第3章圆单元测试（B卷提升篇）（北师版）（解析版）

第3章圆单元测试（B卷提升篇）（北师版）

考试范围：第3章圆；考试时间：90分钟；总分：100分

一、选择题（每小题4分，共24分）

1.（2020•广州白云广雅实验学校九年级月考）如图，边长为4的正方形ABCD各边均与。。相切，正方形

EFGH是。。的内接正方形，则图中阴影部分的面积是（）

A.16^-4B.4万-4C.16万-8D.4万-8

【答案】D

【分析】

由题意易得阴影部分的面积=。。的面积减去正方形EFGH的面积，连接EG,HF,进而根据正方形的性质

可得AE=EB=BF=FC=CG=DG=DH=AH=2,然后问题可求解.

【详解】

解：连接EG、HF,如图所示：

:四边形ABCD、EFGH是正方形，

.•.HF与EG互相垂直且平分，

VAB=4,

二AE=EB=BF=FC=CG=DG=DH=AH=2,

；.0。的半径为2,EH=yjAE2+AH2=2V2>

.•・阴影部分的面积为：7tr-S正方形EFCH=4万一8；

故选D.

【点睛】

本题主要考查切线的性质及正方形的性质，熟练掌握切线的性质及正方形的性质是解题的关键.

2.（2020•温州市实验中学九年级期末）如图，一把直角三角板的顶点A、B在。O上，边BC、AC与OO

交于点D、E,已知NC=30。，则NAED的大小为（）

A.90°B.100°C.110°D.120°

【答案】D

【分析】

利用三角形内角和定理求出NB,再根据圆内接四边形的性质求出NAED即可.

【详解】

解：VZA=900,/C=30°,

.,.ZB=90o-30°=60°,

♦.•四边形ABDE是圆内接四边形，

AZAED=180°-ZB=120°,

故选：D.

【点睛】

本题考查圆内接四边形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常

考题型.

3.（2021•呼和浩特市剑桥中学九年级期末）如图，的直径C£>=10cm,AB是O。的弦，ABLCD,

垂足为M,0£>:0M=5:3,则AB的长为（）

B

A.6cmB.VoTcrnC.8cmD.4cm

【答案】C

【分析】

连接OA,先求出OA=OD=5,OM=3,由垂径定理和勾股定理，即可求出AM=4,即可求出AB的长度.

【详解】

解：连接OA,如图：

,/。。的直径8=10cm,

，OA=OD=5,

OD:OM=5:3,

，OM=3,

：AB是。。的弦，ABLCD,垂足为Af,

由垂径定理，得：AM=BM=-AB,乙4Mo=90。，

2

在直角AAOM中，由勾股定理，则

AM=do^-OM2='52-32=4,

AB=2x4=8；

故选：C.

【点睛】

本题考查了垂径定理，勾股定理，以及圆的定义，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题.

4.（2021•呼和浩特市剑桥中学九年级期末）如图，PA,PB是。。的切线，A,3为切点，AC是。。的

直径，NB4C=25.5°,则ZP的度数为（）

A.52°B.51°C.61°D.64.5°

【答案】B

【分析】

根据切线的性质和切线长的性质定理，即可求解.

【详解】

PA,PB是。。的切线，AC是。。的直径，

AZCAP=90°,PA=PB,

NPAB=/PBA,

•/ABAC=25.5°,

：.ZPAB=ZCAP-ABAC=64.5°,

，NP=180°-64.5°-64.5°=51°.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查切线的性质和切线长的性质定理，掌握上述定理是解题的关键.

5.（2021•聊城市实验中学九年级期末）在半径为1的。。中，弦A8AC分别是0,百，则Nfi4c的度数

为（）

A.15°B.15°或75°C.75°D.15°或65°

【答案】B

【分析】

连结AO并延长交0。于D,连结OB,CD,当B、C在AD同侧时求出/BAO=45。，ZCAD=30°,则

ZBAC=ZBAD-ZCAD=15°,当B、C在AD两侧时NBAC=/BAD+/CAD=75。，则/R4c的度数为15。

或75。即可

【详解】

连结AO并延长交。。于D,连结OB,CD,

当B、C在AD同侧时，

AO=OB=1,AO1+0B-=\+\=2^AB->

ZAOB=90°,

二NBAO=45。，

'.•AD为直径，

二ZC=90°,

/.cosZCAD=，

2

二ZCAD=30°,

，ZBAC=ZBAD-ZCAD=45°-30°=15°,

ZBAO=45°,

二NCAD=30°,

ZBAC=ZBAD+ZCAD=45o+30°=75°,

则NB4C的度数为15。或75。，

故选择:B.

【点睛】

本题考查圆周角问题，勾股定理，三角函数，掌握求两弦夹圆周角的方法，注意分类考虑两弦在直径的同

侧和两侧求圆周角是解题关键.

