等比数列基础习题选(附详细解答)()

等比数列基础习题选（附详细解答）一．选择题（共27小题）1．已知{an}是等比数列，a2=2，a5=，则公比q=（）A．B．﹣2C．2D．2．在等比数列{an}中，a1=1，a10=3，则a2a3a4a5a6a7a8a9=（）A．81B．27C．D．2433．如果﹣1，a，b，c，﹣9成等比数列，那么（）A．b=3，ac=9B．b=﹣3，ac=9C．b=3，ac=﹣9D．b=﹣3，ac=﹣94．已知数列1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则的值是（）A．B．﹣C．或﹣D．5．正项等比数列{an}满足a2a4=1，S3=13，bn=log3an，则数列{bn}的前10项和是（）A．65B．﹣65C．25D．﹣256．等比数列{an}中，a6+a2=34，a6﹣a2=30，那么a4等于（）A．8B．16C．±8D．±169．（2012•北京）已知{an}为等比数列，下面结论中正确的是（）A．a1+a3≥2a2B．C．若a1=a3，则a1=a2D．若a3＞a1，则a4＞a210．（2011•辽宁）若等比数列an满足anan+1=16n，则公比为（）A．2B．4C．8D．1611．（2010•江西）等比数列{an}中，|a1|=1，a5=﹣8a2，a5＞a2，则an=（）A．（﹣2）n﹣1B．﹣（﹣2n﹣1）C．（﹣2）nD．﹣（﹣2）n12．已知等比数列{an}中，a6﹣2a3=2，a5﹣2a2=1，则等比数列{an}的公比是（）A．﹣1B．2C．3D．413．正项等比数列{an}中，a2a5=10，则lga3+lga4=（）A．﹣1B．1C．2D．014．在等比数列{bn}中，b3•b9=9，则b6的值为（）A．3B．±3C．﹣3D．915．（文）在等比数列{an}中，，则tan（a1a4a9）=（）A．B．C．D．16．若等比数列{an}满足a4+a8=﹣3，则a6（a2+2a6+a10）=（）A．9B．6C．3D．﹣317．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若=3，则=（）A．B．C．D．118．在等比数列{an}中，an＞0，a2=1﹣a1，a4=9﹣a3，则a4+a5=（）A．16B．27C．36D．8119．在等比数列{an}中a2=3，则a1a2a3=（）A．81B．27C．22D．920．等比数列{an}各项均为正数且a4a7+a5a6=16，log2a1+log2a2+…+log2a10=（）A．15B．10C．12D．4+log2521．等比数列{an}中a4，a8是方程x2+3x+2=0的两根，则a5a6a7=（）A．8B．±2C．﹣2D．222．在等比数列{an}中，若a3a4a5a6a7=243，则的值为（）A．9B．6C．3D．223．在3和9之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个数的和是（）A．B．C．D．24．已知等比数列1，a2，9，…，则该等比数列的公比为（）A．3或﹣3B．3或C．3D．25．（2011•江西）已知数列{an}的前n项和sn满足：sn+sm=sn+m，且a1=1，那么a10=（）A．1B．9C．10D．5526．在等比数列{an}中，前7项和S7=16，又a12+a22+…+a72=128，则a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7=（）A．8B．C．6D．27．等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，若4a1，2a2，a3成等差数列，则S4=（）A．7B．8C．16D．15二．填空题（共3小题）28．已知数列{an}中，a1=1，an=2an﹣1+3，则此数列的一个通项公式是_________．29．数列的前n项之和是_________．30．等比数列{an}的首项a1=﹣1，前n项和为Sn，若，则公比q等于_________．参考答案与试题解析一．选择题（共27小题）1．（2008•浙江）已知{an}是等比数列，a2=2，a5=，则公比q=（）A．B．﹣2C．2D．考点：等比数列．专题：计算题．分析：根据等比数列所给的两项，写出两者的关系，第五项等于第二项与公比的三次方的乘积，代入数字，求出公比的三次方，开方即可得到结果．解答：解：∵{an}是等比数列，a2=2，a5=，设出等比数列的公比是q，∴a5=a2•q3，∴==，∴q=，故选D点评：本题考查等比数列的基本量之间的关系，若已知等比数列的两项，则等比数列的所有量都可以求出，只要简单数字运算时不出错，问题可解．2．（2006•湖北）在等比数列{an}中，a1=1，a10=3，则a2a3a4a5a6a7a8a9=（）A．