专题02 与三角形有关系的角（解析版）

专题02与三角形有关的角专题探究考点一三角形的内角与外角【知识点睛】三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°，推论：三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角的和三角形的外角和=360°应用：三角形内角和定理在求角度时，只要知道任意两个内角的度数，就可以求第三个角的度数三角形求角度问题常和角平分线、高线等结合考察，另外，有折叠，亦有角相等AABCD如图，有：飞镖模型：【类题训练】1．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，AD平分∠BAC，CE⊥AB于点E，则∠ADB的度数为（）A．100° B．90° C．80° D．50°【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线的定义求出∠B与∠BAD的度数即可求解．【解答】解：∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∵∠BCE＝40°，∴∠B＝50°，∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC＝30°，∴∠ADB＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝180°﹣50°﹣30°＝100°．故选：A．2．根据下列条件能判定△ABC是直角三角形的有（）①∠A+∠B＝∠C，②，③∠A：∠B：∠C＝5：2：3，④∠A＝2∠B＝3∠C．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】利用三角形内角和定理，进行计算求解即可．【解答】解：∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，故①符合题意；∵∠A＝∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，故②符合题意；∵∠A：∠B：∠C＝5：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝180°×＝90°，∠B＝180°×＝36°，∠C＝180°×＝54°，∴△ABC是直角三角形，故③符合题意；∵∠A＝2∠B＝3∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝180°，∴∠A＝，∴∠B＝，∠C＝，∴△ABC不是直角三角形，故④不符合题意；综上，符合题意得有3个，故选：C．3．下面说法正确的个数是（）（1）三角形中最小的内角不能大于60°；（2）三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和；（3）三角形任意两个内角的和大于第三个内角；（4）直角三角形只有一条高；（5）在同圆中任意两条直径都相互平分；（6）三角形一边上的高小于这个三角形的其他两边．A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【分析】根据三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形的高线，圆的概念等知识逐项判定可求解．【解答】解：（1）三角形中最小的内角不能大于60°，若大于了60°，三角形的内角和就大于了180°，故原说法正确，符合题意；（2）三角形的一个外角大于和它不相邻的两个内角的和，故原说法错误，不符合题意；（3）三角形任意两个内角的和不一定大于第三个内角，当第三个角为钝角时就不大于，故错误，不合题意；（4）直角三角形有三条高，故错误，不符合题意；（5）在同圆中任意两条直径都相互平分，故正确，符合题意；（6）直角三角形一边上的高可以等于这个三角形的其他边，故财务，不符合题意．故选：D．4．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，将△ADE沿DE折叠至△FDE位置，点A的对应点为F．若∠A＝15°，∠BDF＝120°，则∠CEF的度数为（）A．90° B．100° C．110° D．120°【分析】由折叠性质可得∠ADE＝∠FDE，∠AED＝∠FED，由邻补角可求得∠ADF＝60°，则∠ADE＝30°，由三角形的内角和可求得∠AED＝135°，由三角形的外角求得∠DEG＝45°，则可求∠CEF的度数．【解答】解：由题意得：∠ADE＝∠FDE，∠AED＝∠FED，∵∠BDF＝120°，∴∠ADF＝180°﹣∠BDF＝60°，∴∠ADE＝30°，∴∠AED＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝135°，∠DEG＝∠A+∠ADE＝45°，∴∠DEF＝135°，∴∠CEF＝∠DEF﹣∠DEG＝90°．故选：A．5．如图，在△CFF中，∠E＝80°，∠F＝60°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC、CD，则∠A的度数是°．【分析】先利用三角形的内角和求出∠FCE，再利用平行线的性质说明∠A与∠FCE的关系得结论．【解答】解：延长FC交AD于点G．∵∠E＝80°，∠F＝60°，∴∠FCE＝180°﹣∠E﹣∠F＝180°﹣80°﹣60°＝40°．∵AB∥CF，AD∥CE∴∠A＝∠FGD，∠FCE＝∠FGD．∴∠A＝∠FCE＝40°．故答案为：40．6．将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（）A．45° B．60° C．75° D．85°【分析】先根据三角形的内角和得出∠CGF＝∠DGB＝45°，再利用∠α＝∠D+∠DGB可得答案．