广东省潮州市高级实验学校2022-2023学年高三数学理期末试题含解析

广东省潮州市高级实验学校2022-2023学年高三数学理

期末试题含解析

一、选择题：本大题共1（）小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.已知抛物线/=8x,过点川2°））作倾斜角为亍的直线上,若，与抛物线交于

B、C两点，弦的中垂线交x轴于点P,则线段人尸的长为（）

168

A.3B,3C.3D.86

参考答案：

A

2.命题“tan*=°”是命题“《）"=1”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不是充分又不是必要条件

参考答案：

B

3.若点出-D是圆任一球=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是

A.xy-4=0B.2rgy-7=0c,ny-2=0D.

2x4•尸5=0

参考答案：

A

4.4A，为不同的平面，・、小।为不同的直线，则1尸的一个充分条件是（）

A»la>"1A■!«B.。"=科。死尸”

C.a,7,A'y,D.

参考答案：

A

1.111

5.下图是计算G57……行的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是

（）

—否

（开始S-S+刃石Ti=i+l输出s/-«结束）

A»>«B.»>«C»>9D.i<9

参考答案：

B

6.已知a=S32,&=1嗝6,C=ta2,贝ij〃、氏c的大小关系为（）

A.a<e<bB,c<a<bc.a<b<cD,c<b<a

参考答案：

A

【分析】

根据对数函数的图象与性质，求得a<cwQ，D,即可求解，得到答案.

【详解】由题意，根据对数的性质，可得4=93M3）,»=1（¥$6€（1<*<»）,

a-106,2--*-c=I«2=—

又由*℃，3,log?，，

因为3>.，所以Sj3>log2*>】，可得a<c<l,

所以a<cC.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记对数函数的图象

与性质，求得q'c的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

7.抛物线式二4x的焦点坐标为

A.(0,2)B.(2,0)C.(0,1)D.(1,0)

参考答案：

D

8.在等差数列W中，4-1,%-%74,则%。(

)

A、-16B、-17C、

-18D、-19

参考答案:

B

9.集合M=@2},P={x\xeM)t则下列关系中，正确的是()

A.M£P；B.C.P=M；D.PqM

参考答案：

D

1().设双曲线4尸一式=1的两条渐近线与直线工=々围成的三角形区域(包含边界)为P(x,y)

为D内的一个动点，则目标函数的最小值为

_38_5々

A.-2B.2C.OD.2

参考答案：

B

略

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

Z&4C=-

11.如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=BC,且2,则PA与底面ABC所成角

为.

B

C

参考答案:

乙PAD三

答案:3

12.已知sina=3sin(a+6),则tan(a+12)=.

参考答案：

2M-4

【考点】两角和与差的正切函数；两角和与差的正弦函数.

n

【分析】利用同角三角的基本关系、两角和差的三角公式求得tana、tan访的值，可得tan

(a+l2)的值.

717T713

【解答】解：sina=3sin(a+6)=3sinacos6+3cosasin6=2sina+2cosa,

3

tana=2_3^3.

n兀

tarr^—tan­

il7T71717r'MT

又tanTI=tan（T-T）=1+tan~tanT=73^=2-73,

3

tanCL+tarr^-2-班_

兀1W,3,cl、3+（2-V3）*（2-3V3）

.-.tan（a+l2）=1+tand・t9=l+^^・（2-黄）=（2-3北）-3（2-a）=一

16-8对

4=2«-4,

故答案为：2/々-4.

i+jrNL

r-y+l>0.

3x^2y<6.

13.若实数XJ满足约束条件上MywM则»=x-2y的所有取值的集合

是.

参考答案：

(-2.-U2)

由约束条件可知，满足条件的点为丁SU.。：川.」2」

所以z可以取得值为2-1.1.2

故答案为：；

14.已知随机变量S服从正态分布N(2,a?),且P(<<4)=08,

则P(0<^<2)=

参考答案：

O3

略

{_]113}

15.设ad、-''2',则使函数丫=(的定义域为R且为奇函数的a的集合

为

参考答案：

{1,3}

【考点】球函数图象及其与指数的关系.

【专题】应用题；函数思想；定义法；函数的性质及应用.

1

【分析】分别验证a=l,-1,2,3知当a=l或a=3时，函数y=x"的定义域是R且为奇函

数.