81B．27C．D．243考点：等比数列．分析：由等比数列的性质知（a2a9）=（a3a8）=（a4a7）=（a5a6）=（a1a10）．解答：解：因为数列{an}是等比数列，且a1=1，a10=3，所以a2a3a4a5a6a7a8a9=（a2a9）（a3a8）（a4a7）（a5a6）=（a1a10）4=34=81，故选A点评：本题主要考查等比数列的性质．3．（2006•北京）如果﹣1，a，b，c，﹣9成等比数列，那么（）A．b=3，ac=9B．b=﹣3，ac=9C．b=3，ac=﹣9D．b=﹣3，ac=﹣9考点：等比数列．分析：由等比数列的等比中项来求解．解答：解：由等比数列的性质可得ac=（﹣1）×（﹣9）=9，b×b=9且b与奇数项的符号相同，∴b=﹣3，故选B点评：本题主要考查等比数列的等比中项的应用．4．已知数列1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则的值是（）A．B．﹣C．或﹣D．考点：等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：由1，a1，a2，4成等差数列，利用等差数列的性质求出等差d的值，进而得到a2﹣a1的值，然后由1，b1，b2，b3，4成等比数列，求出b2的值，分别代入所求的式子中即可求出值．解答：解：∵1，a1，a2，4成等差数列，∴3d=4﹣1=3，即d=1，∴a2﹣a1=d=1，又1，b1，b2，b3，4成等比数列，∴b22=b1b3=1×4=4，解得b2=±2，又b12=b2＞0，∴b2=2，则=．故选A点评：本题以数列为载体，考查了等比数列的性质，以及等差数列的性质，熟练掌握等比、等差数列的性质是解本题的关键，等比数列问题中符号的判断是易错点5．正项等比数列{an}满足a2a4=1，S3=13，bn=log3an，则数列{bn}的前10项和是（）A．65B．﹣65C．25D．﹣25考点：等差数列的前n项和；等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：由题意可得=a2a4=1，解得a3=1，由S3=13可得a1+a2=12，，则有a1q2=1，a1+a1q=12，解得q和a1的值，由此得到an的解析式，从而得到bn的解析式，由等差数列的求和公式求出它的前10项和．解答：解：∵正项等比数列{an}满足a2a4=1，S3=13，bn=log3an，∴=a2a4=1，解得a3=1．由a1+a2+a3=13，可得a1+a2=12．设公比为q，则有a1q2=1，a1+a1q=12，解得q=，a1=9．故an=9×=33﹣n．故bn=log3an=3﹣n，则数列{bn}是等差数列，它的前10项和是=﹣25，故选D．点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，等差数列的前n项和公式的应用，求出an=33﹣n，是解题的关键，属于基础题．6．等比数列{an}中，a6+a2=34，a6﹣a2=30，那么a4等于（）A．8B．16C．±8D．±16考点：等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：要求a4，就要知道等比数列的通项公式，所以根据已知的两个等式左右两边相加得到a6，左右两边相减得到a2，根据等比数列的性质列出两个关于首项和公比的关系式，联立求出a和q，得到等比数列的通项公式，令n=4即可得到．解答：解：设此等比数列的首项为a，公比为q，由a6+a2=34，a6﹣a2=30两个等式相加得到2a6=64，解得a6=32；两个等式相减得到2a2=4，解得a2=2．根据等比数列的通项公式可得a6=aq5=32①，a2=aq=2②，把②代入①得q4=16，所以q=2，代入②解得a=1，所以等比数列的通项公式an=2n﹣1，则a4=23=8．故选A点评：此题要求学生灵活运用等比数列的性质解决数学问题，会根据条件找出等比数列的通项公式．本题的关键是根据题中的已知条件得到数列的a2和a6．7．已知数列{an}满足，其中λ为实常数，则数列{an}（）A．不可能是等差数列，也不可能是等比数列B．不可能是等差数列，但可能是等比数列C．可能是等差数列，但不可能是等比数列D．可能是等差数列，也可能是等比数列考点：等差关系的确定；等比关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：由于=n2+n﹣λ，而n2+n﹣λ不是固定的常数，不满足等比数列的定义．若是等差数列，则由a1+a3=2a2，解得λ=3，此时，，显然，不满足等差数列的定义，从而得出结论．解答：解：由可得=n2+n﹣λ，由于n2+n﹣λ不是固定的常数，故数列不可能是等比数列．若数列是等差数列，则应有a1+a3=2a2，解得λ=3．此时，，显然，此数列不是等差数列，故选A．