函数解析式，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式；（2）首先求得D的坐标，然后利用三角形的面积公式求解．【解答】解：（1）∵在直角△ACM中，tan∠CAM＝＝，CM＝3，∴AM＝4，∴OM＝AM﹣OA＝4﹣2＝2．∴n＝2，则C的坐标是（2，3）．把（2，3）代入y＝得m＝6．则反比例函数的解析式是y＝；根据题意得，解得，则一次函数的解析式是y＝x+；（2）在y＝中令y＝﹣3，则x＝﹣2．则D的坐标是（﹣2，﹣3）．AD＝3，则S△ABD＝×3×2＝3．22．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD为∠ABC的平分线，DF⊥BD交AB于点F，△BDF的外接圆⊙O与边BC相交于点M，过点M作AB的垂线交BD于点E，交⊙O于点N，交AB于点H，连接FN．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AF＝4，tan∠N＝，求⊙O的半径长．【分析】（1）根据已知结合角平分线的定义得出OD∥BC，进而得出答案；（2）利用三角函数的定义tan∠AOD＝tan∠N＝＝，得出＝，即5OD＝3AO，进而求出答案．【解答】（1）证明：连接OD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∵BD为∠ABC的平分线，∴∠DBC＝∠OBD，∴∠ODB＝∠DBC，∴OD∥BC，∵AC⊥BC，∴AC⊥OD，∴AC是⊙O的切线；（2）∵OD∥BC，∴∠AOD＝∠ABC，∵∠N＝∠ABC，∴∠AOD＝∠N，在Rt△AOD中，∵，∴，即5OD＝3AO，设⊙O的半径为r，则5r＝3（r+4），解得：r＝6，∴⊙O的半径长为6．五、解答题（12分）23．（12分）太阳能光伏建筑是现代绿色环保建筑之一，老张准备把自家屋顶改建成光伏瓦面，改建前屋顶截面△ABC如图2所示，BC＝10米，∠ABC＝∠ACB＝36°，改建后顶点D在BA的延长线上，且∠BDC＝90°，求改建后南屋面边沿增加部分AD的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95．tan18°≈0.32，sin36°≈0.59．cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）【分析】在直角三角形BCD中，由BC与sinB的值，利用锐角三角函数定义求出CD的长，在直角三角形ACD中，由∠ACD度数，以及CD的长，利用锐角三角函数定义求出AD的长即可．【解答】解：∵∠BDC＝90°，BC＝10，sinB＝，∴CD＝BC•sinB≈10×0.59≈5.9，∵在Rt△BCD中，∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣36°＝54°，∴∠ACD＝∠BCD﹣∠ACB＝54°﹣36°＝18°，∴在Rt△ACD中，tan∠ACD＝，∴AD＝CD•tan∠ACD≈5.9×0.32≈1.888≈1.9（米），则改建后南屋面边沿增加部分AD的长约为1.9米．六、解答题（12分）24．（12分）某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似抛物线y＝x2的形状．今在一个坡度为1：5的斜坡上，沿水平距离间隔50米架设两固定电缆的位置离地面高度为20米的塔柱，以点A为原点，PD为y轴建立坐标系．（1）求抛物线的解析式；（2）这种情况下在竖直方向上，求下垂的电缆与地面的最近距离．【分析】（1）以点D为原点，DC方向为x轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝x2+bx+c，把A（0，20），B（50，30）代入，可求出抛物线的解析式；（2）根据坡度1：5，可求得斜坡所在直线的解析式，即可表示MG的长，即可求出下垂的电缆与地面的最近距离．【解答】解：（1）如图，以点D为原点，DC方向为x轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝x2+bx+c，易知：A（0，20），B（50，30），代入解析式可求得：10＝×2500+50b，解得：b＝﹣，c＝20，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+20；（2）∵斜坡的坡度为1：5，∴斜坡所在直线的解析式为：y＝x，设一条与x轴垂直的直线x＝m与抛物线交于M，与斜坡交于G，则MG＝y＝m2﹣m+20﹣m＝（m﹣25）2+13.75，∴当m＝25时，MG的最小值为13.75，即下垂的电缆与地面的最近距离为13.75m．七、解答题（本题12分）25．（12分）如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，可以证明△ACD≌△BCE，则AD＝BE．（1）将图1中的△CDE绕点C旋转到图2，猜想此时线段AD与BE的数量关系，并证明你的结论．（2）如图2，连接BD，若AC＝2cm，CE＝1cm，现将△CDE绕点C继续旋转，则在旋转过程中，△BDE的面积是否存在最大值？如果存在，直接写出这个最大值；如果不存在，请说明理由．（3）如图3，在△ABC中，点D在AC上，点E在BC上，且DE∥AB，将△DCE绕点C按顺时针方向旋转得到三角形CD'E'（使∠ACD'＜180°），连接BE'，AD'，设AD'分别交BC、BE'于O、F，若△ABC满足∠ACB＝60°，BC＝，AC＝，求的值及∠BFA的度数．【分析】（1）利用SAS证明△ACD≌△BCE，由全等三角形的性质可得出AD＝BE；（2）当△CDE旋转到BC与C到DE到高在同一条直线上时，△BDE面积最大，求出高，再利用面积公式求出△BDE的面积最大值．（3）由△CDE∽△CAB，得出比例式，再证出△ACD'∽△BCE'得出的值，再利用∠CBE'＝∠CAF求出∠BFA的度数．【解答】解：（1）猜想：AD＝BE．证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠ACB+∠BCD＝∠ECD∠BCD，即∠ACD＝BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；（2）如图1所示，当△CDE旋转到该位置时，△BDE面积最大，此时，DE边上的高为，∴△BDE面积最大值为；（3）如图2，∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴，∵△CD'E'由△CDE绕C点旋转得到，∴CE'＝CE，CD'＝CD，∠DCE＝∠D'CE'＝60°，∴，∴，又∵∠DCE+∠BCD'＝∠D'CE'+∠BCD'，即∠ACD'＝∠BCE'，∴△ACD'∽△BCE'，∴，由△ACD'∽△BCE'得∠CBE'＝∠CAF，∴∠BFA＝180°﹣（∠BAF+∠ABF）＝180°﹣（∠BAF+∠ABC+∠FAC）＝180°﹣120°＝60°．八、解答题（本题14分）26．（14分）如图所示，抛物线y＝x2+bx+c经过A、B两点，A