【解答】解：当a=-l时，当a=-1时，y=x-的定义域是{xlxWO},且为奇函数，不合

题意；

当a=l时，函数y=x的定义域是R且为奇函数；

1

当a=2时，函数y=F的定义域是（0,+8）,不合题意；

当a=3时，函数y=x的定义域是R且为奇函数.

故使函数y=x"的定义域为R且为奇函数的a的集合为{1,3}.

故答案为：{1,3}.

【点评】本题考查基函数的性质和应用，解题时要熟练掌握某函数的概念和性质，属于基

础题.

16.已知全集/=（/1彳6艮）系合^=口1xS域X2可，集合5=⑺上＜±+[*6即，

且（c）n8=我则实数上的取值范围是。

参考答案：

（­OO,0]U[3,-«O）17.某大型超市销售的乳类商品有四种：液态奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成

人奶粉，且液态奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉分别有40种、10种、30种、20种不

同的品牌，现从中抽取一个容量为20的样本进行三聚鼠胺安全检测.若采用分层抽样的

方法抽取样本，则抽取的酸奶与成人奶粉品牌数之和是

参考答案：

6

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.已知函数f(x)=lnx-mx+m,m£R.

)求函数f(X)的单调区间.

(H)若f(x)WO在xe(0,+8)上恒成立，求实数m的取值范围.

求证：/jf(a)<:

(III)在(II)的条件下，任意的OVaVb,b-aa(1+a).

参考答案：

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调

性.

【专题】证明题；综合题；转化思想.

【分析】(I)求函数f(x)的单调区间，可先求出

fZ（X）（xE（0,+8））

XX再解出函数的单调区间;

(H)若f(x)<0在xG(0,+8)上恒成立，可利用导数研究函数的单调性确定出函

数的最大值，令最大值小于等于0,即可得到关于m的不等式，解出m的取值范围；

(III)在(II)的条件下，任意的0<aVb,可先代入函数的解析式，得出

f（b）~f（a）」nb-lna+a-bInb-Ina

__--10

b-ababaa再由0<a<b得出

静<上-i

aa，代入即可证明出不等式.

//、11-mx

fZ（X）=--ITF------------（x€（0,+8））

【解答】解：（I）XX

当mWO时，f'(x)>0恒成立，则函数f(x)在(0,+8)上单调递增；…2分

fz（x）=--nF----->0

当m>0时，由xx

(o—)(o—)(1+8)

则m,则f(x)在m上单调递增，在m'上单调递减.…4

分

(II)由(I)得：当mWO时显然不成立；

、口.f(x)=f(-)二］.n』T+nrm_Inin_1

当m>0时，maxmin只需m-Inm-1WO即….6分

令g(x)=x-Inx-1,

J(x)=1一1

则“x,函数g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增.，g

(x)nin=g(1)=0.则若f(x)WO在(0,+8)上恒成立，m=l.…8分

ln^

.1-1

f(b)-f(a)Inb-Ina+a-blnb-Ina

--1a

(III)b-ab-ab一aa

,->1

由OVaVb得a,

2S.1-i<l-1a=1T<__]_

b_jaaaa(1+a)a(1+a)

......a

a,

f(b)-f(a)<1

则原不等式b-aa(1+a)成立.…时分

【点评】本题考查利用导数求函数的单调区间，研究函数的最值，及不等式的证明，考查

了转化的思想及推理判断的能力，综合性较强，解题的关键是准确理解题意，对问题进行

正确转化，熟练掌握导数运算性质是解题的重点，正确转化问题是解题的难点.

x^2tcos0

(

19.已知在直角坐标系叼中，曲线C的参数方程为"为非零常数，°为参

数)，在极坐标系(与直角坐标系网取相同的长度单位，且以原点。为极点，以X轴正

pi\n(3--)=2-72

半轴为极轴)中，直线/的方程为4

(I)求曲线。的普通方程并说明曲线的形状；

(II)是否存在实数£,使得直线/与曲线C有两个不同的公共点A3,且场•。豆=10

(其中。为坐标原点)？若存在，请求出；否则，请说明理由.

参考答案：

【答案】二"■J=4,当：=二1孙曲蛀C为国心$麋点，*在为2的同当rw=l时.

