03复变函数的幂级数展开

第三章复变函数的幂级数展开§3.1复变函数项级数及其收敛性§3.2泰勒级数展开§3.3洛朗级数展开第一篇复变函数论§3.1复变函数项级数及其收敛性补充：复数项级数形如的表达式被称为复数项级数，其中wn是复数。若的前n项和有极限，则称该级数收敛，且称此极限值为该无穷级数的和；否则称为发散。收敛的充分必要条件绝对收敛与条件收敛设，则级数收敛的充分必要条件是和都收敛，其中un和vn皆为实数。如果是收敛的,称级数是绝对收敛的如果是发散的，而是收敛的称级数是条件收敛的，复变函数项级数的定义

设是区域D中的复变函数,如下表达式称为复变函数项级数,记为,称为级数的前n项部分和.级数收敛和发散的定义

若对于z0∈D,极限存在,则称级数在z0处收敛;若极限不存在,则称级数在z0处发散.点收敛

若收敛，则称级数在z0处绝对收敛。

若级数在区域D中所有点收敛，则称级数在区域D中收敛。区域收敛

对应于区域D中不同的点，级数一般收敛于不同的值。那么f(z)称为级数的和函数。假设对应于点z∈D，级数收敛于f(z)，即幂级数的定义

形如的级数称为以z0为中心的幂级数，常数a0,a1,a2,…an，称为该幂级数的系数。阿贝尔定理

若在某点z1处收敛，则该幂级数在满足的圆域内将处处绝对收敛；若在某点z1处发散，则该幂级数在满足的圆域外处处发散。收敛半径与收敛圆

根据阿贝尔定理，对于任意幂级数总是存在一个圆周，使得幂级数在此圆域内处处收敛，在此圆域外则处处发散。圆域称为幂级数的收敛圆，R称为幂级数的收敛半径。收敛半径的求法D'Alembert公式Cauchy公式求的收敛半径R。例3.1解：设其系数对于t而言，收敛半径对于z而言，收敛半径例3.3求的收敛半径R。解：例3.2求的收敛半径R。解：幂级数在收敛圆内的性质（ⅱ）可导性，求导后收敛半径不变（ⅰ）解析性（ⅲ）可积性，积分后收敛半径不变例3.4

分别求出幂级数和在收敛圆内的和函数。解：§3.2泰勒级数展开Taylor定理设函数f(z)以z0的领域U(z0,R)中解析，那么f(z)在该领域中可展开为如下幂级数：z0zCRCR'RR'证明：例3.5将f(z)=sinz在z=0点的Taylor级数展开解：例3.6将f(z)=ln(1+z)在z=0点的Taylor级数展开解：例3.7将f(z)=arctanz在z=0处展开成Taylor级数解：设2）当k为偶数时1）当k为奇数时举例函数f(z)=ez在z=0点的Taylor级数展开函数f(z)=cosz

在z=0点的Taylor级数展开补充：问题的提出已知结果：当f(z)在圆|z-z0|<R内解析，Taylor定理告诉我们，f(z)必可展开成幂级数。问题是：当f(z)在圆|z-z0|<R内有奇点时，能否展开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式。§3.3洛朗级数展开双边幂级数其中被称为双边幂级数的正幂部分被称为双边幂级数的负幂部分收敛环的确定

设正幂部分的收敛半径为R2；而负幂部分在变换ζ=1/(z-z0)下的级数的收敛半径为1/R1

，则其在|z-z0|>R1外收敛。

如果R1>R2，那么双边幂级数处处发散。

如果R1<R2，那么双边幂级数就在环状域R1<|z-z0|<R2内收敛，所以R1<|z-z0|<R2给出了双边幂级数的环状收敛域，称为收敛环。正幂部分负幂部分R1R2z0R2z0|z-z0|<R2R1z0R1<|z-z0|收敛环R1<|z-z0|<R2Laurent定理设函数f(z)在以z0为中心的圆环区域R1<|z-z0|<R2

内解析，则f(z)可在该环域内展开为如下双边级数：zCR2CR1R1R2z0C证明：1)沿C1积分时，2)沿C2积分时，令k=-n-1注意Laurent级数中的z0点可能是奇点，也可能不是奇点Laurent级数展开的唯一性例3.8试求出函数

在下列环域中的洛朗级数。（1）（2）解（1）（2）Laurent级数展开的唯一性展开区域（2）函数课堂练习函数f(z)=sinz/z在0<|z|<∞

内的Laurent级数展开孤立奇点若z0点是函数f(z)的奇点，但f(z)在z0的某一个去心邻域内0<∣z－z0∣<R解析，则称点z0是函数f(z)的孤立奇点。孤立奇点的Laurent级数展开在区域0<|z-z0|<R

内的单值解析函数f(z)可展开成其中正幂部分是该级数的解析部分是该级数的主要部分负幂部分可去奇点：主要部分(负幂项)不存在m阶极点：主要部分(负幂项)有m项本性奇点：主要部分(负幂项)有无穷多项孤立奇点的