5.4.1 正弦函数余弦函数的图象3题型分类

5.4.1正弦函数、余弦函数的图象3题型分类一、正弦函数的图象1．正弦曲线正弦函数y＝sinx，x∈R的图象叫做正弦曲线.2．正弦函数图象的画法(1)几何法①利用单位圆画出y＝sinx，x∈[0,2π]的图象；②将图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)．(2)“五点法”①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)，用光滑的曲线连接；②将所得图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)．二、余弦函数的图象(1)余弦曲线余弦函数y＝cosx，x∈R的图象叫做余弦曲线.(2)余弦函数图象的画法①要得到y＝cosx的图象，只需把y＝sinx的图象向左平移eq\f(π,2)个单位长度即可，这是由于cosx＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2))).②用“五点法”画余弦曲线y＝cosx在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．将所得图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)．（一）用“五点法”作三角函数的图象用“五点法”画函数y＝Asinx＋b(A≠0)或y＝Acosx＋b(A≠0)在[0,2π]上简图的步骤(1)列表x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πsinx(或cosx)0(或1)1(或0)0(或－1)－1(或0)0(或1)yb(或A＋b)A＋b(或b)b(或－A＋b)－A＋b(或b)b(或A＋b)(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，y))，(π，y)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，y))，(2π，y)，这里的y是通过函数式计算得到的．(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，不要用线段进行连接．题型1：用“五点法”作三角函数的图象11．（2023·全国·高一专题练习）用“五点法”作y＝2sinx的图象时，首先描出的五个点的横坐标是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据与的关系进行判断即可．【详解】与对应五点的横坐标相同，则五点法对应五点的横坐标，故选：A．12．（2023上·高一课时练习）用“五点法”作，的图象.【答案】图象见解析【分析】按列表、描点、连线的顺序完成作图.【详解】（1）取值列表：0－1010－1（2）描点连线，如图所示.

13．（2023·全国·高一课堂例题）（1）作出函数的简图；（2）作出函数的简图．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析【分析】根据列表描点连线作图即可.【详解】（1）列表：001000200描点并用光滑的曲线连接起来，可得函数的图象，如图所示：

（2）列表：0010101210描点并用光滑的曲线连接起来，可得函数的图象，如图所示：

14．（2023·全国·高三专题练习）用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据五点作图法结合余弦函数的图象即可得解.【详解】由“五点法”作图知：令，，，，，解得，即为五个关键点的横坐标.故选：B.15．（2023·全国·高一课堂例题）用“五点法”画出下列函数的简图：(1)，；(2)，．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）（2）先列表，再描点，然后连线即可【详解】（1）按五个关键点列表：0010012101描点，并将这些点依次连成一条光滑曲线，即得所求图象，如图，

（2）按五个关键点列表：010012002描点，并将这些点依次连成一条光滑曲线，即得所求图象，如图．

16．（2023·高一课时练习）用“五点法”画出下列函数的简图：(1)，；(2)，；(3)，．【答案】(1)见详解(2)见详解(3)见详解【分析】（1）（2）（3）在坐标系中描出相应的五点，在用平滑的曲线连起来.【详解】（1）按五个关键点列表描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图