点评：本题主要考查等差关系的确定、等比关系的确定，属于中档题．8．已知数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意n∈N*，点Pn（n，Sn）都在直线y=3x+2上，则数列{an}（）A．是等差数列不是等比数列B．是等比数列不是等差数列C．是常数列D．既不是等差数列也不是等比数列考点：等比关系的确定；等差关系的确定．专题：计算题．分析：由点Pn（n，Sn）都在直线y=3x+2上，可得Sn=3n+2，再利用an=Sn﹣Sn﹣1求解．解答：解：由题意，∵点Pn（n，Sn）都在直线y=3x+2上∴Sn=3n+2当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=3当n=1时，a1=5∴数列{an}既不是等差数列也不是等比数列故选D点评：本题的考点是等比关系的确定，主要考查由前n项和求数列的通项问题，关键是利用前n项和与通项的关系．9．（2012•北京）已知{an}为等比数列，下面结论中正确的是（）A．a1+a3≥2a2B．C．若a1=a3，则a1=a2D．若a3＞a1，则a4＞a2考点：等比数列的性质．专题：探究型．分析：a1+a3=，当且仅当a2，q同为正时，a1+a3≥2a2成立；，所以；若a1=a3，则a1=a1q2，从而可知a1=a2或a1=﹣a2；若a3＞a1，则a1q2＞a1，而a4﹣a2=a1q（q2﹣1），其正负由q的符号确定，故可得结论．解答：解：设等比数列的公比为q，则a1+a3=，当且仅当a2，q同为正时，a1+a3≥2a2成立，故A不正确；，∴，故B正确；若a1=a3，则a1=a1q2，∴q2=1，∴q=±1，∴a1=a2或a1=﹣a2，故C不正确；若a3＞a1，则a1q2＞a1，∴a4﹣a2=a1q（q2﹣1），其正负由q的符号确定，故D不正确故选B．点评：本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．10．（2011•辽宁）若等比数列an满足anan+1=16n，则公比为（）A．2B．4C．8D．16考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：令n=1，得到第1项与第2项的积为16，记作①，令n=2，得到第2项与第3项的积为256，记作②，然后利用②÷①，利用等比数列的通项公式得到关于q的方程，求出方程的解即可得到q的值，然后把q的值代入经过检验得到满足题意的q的值即可．解答：解：当n=1时，a1a2=16①；当n=2时，a2a3=256②，②÷①得：=16，即q2=16，解得q=4或q=﹣4，当q=﹣4时，由①得：a12×（﹣4）=16，即a12=﹣4，无解，所以q=﹣4舍去，则公比q=4．故选B点评：此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等比数列的通项公式化简求值，是一道基础题．学生在求出q的值后，要经过判断得到满足题意的q的值，即把q=﹣4舍去．11．（2010•江西）等比数列{an}中，|a1|=1，a5=﹣8a2，a5＞a2，则an=（）A．（﹣2）n﹣1B．﹣（﹣2n﹣1）C．（﹣2）nD．﹣（﹣2）n考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：根据等比数列的性质，由a5=﹣8a2得到等于q3，求出公比q的值，然后由a5＞a2，利用等比数列的通项公式得到a1大于0，化简已知|a1|=1，得到a1的值，根据首项和公比利用等比数列的通项公式得到an的值即可．解答：解：由a5=﹣8a2，得到=q3=﹣8，解得q=﹣2，又a5＞a2，得到16a1＞﹣2a1，解得a1＞0，所以|a1|=a1=1则an=a1qn﹣1=（﹣2）n﹣1故选A点评：此题考查学生灵活运用等比数列的性质及前n项和的公式化简求值，是一道中档题．12．已知等比数列{an}中，a6﹣2a3=2，a5﹣2a2=1，则等比数列{an}的公比是（）A．﹣1B．2C．3D．4考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：根据等比数列的通项公式化简已知的两等式，得到关于首项和公比的两个方程，分别记作①和②，把①提取q后，得到的方程记作③，把②代入③即可求出q的值．解答：解：由a6﹣2a3=2，a5﹣2a2=1得：，由①得：q（a1q4﹣2a1q）=2③，把②代入③得：q=2．故选B点评：此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握等比数列的性质，是一道基础题．13．正项等比数列{an}中，a2a5=10，则lga3+lga4=（）A．﹣1B．1C．2D．