6.（2020•湖北黄石市•九年级期末）如图，点。、£分别是。。的内接AABC的A3、AC边上的中点,

若。。的半径为2,NA=45°,则OE的长等于（）

A.6B.J2C.1D.—

2

【答案】B

【分析】

连接BO,CO,根据圆周角定理可证得ABOC为等腰直角三角形，从而结合半径推出BC的长度，最后运用

三角形中位线定理求解即可.

【详解】

如图所示，连接BO,CO,则OB=OC,

；ZA=45°,

.,・根据圆周角定理可得：ZBOC=2ZA=90°,

.,.△BOC为等腰直角三角形，其中OB=OC=2,

则BC=2夜，

又•••点。、E分别是AABC的43、AC边上的中点，

，DE为AABC的中位线，

:.DE=LBC=血,

2

【点睛】

本题考查圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质，以及中位线定理，熟练掌握各性质定理是解题关键.

二、填空题（每小题5分，共30分）

7.（2021•上海金山区•九年级一模）正十边形的中心角等于____度.

【答案】36

【分

根据正多边形的中心角的定义即可求解.

【详解】

正十边形的中心角等于360°4-10=36°

故答案为：36.

【点睛】

360°

此题主要考查中心角，解题的关犍是熟知正n边形的中心角等于——.

n

8.（2020•云梦县实验外国语学校九年级月考）如图，四边形A5CQ是。。的内接四边形，AB^AD,若

ZC=72°,则NA8D的度数是.

【答案】36。

【分析】

根据圆内接四边形的性质求出NA,根据等边对等角的性质得到NABD=NADB,根据三角形内角和定理计

算即可.

【详解】

解：•••四边形A8CZ）是。。的内接四边形，

.*.ZA=180°-ZC=108%

•：AB=AD,

：.ZABD=ZADB,

：.ZABD=|x(180。-4)=；x(180°-108°)=36°

故答案为36。.

【点睛】

本题考查了圆内接四边形的性质，等边对等角的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.

9.（2020•河南郑州市•九年级月考）如图，在口ABC。中，以点A为圆心，AB长为半径的圆恰好与8相

切于点C,交AD于点£,延长胡与。A相交于尸，若砂的长为:，则图中圆的半径为.

【答案】1

【分析】

连接AC,根据切线的性质以及平行四边形的性质得4ACD是等腰直角三角形，结合弧长公式，即可求解.

【详解】

连接AC,

：DC是③A的切线，

AAC±CD,即/ACD=90°,

又•..在oABCZ）中，AB=AC=CD,AB//CD,

.,.△ACD是等腰宜角三角形，ZFAC=1800-ZACD=90°,

AZCAD=45°,

・•・ZFAD=90°-45°=45°,

：£户的长为:，

.45x乃x厂_乃

■,—180-

解得：r=l,

故答案是：1

【点睛】

本题主要考查弧长公式和切线的性质，熟练掌握弧长公式，是解题的关键.

10.（2020•齐齐哈尔市第三中学校九年级期末）如图，必与。。相切，切点为A,PO交。。于点C,

点8是优弧CR4上一点，若NA5C=28。，则NP的度数为.

【答案】34。

【分析】

连接OA,根据切线性质可得/PAO=90。，根据圆周角和圆心角的关系可得NO,继而利用互余即可求解.

【详解】

解：连接OA,如图所示：

VPA与OO相切

二NPAO=90°,

VZO=2ZABC=56°,

.,.ZP=90°-56°=34°.

故答案为：34°.

【点睛】

本题考查切线的性质，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握切线的性质和圆周角定理.

11.（2021•呼和浩特市剑桥中学九年级期末）如图，四边形ABCO内接于O。，若N4OC=8/，则NA8C

的度数是.

【答案】1()0°

【分析】

根据圆的内接四边形对角互补的性质即可求出结果.

【详解】

解：•••四边形ABCO内接于。0,

二ZAZ>C+ZABC=180°■

ZADC=80°,

：.ZABC=100°.

故答案是：100°.

【点睛】

本题考查圆的内接四边形，解题的关键是掌握圆的内接四边形的性质.

12.(2020•全国九年级课时练习)如图，在AABC中，ZC=90°,ZB=28°,以C为圆心，CA为半径的

圆交AB于点D,交BC于点E,则弧AD的度数为.

【分析】

连接CD,利用互余计算出NA=62。，再根据三角形内角和180°定理，计算NACD=56。即可.

【详解】

解：连结CD.

•在AABC中，ZACB=90°,NB=28。，

AZA=90°-/B=62°,

VCA=CD,

，NCDA=NCAD=62。,

.♦.NACD=56。，

...弧AD的度数为56。，

故答案为56°.