（2）按五个关键点列表描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图

（3）按五个关键点列表描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图

17．（2023上·湖北·高一湖北省天门中学校联考阶段练习）已知函数.(1)请用五点作图法画出函数在上的图象；（先列表，后画图）(2)设，当时，试讨论函数零点情况.【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）根据五点作图法列表画图；（2）将的零点个数转化为与交点个数，然后结合图象分析即可.【详解】（1）列表如下：000202（2）令，则，由，则，结合的图象研究与公共点个数.（i），即，有4个公共点；（ii），即，有5个公共点；（iii），即，有4个公共点；（iv），有2个公共点；（v），无公共点.综上，①或，有4个零点；②，有5个零点；③，有2个零点；④，无零点.18．（2023·全国·高三专题练习）函数，用五点作图法画出函数在上的图象；（先列表，再画图）【答案】答案见解析【分析】先写出分段函数，列出表格，从而画出函数图象.【详解】，按五个关键点列表：0010003010描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图所示：18．（2023·高一课时练习）用五点法作下列函数的大致图象．(1),;(2),．【答案】(1)图象见解析(2)图象见解析【分析】(1)根据五点作图,先列表格,再坐标系中标记点,再用平滑的曲线连接即可;(2)根据五点作图,先列表格,再坐标系中标记点,再用平滑的曲线连接即可.【详解】（1）解:由题知,,列表如下:21232根据表格画出图象如下:（2）解:由题知,,列表如下:10101根据表格画出图象如下:19．（2023·高一课时练习）作出函数，的大致图像．【答案】见解析【分析】先根据的范围，求出的范围，再根据找到端点，最大最小值和对称中心，对应的的值,列表作图.【详解】根据五点法作图列表得：画图像得：110．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，用“五点作图法”在给定坐标系中画出函数在上的图像.【答案】图象见解析【分析】根据五点法作图的方法画出图象即可.【详解】当时，列表如下：0112001作图如下：111．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．在用“五点法”作函数的图象时，列表如下：x完成上述表格，并在坐标系中画出函数在区间上的图象；

【答案】填表见解析；作图见解析【分析】由五点作图法的步骤：列表（此题找特殊点），描点，连线（用一条光滑的曲线连接）.【详解】由题意列出以下表格：0x0020函数图象如图所示：

（二）用图象变换法作函数图象用图象变换法作函数图象对于某些函数的图象，如y＝－sinx，y＝|sinx|，y＝sin|x|等可通过图象变换，如平移变换、对称变换等作图．(1)把y＝sinx的图象在x轴上方的保留，在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，就可得y＝|sinx|的图象．(2)把y＝sinx的图象在y轴右侧的保留，去掉y轴左侧的图象，再把y轴右侧的图象沿y轴翻折到y轴左侧，就可得y＝sin|x|的图象．题型2：用图象变换法作函数图象29．（2023下·高一课时练习）当时，作出下列函数的图象，把这些图象与的图象进行比较，你能发现图象变换的什么规律？（1）；（2）；（3）.【答案】答案见解析【分析】（1）作出图象，根据图象观察即可解出；（2）作出图象，根据图象观察即可解出；（3）作出图象，根据图象观察即可解出．【详解】（1）该图象与的图象关于轴对称，故将的图象作关于轴对称的图象即可得到的图象.（2）将的图象在轴上方部分保持不变，下半部分作关于轴对称的图形，即可得到的图象.（3）将的图象在轴右边部分保持不变，并将其作关于轴对称的图形，即可得到的图象.30．（2023·全国·高三专题练习）作出函数的图象【答案】见解析【分析】去绝对值后，结合函数的图象，即可画出函数的图象.【详解】，，作出函数图象后，将轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，即为函数的图象，如图

31．（2023上·高一课前预习）作函数的图象.【答案】图象见解析.【分析】根据诱导公式化简可得函数解析式，根据余弦函数图象性质，可画出函数图象.【详解】故的图象实际就是的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方后得到的图象，如图32．（2023下·湖南长沙·高一阶段练习）关于三角函数的图象，有下列命题：①与的图象关于轴对称；②与的图象相同；③与的图象关于轴对称；④与的图象关于轴对称；其中正确命题的序号是【答案】②④【分析】根据函数图象变换以及函数奇偶性的知识对四个命题逐一分析，即得．【详解】对于①，为偶函数，它的图象是由图象保留的部分，然后关于轴对称得到部分所得，所以与的图象不关于轴对称，故①错误；对于②，，，故它们图象相同，故②正确；对于③，函数值都是非负数，函数值有正有负，所以它们图象不关于轴对称，故③错误；对于④，，故它们图象关于轴对称，同时也重合，故④正确.综上所述，正确命题的序号是②④.故答案为：②④.（三）正弦函数、余弦函数图象的应用1、三角函数式化简的常用方法(1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为另一个角的三角函数．(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．(3)注意“1”的应用：1＝sin2α＋cos2α＝taneq\f(π,4).(4)用诱导公式进行化简时，若遇到kπ±α的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简．2、三角函数式的化简注意:(1)利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数;(2)常用“切化弦”法，即通常将表达式中的切函数化为弦函数;(3)注意“1”的变形应用.题型3：正弦函数、余弦函数图象的应用31．（2023上·广东茂名·高一统考期末）已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据特殊角的三角函数值结合充分条件和必要条件的定义即可得解.【详解】当时，或，当时，，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.32．（2023上·高一课时练习）函数的图象与的图象在上的交点个数为.【答案】【分析】作出两个函数在上的图象，根据图象可得结果.【详解】作出函数与在上的图象，如图所示：

