第2 课 函数及其应用（二） 2023年新高考数学一轮复习强化小练（2019人教版）（含解析）

函数及其应用（二）

2023年新高考数学一轮复习强化小练

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题（共48分）

1.体题8分）（2022•吉林冻北师大附中模拟预测（文））北京时间2021年10月16日

0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号尸遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射

中心按照预定时间精准点火发射，约582秒后，神舟十三号载人飞船与火箭成功分

离，进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空，发射取得圆

满成功.据测算：在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v（单位：m/s）和燃

料的质量M（单位：kg）、火箭的质量（除燃料外）加（单位：kg）的关系是

v=30001n（空詈，为使火箭的最大速度达到8100m/s,则燃料质量与火箭质量之比

约为（参考数据e2'al4.9）（）

A.13B.14C.15D.16

2.体题8分）（2022•安徽省舒城中学三模（理））已知下表为函数“制=加+5+"

部分自变量取值及其对应函数值，为便于研究，相关函数值非整数值时，取值精确到

0.01.

X3.271.57-0.61-0.590.260.42-035-0.560

y-101.63-10.040.270.260.210.20-0.22-0.030

下列关于函数/（x）的叙述不正确的是（）A./（x）为奇函数B./（x）在［0.55,0.6］

上没有零点

C.f（x）在（y>,-0.35］上单调递减D.a<0

3.（本题8分）（2022.上海金山.二模）对于定义在。上的函数y=f（x）,若同时满

足：⑴对任意的xe。，均有〃r）+〃x）=O；（2）对任意的％e。,存在々e。,

且WNf,使得/（4）-%,=%成立，则称函数y=/（x）为“等均”函数.下列函

数中：①〃x）=x；②〃x）=|七||；③/（x）=2；④〃x）=siru,“等均”函数的个数

|AT11X

是（）

A.1B.2C.3D.4

4.（本题8分）（2022•青海・海东市第一中学模拟预测（理））若函数

“x）=d+ore，-ae2'（aeR）有三个不同的零点，则实数”的取值范围是（）

5.（本题8分）（2022•上海松江•二模）已知正方形ABC3的边长为4,点M、N分别

在边A。、BC上，且AM=1,BN=2,若点P在正方形438的边上，则两.成

的取值范围是（）

A.[-6,6JB,L-6,2JC.[-2,6]D.[-2,2]

6.（本题8分）（2022•青海海东市第一中学模拟预测（理））函数y=xsinx|cosH在

[-兀,句上的图像大致是（）

二、多选题（共8分）

7.（本题8分）（2022•山东青岛•二模）已知函数.f（x）的定义域为R,

g（x）=/（2-x）-"2+x）,/z（x）=/（2-x）+/（x）,则下述正确的是（）

A.g（x）为奇函数B.g（x）为偶函数

C.〃（x）的图象关于直线x=l对称D.人用的图象关于点。0）对称

三、填空题（共24分）

8.（本题8分）（2022.上海奉贤.二模）已知ae卜2,_1,一（/2,3卜若幕函数

/（幻=犬为奇函数，且在（。,+8）上递减，则/（x）的反函数/T（X）=.

9.（本题8分）（2022•上海黄浦•二模）对于给定的正整数〃（〃22）,定义在区间［。,〃1

上的函数y=f（x）满足：当OWxWl时，/（x）=-/+2x,且对任意的都成立

Ax）=/（x-l）+l.若与〃有关的实数及“使得方程/（%）=（x在区间-1,〃］上有且仅有

一个实数解，则关于x的方程fM=k„x的实数解的个数为

10.（本题8分）（2022•上海金山•二模）已知数列｛4｝的前〃项和为S“，满足

!，R都有〃x+l）=匚*

2S„=3«„-l（neN）函数〃x）定义域为R，对任意xe.若

"2）=1-夜，则〃生022）的值为.

四、解答题（共20分）

11.（本题20分）（2022•青海♦海东市第一中学模拟预测（文））已知函数

/（x）=（x-3）e'—ax｛aeR）.

⑴若。=0,讨论函数的单调性；

（2）若函数有两个极值点，求。的取值范围;

参考答案:

1.B

【分析】将火箭的最大速度8100m/s代入v=30001n1(—M^+—mJ\中，结合对数、指数运算即

可求得答案.