••・

金也匚为中心在黑点的篇05，(外r存在

【解析】

成盘白析，(I)夫那曲建CF卷数节程转优'廿通节程，力论；的信车训斫方程表示什么图

形,(2)联立亶线与眸i的方程，因为H线马曲线有2个不同的公共点•所以判别式大于8

行以?：>3,利用毫达美拳代A八叫解出「=3、：1•3相孑・,

师不不

俄整解析I<I);，=。，.•.可，曲线Cf,,程"，为方程，

型:=xlM.曲线c为BBL6做点.牛役为2的8黜.....

②当£k±l时，曲线C为中心在原点的椭

圆.................6分

(II)直线/的普通方程为：

x-y+4=0

……8分

联立直技与螃的方程.消)需'+《*.4户=4,代阍事。+?)^+8i*+12?=0.

若・妓/马曲处C有两个不同的公共点，>0.解得P>3.

p,8?12?

又内/=_巾“均巧=「710分

故OA*OB■xfy+X?i+".十JX\+4)»ij^tj+4(内+巧)+16=10.

髀海PH3马->3相矛启.故不存在海足题意的斑r.-----------------12分

考点：1.假坐标系及直角坐标系的转化12.根与系数关系.

略

20.已知函数f(x)=x2-ax+21nx.

(1)若函数y=f(x)在定义域上单调递增，求实数a的取值范围；

1

(2)设f(x)有两个极值点X”x2,若xP(0,e],且f(X,)2t+f(x?)恒成立，求

实数t的取值范围.

参考答案：

【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值.

【分析】(1)问题转化为2xZ-ax+220在(0,+8)恒成立，分离参数，求出a的范围

即可；

(2)求出f'(x),根据f(x)有两个极值点X”也，可以确定X”xz为f'(x)=0的

2

两个根，从而得到XiX2=l,可以确定X2>1,求解h(xi)-h(x2),构造函数u(x)=x

1

~~o-

-x”-21nx2,xNl,利用导数研究u(x)的取值范围，从而求出t的范围.

9

22x-a—+2

【解答】解：(1)f'(x)=2x-a+x=x,(x>0),

若函数y二f(x)在定义域上单调递增，

则2x~'-ax+220在(0,+8)恒成立，

11

即aW2(x+x),而x+x的最小值是2,

故aW4；

(2)*/f(x)=x2-ax+21nx,

9

2x-ax+2

Ah,(x)=x,(x>0),

Vf(x)有两个极值点x“x2,

/.Xi,X2为f'(x)=0的两个根，即2x?-ax+2=0的两个根，

/.X1X2=1,

1

Vxie(0,e],且axi=2x/+l(i=l,2),Ax2^[e,+°°),

22

Af(xi)-f(X2)=(xi-axi+21nxi)-(x2-ax2+21nx2)

-(-Xi2-l+21nxi)-(-X2?-l+21nx2)

xi-L-

----2

2x2x2

=X2-Xi+21n2=X2-2-21nx2,(x2>l)，

1

-o-

设u(x)=x-x-21nx2,x》e,

2(x2-l)2

3

・・・U’(x)=x20,u(x)在[e,+8)递增，

1

Au(x)(e)=e2-e-4,

1

-2

te(-8,e?-e-4].

21.在AABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知(b-2a)?cosC+c?cosB=0

(1)求角C；

(2)若c=2,SAAK=V3)求边长a,b的值.

参考答案：

【考点】余弦定理；正弦定理.

【分析】(1)由已知及正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理可得

sinA=2sinAcosC,由于sinA#0,可求cosC=2,结合范围CG(0,n),可求C的值.

(2)利用三角形面积公式可求ab=4,由余弦定理可得a?+b2=8,联立即可解得a,b的

值.

【解答】(本题满分为12分)

解：(1),/(b-2a)?cosC+c?cosBz:0,

，由正弦定理可得：(sinB-2sinA)cosC+sinCcosB=0,…2分

AsinBcosC+cosBsinC=2sinAcosC,可得：sin(B+C)=sinA=2sinAcosC,

VsinA^O,

1

/.cosC=2,…5分

VCe(0,n)

兀

/.C=3…6分

1V3

(2)VSAABc=2absinC=4ab=V3,

/.ab=4,①

由余弦定理可得：a2+b2-c2=2abcosC,

Vc=2,C=T,ab=4,・・・8分

.\a2+b2=8,②…10分

联立①②即可解得：a=2,b=2…12分

22.某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污

4兀1.

染指数f(X)与时间X(小时)的关系为f(x)=4sin(前X)-a|+a,*仁[0,24],

其中a是与气象有关的参