由图可知，两函数图象在上有个交点.故答案为：33．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象中与y轴最近的最高点的坐标为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】五点法作图，根据图象分析即可.【详解】用五点法画出函数的部分图象如图所示，由图易知与y轴最近的最高点的坐标为.

故选：B34．（2023下·上海嘉定·高一校考期中）不等式的解集为.【答案】【分析】画出的图象，由图象即可求解.【详解】

画出的图象，如图所示，由图可知，不等式的解集为.故答案为：35．（2023上·高一单元测试）在同一坐标系中，作函数和的图像，根据图像判断出方程的解的个数为．【答案】3【分析】利用五点作图法和描点法画出两函数的图像，根据交点个数可确定方程解的个数.【详解】建立平面直角坐标系，先用五点，描点画出函数的图像.描出点，，并用光滑曲线连接得到的图像，如下图所示：

由图像可知：与有个不同交点，方程的解有个.故答案为:3.36．（2023下·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考阶段练习）方程有个根.【答案】【分析】在同一直角坐标系中画出两个函数的图像，然后可得答案【详解】与在同一直角坐标系中的图像如下：所以方程有个根，故答案为：37．（2023下·高一课时练习）如果方程在上有两个不同的解，则实数a的取值范围是.【答案】【分析】结合三角函数图像判断即可；【详解】

结合三角函数图像可知，当时，直线有两个交点，故答案为：38．（2023下·四川广安·高一校考阶段练习）已知关于x的方程在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是．【答案】【分析】将问题化为与在上有两个交点，数形结合即可求参数范围.【详解】由题设在上有两个不同的实数根，又，故在的图象如下，只需与在给定区间内有两个交点即可，如图，，则.故答案为：39．（2023上·浙江·高三校联考阶段练习）已知函数在区间内没有零点，则的最大值是．【答案】【分析】先求出的范围，由函数没有零点可得到且，由此可得且，从而得出的范围.【详解】解：因为，且，所以，因为函数在区间内没有零点，所以，解得且，故，解得，因为，故或，当时，，当时，，故.故答案为：.310．（2024上·广东广州·高三统考阶段练习）设函数在区间恰有两个零点，则的取值范围是．【答案】【分析】根据题意，结合正弦函数的性质即可求解.【详解】由，得，因为函数在区间恰有两个零点，所以，解得，所以的取值范围是.故答案为：.一、单选题1．（2023上·上海嘉定·高三上海市嘉定区第一中学校考期中）已知方程，.若，则方程有（

