专题04 难点探究专题：化简绝对值之四大考点(原卷版)

专题04难点探究专题：化简绝对值之四大考点【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一利用数轴化简绝对值】 1【考点二分类讨论化简绝对值】 5【考点三利用几何意义化简绝对值】 10【考点四解绝对值方程】 18【典型例题】【考点一利用数轴化简绝对值】例题：（2023·全国·七年级专题练习）已知三数在数轴上对应的点如图所示，化简：．

【变式训练】1．（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级统考期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简．

2．（2022秋·贵州遵义·七年级校考阶段练习）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示：(1)a0；0；0（用“＞”“＜”“＝”填空）；(2)试化简：．3．（2023秋·全国·七年级专题练习）如图，已知数轴上两点、表示的有理数分别为、．(1)________0，________0．（填“”或“”）(2)化简：．4．（2023秋·全国·七年级专题练习）有理数、、在数轴上的位置如图：(1)比较大小（填“”或“”号）．①______；②______；③______；(2)化简：．5．（2022秋·四川泸州·七年级统考期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．(1)判断下列式子的符号；（填“>”，“<”）①a______0；

②b______0；

③______0；

④______0；(2)比较下列式子的大小，用“<”连接；；；；；；．(3)化简．6．（2023春·上海·六年级专题练习）如图，已知a、b、c在数轴上的位置．（1）a+b0，abc0，0．填（“＞”或“＜”）（2）如果a、c互为相反数，求＝．（3）化简：|b+c|﹣2|a﹣b|﹣|b﹣c|．【考点二分类讨论化简绝对值】例题：（2023春·黑龙江绥化·六年级绥化市第八中学校校考期中）已知、、均为不等式0的有理数，则的值为．【变式训练】1．（2023秋·七年级单元测试）若，则．2．（2023秋·河南南阳·七年级南阳市实验中学校考期末）已知、，那么＝3．（2023春·上海·六年级专题练习）（1）若，；若，；（2）若，则＝；（3）若，则．4．（2023·江苏·七年级假期作业）如果a，b，c是非零有理数，求式子的所有可能的值．5．（2023·全国·七年级假期作业）请利用绝对值的性质，解决下面问题：(1)已知，是有理数，当时，则_______；当时，则_______．(2)已知，，是有理数，，，求的值．(3)已知，，是有理数，当时，求的值．【考点三利用几何意义化简绝对值】例题：（2023秋·浙江·七年级专题练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：

(1)数轴上表示3和2的两点之间的距离是_____；表示和1两点之间的距离是_____；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．(2)如果，那么______；(3)若，，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是______，最小距离是_____．(4)若数轴上表示数a的点位于与之间，则_____．(5)当_____时，的值最小，最小值是_____．【变式训练】1．（2023·全国·七年级专题练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：(1)探究：①数轴上表示7和3的两点之间的距离是；②数轴上表示和的两点之间的距离是；③数轴上表示和5的两点之间的距离是．(2)归纳：一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．(3)应用：①如果表示数a和3的两点之间的距离是6，则可记为：，那么a＝．

②若数轴上表示数a的点位于与2之间，求的值．③当a何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由．

2．（2022秋·山东日照·七年级统考期中）同学们都知道：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：(1)已知点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，且，则___________，___________，点A和点B之间的距离为___________．(2)设点Р在数轴上对应的数为，若，则___________．(3)如图，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为，动点Р表示的数为x．①若点Р在点M、N之间，则___________．②若点Р表示的数是，现在有一蚂蚁从点Р出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，蚂蚁所在的点到点M、点N的距离之和是8？3．（2022秋·全国·七年级专题练习）学习了绝对值我们知道，，用这一结论可化简含有绝对值的代数式．如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们就称和分别为|和|的零点值在有理数范围内，零点值，可将全体有理数分成不重复、不遗漏的五个部分，可在演草本上画出数轴，找到对应的部分然后进行分类讨论如下：①当时，原式；②当时，原式；③当时，原式；④当时，原式；⑤当时，原式．综上所述，原式，以上这种分类讨论化简方法就叫零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合，根据以上材料解决下列问题：(1)化简代数式；(2)的最大值是．（请直接写出结果）【考点四解绝对值方程】例题：（2023春·湖南衡阳·七年级校联考阶段练习）阅读与探究：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．如：，，．．．都是含有绝对值的方程，怎样求含有绝对值的方程的解呢?基本思路是：把“含有绝对值的方程”转化为“不含有绝对值的方程”．例如：解方程．解：当时，原方程可化为：，解得，符合题意；当时，原方程可化为：，解得，符合题意．所以，原方程的解为：或．根据以上材料解决下列问题：(1)若，则的取值范围是________；(2)解方程：．【变式训练】1．（2023秋·山东济宁·七年级济宁学院附属中学校考期末）若，则．2．（2022秋·广东东莞·七年级湖景中学校考阶段练习）已知，则．3．（2023·浙江·七年级假期作业）解下列方程：(1)(2)(3)(4)4．（2023秋·辽宁鞍山·七年级统考期末）阅读材料并回答问题：的含义是数轴上表示数的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数0对应的点之间的距离；因此可以推断表示在数轴上数与数1对应的点之间的距离．例如，，就是在数轴上到1的距离为2的点对应的数，即为或；回答问题：(1)若，则的值是______；(2)利用上述方法解下列方程：①；②5．（2023·四川内江·校考三模）阅读下列材料：我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离；即；这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离．绝对值的几何意义在解题中有着广泛的应用：例1：解方程．容易得出，在数轴上与原点距离为4的点对应的数为±4，即该方程的±4；例2：解方程．由绝对值的几何意义可知，该方程表示求在数轴上与-1和2的距离之和为5的点对应的的值．在数轴上，-1和2的距离为3，满足方程的对应的点在2的右边或在-1的左边．若