【详解】由题意可得，将火箭的最大速度8100m/s代入v=30001n(VB中，

得：8100=30003(M+"[,g|]8100=30001n|—+1L

\m)\m)

27

所以In+1]=m=2.7,^—=e-1^14.9-1=13.9^14,

Im)30m

故选:B

2.B

【分析】根据函数解析式/(0)=d=0,判断奇偶性后确定相应函数值的正负，得零点区

间，然后结合各函数值得变化趋势，确定。的正负.

【详解】由/(。)=0,则d=O,故/(x)=ax'+ex,

所以f(-x)=-or3-5=_/(x)且定义域为R,故f(x)为奇函数，A正确；

又“0.56)=0.03>0,/(0.59)=-0.26<0,

所以f(x)在[0.56,0.59]上必有零点，B错误；

根据已知表格数据：x>0.35的情况下，x越大，函数值越小，由三次函数的性质：«<0,

D正确，

所以在(7,-0.35]上单调递减，C正确.

故选：B.

3.B

【分析】按照“等均”函数的定义，对四个函数一一验证，即可判断.

【详解】对于①：因为〃x)=x，所以的定义域为R.对任意的xeR,

/(_*)+0=_》+了=0,满足(1)：

VX|eR,/(X|)一5=占-X]=0,x2^-xl,x2-f(x2)=x2-x2=0

所以存在々W-占,使得〃xJ-百=w-/(々),满足(2).

所以“同=%为“等均”函数.

答案第1页，共7页

y—1

对于②：因为/(x)=op所以“X)的定义域为y,T)5-i”).所以当X=1时，-x=—l,

此时不存在/(t),不满足(1);

V—1

所以/(”=77T不是''等均"函数.

9

对于③：因为“力=：,所以f(X)的定义域为(F,0)U(0,XO).对任意的

22

XG(-OO,0)U(0,+OO),/(一同+/(力=一、+、=0,满足(1)；

w/n\/n\rzx22-X(22—2

Vx,e(-^o,0)u(0,+00),/(x,)-=---X=---^，电。一冷工,一/(苍)=%---=二-----.

玉X)x2x2

若满足/&)—玉=%—/(々),则有立近=%*

XX2

所以(2-中2)(9+%)=。.

2

又因为再+32。0，所以i=一,

内

2

所以V%€(，》,0)5。,+8),加=一，满足玉+超#0且〃玉)-玉=%2-/(^2).

x\

所以f(x)=:为“等均”函数.

对于④：因为/(x)=sinx,所以“X)的定义域为R.对任意的XWR,

/(-X)+f(x)=sin(-X)+sinX=0,满足⑴；

VXjeR,/(%1)-%)=sinx!-x]yx2-f(x2)=x2-sinx2.

若满足了(百)一七=七一/(々),则有sin%-司=々一/(々)=$山(-与)一(-々)

设g(x)=sinx-x,贝！Jg<x)=cosx-140,所以g(x)在R上单调递减，所以须=-%,此时不

满足(2).

所以〃x)=sinx不是“等均”函数.

故”等均”函数的个数是2.

故选：B.

4.D

【分析】令〃x)=0得"=0,利用导数研究g(x)=/的图像，由函数〃x)

答案第2页，共7页

有三个零点可知，若令(Y，)，则可知方程“+m_a=o的一根乙必在(0,j内，另一

根为=：或G=0或4e(-8,0)上，分类讨论即可求解.

【详解】由丁+谢"—一，=0得(5)+«5[-〃=0,令g(x)=£,

由g'(x)=F=°'得尸1'因此函数8⑴在(—1)上单调递增,在。，/)上单调递减,

且g(O)=O,当x>0时，g(x)=^>0,则g(x)=2的图像如图所示：

即函数g(x)的最大值为g(l)=：,

令f=贝！J/?(，)=『+af-a=0,

由二次函数的图像可知，二次方程的一根4必在(o,£|内，另一根芍=:或弓=0或

/2e(-oo,0)±,

当右=1时，。=」一，则另一根八="~，不满足题意，

ee--e1-e

当4=0时，。=0,则另一根4=0,不满足题意，

。2+〃0-〃<0

当芍«-8,0)时，由二次函数W)=r+m-4=0的图像可知,f1Y1八，

-+〃-----a>0

e

解得0<q<^—,

e-e

则实数。的取值范围是(o，W

故选：D.

5.C

【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的数量积运算及二次函数求值域即可得解.