【点睛】

本题考查圆心角、弧、弦的关系，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

三、解答题一（每小题8分，共16分）

13.（2020•辽宁葫芦岛市•九年级月考）已知矩形ABCO中，点E是AO中点，连接CE,经过点A,B,

E三点作。。，交8C于点尸，过点尸作户HLCE于

（1）求证：直线人//是。。的切线;

（2）若AD=46，且点H恰好为CE中点时，判断此时CE与的位置关系？说明理由，并求出弧£尸，

线段/77围成的图形的面积.

【答案】（1）见解析；（2）EC与。。相切，理由见解析，4一兀

【分析】

（1）连接BE，OF,易得出BE是圆的直径，根据全等三角形的判定证得△EABgAEDC,继而根据平行

线的性质和切线的判定即可求证结论；

（2）连接£尸，易求得四边形OFHE的边长，再利用面积的和差即可求解.

【详解】

（1）连接BE，OF

•.•四边形ABCD足矩形，

，ZA=NO=90°，AB=CD,

•；ZA=90°,

/.是。。的直径，

,点E是AO中点，

EA-EC>

AAEAB^AEDC,

EB=EC>

二/EBC=/ECB,

•：OB=OF,

：.ZECB=ZOFB,

：.ZECB=ZOFB,

：.OFUEC,

:.NOFH=NFHC,

'：FH±CE,

：.ZFHC=ZOFH=90°,

乂,:O尸是。。的半径，

二直线FH是QO的切线.

（2）EC与。。相切.

理由如下：连接EF，

由（1）知，BE是。。直径,

NEFB=NEFC=9Q0，

:点”是CE中点，

二FH=EH=HC,

•••FH±CE,

二/FHC=90°,

：.ZECF=ZHFC=45°,

：./BEC=90。，

又：OE是0。的半径，

，宜线EC与圆O相切.

由上可知四边形4段五和四边形。/7组都是正方形,

AE=AB」AO=LX40=20,

22

.，•BE=yjAB2+AE2=4，

:.OE=OF=2，

2

._o?2907tx2

••Q—。正方形0FHEJja形0EF-Z记0一一叶兀.

【点睛】

本题考查直线与圆的位置关系，矩形的性质，全等三角形的判定和性质、切线的判定、勾股定理，解题的

关键是综合运用所学知识.

14.(2020•山西九年级期末)如图，AD,A3是以3c为直径的半圆。的切线，其中AD切。。于点

AB切OO于点B,AD,8c的延长线相交于点E.

B()(：也

(1)连接CD,求证：ZA=2ZCDE.

(2)若AB=3,AE=5,求OO的半径.

3

【答案】(1)证明见解析；(2)-

2

【分析】

(1)连接80，。。；根据切。。于点。，推导得NODC+N8E=90°；由BC是00的直径推

导得NODB=NCDE；结合A8切。。手点3,得44+/8。/)=180°,从而推导得

ZA=ZODB+ZOBD,根据03=。。，即可完成证明;

（2）结合（1）的结论，通过证明AODESAABE,得型=匹；结合勾股定理，计算得3E，设。。的

ABAE

半径为，，通过列方程并求解，即可得到答案.

【详解】

（1）连接班），0D

,/AD切0。于点D,

/.ODJ.AD,

二ZADO=NODE=90°,

AODC+NCDE=90°.

,/BC是。。的直径，

；.N5OC=90°，

，ZODC+AODB=90",

二NODB=NCDE

AB切。。于点8,

Z.ABC=NADO=90°,

/.ZA+ZBOD=\SC)

在ABOD中，ZBOD+ZODB+NOBD=180°

，ZA=ZODB+ZOBD，

,/OB=OD

NODB=/OBD

NA=2ZODB,即NA=2NCDE；

(2)由(1)知，ZABE=ZODE=90°,ZE=ZE,

:.4ODES4ABE，

.OPOE

"~AB~~AE

在RtAABE中，AB=3,AE=5,

：•BE=JAE?-AB?=4，

设。。的半径为r,则0Q=Q3=r,0E=4—r

.r4-r

35

3

解得：r=一

2

3

二。。的半径是一.

2

【点睛】

本题考查了圆、等腰三角形、相似三角形、勾股定理、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握切线、

圆、等腰三角形、相似三角形、勾股定理、一元一次方程的性质，从而完成求解.

四、解答题二(每小题10分，共30分)

15.(2020•湖北黄石市•九年级期末)如图，AB是半圆。的直径，点。是半圆。上一点，点C是A。的中

点，CE工AB于蔗E,过点。的切线交EC的延长线于点G,连接A。，分别交CB、CE于点F、P,

连接AC.