0考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：等比数列的定义和性质，得到a3a4=10，故有lga3+lga4=lga3a4=lg10=1．解答：解：∵正项等比数列{an}中，a2a5=10，∴a3a4=10，∴lga3+lga4=lga3a4=lg10=1，故选B．点评：本题考查等比数列的定义和性质，得到a3a4=10，是解题的关键．14．在等比数列{bn}中，b3•b9=9，则b6的值为（）A．3B．±3C．﹣3D．9考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：在等比数列{bn}中，由b3•b9=b62=9，能求出b6的值．解答：解：∵在等比数列{bn}中，b3•b9=b62=9，∴b6=±3．故选B．点评：本题考查等比数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．15．（文）在等比数列{an}中，，则tan（a1a4a9）=（）A．B．C．D．考点：等比数列的性质．分析：由，根据等比数列{an}的通项公式得a1a4a9=，再结合三角函数的性质可求出tan（a1a4a9）的值．解答：解：∵，∴a1a4a9=，∴tan（a1a4a9）=．故选B．点评：本题考查等比数列的性质和应用，解题时要注意三角函数的等价转换．16．若等比数列{an}满足a4+a8=﹣3，则a6（a2+2a6+a10）=（）A．9B．6C．3D．﹣3考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：根据等比数列的性质若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有aman=apaq可得a6（a2+2a6+a10）=（a4+a8）2，进而得到答案．解答：解：由题意可得：在等比数列{an}中，若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有aman=apaq．因为a6（a2+2a6+a10）=a6a2+2a6a6+a10a6，所以a6a2+2a6a6+a10a6=（a4+a8）2=9．故选A．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的通过性质，并且结合正确的运算，一般以选择题的形式出现．17．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若=3，则=（）A．B．C．D．1考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：首先根据等比数列的前n项和对=3进行化简，求出q3，进而即可求出结果．解答：解：∵=3，∴整理得，1+q3=2，∴q3=2∴=故选B．点评：本题考查了等比数列的关系，注意在题中把q3当作未知数，会简化运算．18．在等比数列{an}中，an＞0，a2=1﹣a1，a4=9﹣a3，则a4+a5=（）A．16B．27C．36D．81考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：首先根据等比数列的性质求出q=3和a1=的值，然后代入a4+a5=a1q3+a1q4=即可求出结果．解答：解：∵a2=1﹣a1，a4=9﹣a3∴a1q+a1=1①a1q3+a1q2=9②两式相除得，q=±3∵an＞0∴q=3a1=∴a4+a5=a1q3+a1q4=27故选B．点评：本题考查了等比数列的性质，熟练掌握性质是解题的关键，属于基础题．19．在等比数列{an}中a2=3，则a1a2a3=（）A．81B．27C．22D．9考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：由等比数列的性质可得：a1a2a3=a23，结合题意即可得到答案．解答：解：由等比数列的性质可得：a1a2a3=a23，因为a2=3，所以a1a2a3=a23=27．故选B．点评：本题考查了等比数列的性质，解题的关键a1an=a2an﹣1=…=akan﹣k，属于中档题．20．等比数列{an}各项均为正数且a4a7+a5a6=16，log2a1+log2a2+…+log2a10=（）A．15B．10C．12D．4+log25考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：先用等比数列{an}各项均为正数，结合等比数列的性质，可得a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6＞0，从而a1a2a3…a9a10=（a5a6）5，然后用对数的运算性质进行化简求值，可得正确选项．