【详解】如图，建立平面直角坐标系，

答案第3页，共7页

yk

DC

M

A

则M(O,1),N(4,2),

当P在4。上时，设尸(0,y)(04yW4)，PM=(O,l-y),PN=(4,2-y)-

...俞,由=y2_3y+2=(y__|)2_(,

3―>—>1T_>

当y=］时，(PM-PN)mM=-“当y=4时，(PM-PN)max=6，

即-3丽•丽46,

4

当P在8c上时，设P(4,y)(0Wy44)，则前=(-4,1-y),无=(0,2-y)，

.•.PM-/W=/-3y+2=(y-1)2-^,知一;4闲.而46,

当尸在48上时,设尸(x,0)(0<x44),PM=(-x,r),PN=(4-x,2)>

->—>

PM-PN=x2-4x+2=(%-2)2-2，

当x=2时，(前.丽)1nbi=_2，当x=4时，(PM-PN)^=2>

^-2<PM-PN<2>

当P在C£>上时，设P(x,4)(0<xV4),俞=(­,-3),无=(4-演-2)，

—>—>

PM-PN=X1-4x+6=(x-2)2+2，

当x=2时，(PM-PN)min=2>当*=4时，(PM-PN)mM=6>

^2<PMPN<6-

综上可得，-2<PMPN<6>

故选：C

6.D

【分析】利用函数的单调性，奇偶性和特值点等性质来判断图像.

答案第4页，共7页

【详解】易知yu)是偶函数，排除B,c项；

当<4x4兀时,sinx>0,所以y=xsinx|cos#0,排除A项.

故选：D

7.AC

【分析】根据函数的奇偶性及对称性即可求解.

【详解】因为g(x)=〃2T)-〃2+x),所以g(—x)=/(2+x)-/(2-x)=—g(x),

所以g(x)为奇函数，故A正确；B错误；

因为/?(x)=/(2-x)+/(x),所以/?(2-x)=/(x)+/(2-x)=〃(x),

所以〃(x)的图象关于直线x=I对称，故C正确；

所以〃(2-x)="x)+/(2-x)w2x0i(x),所以〃(x)的图象不关于点(1,0)对称，故D不

正确.

故选：AC.

8.-##%-'

X

【分析】先求得幕函数/(x)=x“的解析式，再去求f(x)的反函数/T(x),即可解决.

【详解】1,1,2,31

若基函数/(x)=x1在(0,e)上递减，贝

又基函数"x)=x"为奇函数，则e=-l,则f(x)=L

X

/(x)=L的反函数为7%)=1

XX

故答案为：—

X

9.2n-l

【分析】数形结合，画出y=/(x)在区间［0,〃］上图象，根据y=K,x与y=/(x)的图象交点

分析即可

【详解】由题意，画出y=/(x)在［0,1］之间的图象，又对任意的都成立

/(X)=f(x-1)+1,可理解为区间［〃-1,〃］的图象由区间［〃-2,〃-1］的图象往右平移一个单

位，再往上平移一个单位所得，即可画出y=/(x)在［(),〃］上的图象.

答案第5页，共7页

故若与n有关的实数k“使得方程/(x)=与x在区间网上有且仅有一个实数解，则

y=k,,x与y=/(x)在区间网上的图象相切，且易得y=/(x)的图象在y=x与区间区

间[0,1],口，2]…-2,”-1],在1,"]上的公切线之间.故y=口与y=f(x)在区间[0,1],

[1,2]…2,”-1]上均有2个交点，故关于x的方程/(X)=%,产的实数解的个数为

2(〃-1)+1=2〃-1个

故答案为：2/1-1

10.V2-1

【分析】先根据/(x+l)=詈坐得出〃x)周期为4,再根据2s“=3g-l(〃eN)结合

通项与前〃项和的关系可得出⑼=32°2i,再结合二项式定理求得见回=32以除以4的余数,

进而求得了(%。22)即可

【详解】因为仆+1)=喘」⑶=詈手詈需二&-1,

"储1+/（4）1+6-154、1+V2+1A1

f（4）=R=T7I7T=3i，〃5）=177rl=4,

"6）=1一=1-0…易得周期为4.又由2s“=3a“-l（”eN

1+，2+1

两式相减2q,=3a“-3%T，即％=3%7,又当”=1时，

2S„,I=3«„_1-1(M>2),

2