(1)求证：GP=GD；

(2)求证：P是线段AE的中点；

(3)连接CQ,若CD=2,BC=4,求的半径和CE的长.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)不，华

【分析】

(1)连接OD,根据A5是半圆0的直径，点。是半圆。上一点，推导得NQ4Q=NOZM；结合DG是

圆O的过点。的切线，得NOD4+NP£)G=9(r；根据C£_LAB,推导得NQ4£>+NGPD=90°，从而

得到ZPDG=4GPD,即可完成证明；

(2)连接OC,OC交AD于点Q；根据点C是4。的中点，得NAQC=90；通过证明。得

ZACP=NC4P，从而得AP=CP：结合NACB=NCE8=9(T，推导得CP=P尸，即可完成证明;

(3)连接8,点C是AD的中点得AC,根据A3是半圆。的直径，结合勾股定理计算的AB；再通过

直角三角形面积计算公式，即可得CE.

【详解】

(1)连接OD

是半圆。的直径，点。是半圆。上一点,

AO-DO

二ZOAD=ZODA

,/DG是圆。的过点D的切线

OD±GD

ZODG=90

•••ZODA+ZPDG=9^

•：CEVAB

二ZAEP=90'

ZPAE+ZAPE=90.即NQ40+NAP£=9O

,:4GpD=ZAPE

•••NOAD+NGPD=90°

：.ZPDG=ZGPD

:.GP=GD：

(2)连接OC,OC交AD于点Q

•.•点C是AD的中点

...OC±AD

：.ZAQC=90

OA=OC

，ZOAC=ZOCA

•••CE±AB

•••ZAEC=9Q°

rZAEC=ZAQC=903

即＜ZOAC=ZOCA

AC=AC

：.△ACE四△CAQ

AZACE=ZCAQ,即NACP=NC4P

AP=CP

又•••点C是AZ)的中点

AZCAD=ZABC,即NC4F=N£BC

NACB=NCEB=90°

二ZCAF+ZAFC=90'，NECB+ZEBC=90'

ZAFC=/ECB

:.CP=PF

:.AP=CP=PF,即P是线段A/的中点；

(3)连接CO

G

:点。是AO的中点，CD=2

，AC=CD=2

；A?是半圆。的直径

，ZACB=9Q

；•AB=y]AC2+BC2=722+42=2#>

：.0A=0B=^AB=>/5,即。。的半径为逐

又•••CE_LAB

：.-ABxCE^-ACxBC

22

.『ACxBC2x44方

♦•CH------=—T=----.

AB2755

【点睛】

本题考查了圆、等腰三角形、直角三角形、全等三角形、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角、

圆的切线、垂径定理、勾股定理、等腰三角形的性质，从而完成求解.

16.（2020•全国九年级课时练习）如图，A、P、8、C是。。上四点，ZAPC=ZCPB=6O°.

（1）判断△ABC的形状并证明你的结论；

（2）当点尸位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由.

（3）求证：PA+PB=PC.

【答案】（1）ZkABC是等边三角形，证明见解析；（2）当点尸位于AS中点时，四边形尸8。月是菱形，理由

见解析；（3）证明见解析.

【分析】

（1）利用圆周角定理可得NBAC=/CPB,NABC=/APC,而NAPC=NCPB=60。，则可得

ZBAC=ZABC=60°,从而可判断AABC的形状；

（2）当点P位于AB中点时，四边形PBOA是菱形，通过证明AOAP和AOBP均为等边三角形，得到

OA=AP=OB=BP即可得证；

(3)在PC上截取PD=AP,则AAPD是等边三角形，然后证明ZkAPB丝△ADC,证明BP=CD即可得证结论.

【详解】

(1)AA8C是等边三角形.

证明如下：在。。中，

♦.•N8AC与NCPB是所对的圆周角，^ABC与NAPC是4c所对的圆周角，

：.ZBAC=ZCPB,ZABC^ZAPC,

又•:ZAPC=ZCPB=60°,

,ZABC=ZBAC=60°,

二△ABC为等边三角形；

(2)当点P位于AB中点时，四边形PBOA是菱形，

如图1,连接0P.

,//AO8=2NACB=120。，尸是AB的中点，

ZAOP=ZBOP=60°

又；0A=。尸=08,

...△0AP和AOBP均为等边三角形，

OA=AP=OB=PB,

•••四边形PB04是菱形；

(3)如图2,在PC上截取尸£>=4尸，

又,:NAPC=60。,

二ZUPO是等边三角形，

：.AD=AP=PD,ZADP=60°,即NAQC=120°.

又VNAPB=ZAPC+NBPC=120°,

ZADC=ZAPB.

在△AP8和AAOC中,

ZAPB=ZADC

<ZABP=ZACD

AP=AD

：./\APB^/\ADC(AAS),

:.BP=CD,

又,：PD=AP,

：.CP=BP+AP.

【点睛】

本题考查圆内接多边形的性质，菱形的性质，掌握圆内接四边形的性质，全等三角形的判定定理和性质定

理是解题关键.

17.（2021•广东潮州市•