解答：解：∵等比数列{an}各项均为正数∴a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6＞0∵a4a7+a5a6=16∴a5a6=a4a7=8根据对数的运算性质，得log2a1+log2a2+…+log2a10=log2（a1a2a3…a9a10）=log2（a5a6）5=log2（8）5=15∵（8）5=（23）5=215∴log2（8）5=log2215=15故选A点评：本题考查了等比数列的性质和对数的运算性质，考查了转化化归的数学思想，属于基础题．21．等比数列{an}中a4，a8是方程x2+3x+2=0的两根，则a5a6a7=（）A．8B．±2C．﹣2D．2考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：根据等比数列的性质得到第6项的平方等于第4项与第8项的积，又根据韦达定理，由a4，a8是方程x2+3x+2=0的两根即可得到第4项与第8项的积，进而求出第6项的值，然后把所求的式子也利用等比数列的性质变为关于第6项的式子，把第6项的值代入即可求出值．解答：解：根据等比数列的性质得：a62=a4a8，又a4，a8是方程x2+3x+2=0的两根，得到a4a8=2，则a62=2，解得a6=±，则a5a6a7=（a5a7）a6=a63=±2．故选B点评：此题考查学生灵活运用等比数列的性质及韦达定理化简求值，是一道基础题．22．在等比数列{an}中，若a3a4a5a6a7=243，则的值为（）A．9B．6C．3D．2考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：先利用等比数列通项的性质，求得a5=3，再将化简，即可求得的值．解答：解：∵等比数列{an}中，若a3a4a5a6a7=243，∴∴a5=3设等比数列的公比为q∵==∴=3故选C．点评：本题重点考查等比数列通项的性质，考查计算能力，属于基础题．23．在3和9之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个数的和是（）A．B．C．D．考点：等差数列的性质；等比数列的性质．专题：计算题．分析：根据题设条件，设中间两数为x，y，由3，x，y成等比数列，知x2=3y，由x，y，9等比数列，知2y=x+9，列出方程组，从而求得这两个数的和．解答：解：设中间两数为x，y，则，解得，所以=11．故选C．点评：本题主要考查等比数列和等差数列的性质，是基础题，难度不大，解题时要认真审题，仔细解答．24．已知等比数列1，a2，9，…，则该等比数列的公比为（）A．3或﹣3B．3或C．3D．考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：由等比数列的通项公式可得9=1×a4，解得a2=3，从而得到公比．解答：解：由题意可得9=1×a4，∴a2=3，故公比为=3，故选C．点评：本题考查等比数列的通项公式，求出a2的值，是解题的关键．25．（2011•江西）已知数列{an}的前n项和sn满足：sn+sm=sn+m，且a1=1，那么a10=（）A．1B．9C．10D．55考点：等比数列的前n项和；数列的求和．专题：计算题．分析：根据题意，用赋值法，令n=1，m=9可得：s1+s9=s10，即s10﹣s9=s1=a1=1，进而由数列的前n项和的性质，可得答案．解答：解：根据题意，在sn+sm=sn+m中，令n=1，m=9可得：s1+s9=s10，即s10﹣s9=s1=a1=1，根据数列的性质，有a10=s10﹣s9，即a10=1，故选A．点评：本题考查数列的前n项和的性质，对于本题，赋值法是比较简单、直接的方法．26．在等比数列{an}中，前7项和S7=16，又a12+a22+…+a72=128，则a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7=（）A．8B．C．6D．考点：等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．专题：计算题．分析：把已知的前7项和S7=16利用等比数列的求和公式化简，由数列{an2}是首项为a1，公比为q2的等比数列，故利用等比数列的求和公式化简a12+a22+…+a72=128，变形后把第一个等式的化简结果代入求出的值，最后把所求式子先利用等比数列的通项公式化简，把前六项两两结合后，发现前三项为等比数列，故用等比数列的求和公式化简，与最后一项合并后，将求出的值代入即可求出值．解答：解：∵S7==16，∴a12+a22+…+a72==•=128，即=8，则a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7=（a1﹣a2）+（a3﹣a4）+（a5﹣a6）+a7=a1（1﹣q）+a1q2（1﹣q）+a1q4（1﹣q）+a1q6=+a1q6==8．故选A点评：此题考查了等