）解A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个【答案】D【分析】在同一平面直角坐标系中分别画出和的函数图象，通过平移的函数图象即可得解.【详解】如图所示：当时，方程在上有唯一解，当且时，方程在上有两个解，综上所述：方程在上有1个或2个解.故选：D.2．（2023·江苏连云港·校考模拟预测）已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据偶函数性质可确定在内的正负；结合在内的正负可确定不等式的解集.【详解】为定义在上的偶函数，图象关于轴对称，当时，；当时，；若，则或；当时，；当时，；的解集为.故选：C.3．（2023上·安徽合肥·高一校联考期末）函数，的图象在区间的交点个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】作出正、余弦函数图象，利用图象直接判断两者交点个数.【详解】分别作出，在区间上的图象，如图所示，由图象可知：，的图象在区间的交点个数为3.故选：A.4．（2023下·浙江绍兴·高一绍兴市稽山中学校考期中）已知函数，则方程的根的个数是（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】A【分析】根据函数解析式，结合正弦型函数的性质，运用数形结合思想进行判断即可.【详解】当时，，当时，，当时，，根据函数的解析式特征，可知，由，所以函数在同一直角坐标系内的图象如下图：方程的根的个数就是这两个函数图象交点的个数，通过图象可以判断只有9个交点，故选：A5．（2023上·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知函数，（其中，，）图象上的一个最高点是，由这个最高点到相邻的最低点图象与轴的交点为，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由函数的最大值可求得的值，利用题中信息求出函数的最小正周期，可求出的值，再由结合的取值范围可求得的值，由此可得出函数的解析式.【详解】因为，且函数最高点到相邻的最低点图象与轴的交点为，所以，函数的最小正周期为，则，所以，，由题意可得，可得，因为，则，所以，，解得，因此，.故选：C.二、多选题6．（2023上·高一课时练习）已知，，则的图象（

）A．与的图象形状相同，位置不同B．与的图象关于轴对称C．向右平移个单位长度，得到的图象D．向左平移个单位长度，得到的图象【答案】ACD【分析】结合诱导公式变形，利用函数图象平移规律分别判断选择支.【详解】，，选项A，将图象向左移个单位可以得到的图象，故与的图象形状相同，位置不同，故A选项正确；选项B，由，且，故，所以与的图象不关于轴对称，故B选项错误；选项C，因为，所以把余弦曲线向右平移个单位长度，得到正弦曲线，故C选项正确；选项D，因为，把余弦曲线向左平移个单位长度，得到正弦曲线，故D选项正确.故选：ACD.7．（2023·全国·高三专题练习）函数，的图象与直线的交点个数可能是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】作出函数、的图象，即可得出结论.【详解】由题意可得，作出函数、的图象如下图所示：当或时，直线与函数的图象没有交点；当时，直线与函数的图象只有一个交点；当时，直线与函数的图象有两个交点；当或时，直线与函数的图象有三个交点；当时，直线与函数的图象有四个交点.故选：ABC.三、填空题8．（2023上·高一课时练习）已知函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则实数k的取值范围是．【答案】【分析】将函数写成分段函数的形式，在同一坐标系下画出函数和函数图象，利用数形结合即可判断两函数有两个不同的交点时实数k的取值范围.【详解】由题意，得画出函数的图象，如下图所示：由图象可知，当时，函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点．故答案为：9．（2023上·高一课时练习）函数的图像与直线的交点有个.【答案】2【分析】作出两个函数的图像，利用数形结合判断交点个数.【详解】作出函数的图像与直线，如图所示：所以交点个数为2.故答案为：210．（2023·全国·高一课堂例题）不等式的解集为．【答案】【分析】可先求出，的解集，在将代替解出，则不等式的解集可求.【详解】画出时，的图象．令，，解得或又的周期为，所以的解集为．用代替解出．可得则的解集为.故答案为：.11．（2023上·上海静安·高三校考期中）若函数，则图象上关于原点对称的点共对【答案】【分析】由题意可知观察的图象与关于原点对称的函数的图象交点个数即可，由此作出相应函数图象，数形结合，可得答案.【详解】由题意图象上关于原点O对称的点的个数，只需观察的图象与关于原点对称的函数的图象交点个数即可，作出函数和的图象如图：由上图可知：两个图象交点个数为4个，即函数，则图象上关于原点对称的点共4对.故答案为：4．四、解答题12．（2023·全国·高一随堂练习）在同一平面直角坐标