【解答】解：如图，∵∠ACD＝90°、∠F＝45°，∴∠CGF＝∠DGB＝45°，则∠α＝∠D+∠DGB＝30°+45°＝75°，故选：C．7．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（）A．85° B．75° C．65° D．60°【分析】利用三角形外角的性质解答即可．【解答】解：如图所示，∠α＝∠E+∠ACB＝30°+45°＝75°，故选：B．8．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（）A．120° B．105° C．60° D．45°【分析】先求出∠2，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：如图，∠2＝90°﹣45°＝45°，由三角形的外角性质得，∠1＝∠2+60°，＝45°+60°，＝105°．故选：B．9．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的三个外角度数的比为4：5：6，则∠A＝（）A．96° B．84° C．48° D．24°【分析】根据三角形的外角和等于360°列出方程，解方程即可．【解答】解：设∠A、∠B、∠C的三个外角度数分别为4x、5x、6x，则4x+5x+6x＝360°，解得，x＝24°，则∠A的外角为4x＝96°，∴∠A＝84°，故选：B．10．2022年2月8日上午，谷爱凌在女子滑雪大跳台决赛中，获得了北京冬奥会雪上项目的首金．如图所示，大跳台的∠B＝35°，∠C＝y°，∠BAD＝x°，请找出y与x的关系式（）A．y＝145﹣x B．y＝x﹣35 C．y＝x+55 D．y＝x+35【分析】直接利用三角形的外角性质求解即可．【解答】解：∵∠BAD是△ABC的外角，∠B＝35°，∠C＝y°，∠BAD＝x°，∴∠BAD＝∠B+∠C，即x＝35+y，∴y＝x﹣35．故选：B．11．一副三角板如图放置，则∠1+∠2的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．75°【分析】延长BE交AC于D，根据三角形的外角性质计算，得到答案．【解答】解：延长BE交AC于D，∵∠BEC是△CDE的外角，∴∠2+∠CDE＝∠BEC＝90°，同理：∠1+∠A＝∠CDE，∴∠2+∠1+∠A＝90°，∴∠1+∠2＝45°，故选：B．12．已知：如图，在△ABC中，∠A＝55°，H是高BD、CE的交点，则∠BHC＝度．【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，可求得∠ABD．再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，进而求出∠BHC．【解答】解：在△ABD中，∵BD⊥AC，∴∠ABD＝90°﹣∠A＝35°，∴∠BHC＝90°+35°＝125°．13．三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”，如果一个“特征三角形”的“特征角”为110°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为．【分析】根据已知一个内角α是另一个内角β的两倍得出β的度数，进而求出最小内角即可．【解答】解：由题意得：α＝2β，α＝110°，则β＝55°，180°﹣110°﹣55°＝15°，故答案为：15°．14．三角形的一个外角是100°，则与它不相邻的两内角平分线夹角（钝角）是．【分析】由三角形的外角性质可得∠BAC+∠ABC＝100°，再由角平分线的定义得∠1＝∠BAC，∠3＝∠ABC，从而可求得∠1+∠3＝50°，再利用三角形的内角和定理即可求解．【解答】解：∵∠ACQ是△ABC的外角，且∠ACQ＝100°，∴∠BAC+∠ABC＝100°，∵AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，∴∠1＝∠BAC，∠3＝∠ABC，∴∠1+∠3＝（∠BAC+∠ABC）＝50°，∴∠D＝180°﹣（∠1+∠3）＝130°．故答案为：130°．15．如图，在△ABC中，AD是BAC的平分线，EF∥AD，交BC于E、AB于F、CA的延长线于G，∠B＝30°，∠C＝70°，则∠G的度数．【分析】根据三角形内角和定理，得∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°．根据角平分线的定义，得∠DAC＝＝40°．根据平行线的性质，由EF∥AD，得∠G＝∠DAC＝40°．【解答】解：∵∠B＝30°，∠C＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°．∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝＝40°．∵EF∥AD，∴∠G＝∠DAC＝40°．故答案为：40°．16．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．（1）若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠CAE的度数；（2）证明：∠BAC＝∠B+2∠E．【分析】（1）由三角形的外角性质可求得∠DCE＝60°，再由角平分线的定义可得∠ACE＝60°，利用三角形的内角和定理即可求∠CAE的度数；（2）由三角形的外角性质可得∠DCE＝∠B+∠E，∠BAC＝∠E+∠ACE，再由角平分线的定义得∠ACE＝∠DCE，从而可求解．【解答】（1）解：∵∠DCE是△BCE的外角，∠B＝35°，∠E＝25°，∴∠DCE＝∠B+∠E＝60°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE＝60°，∴∠CAE＝180°﹣∠ACE﹣∠E＝95°；（2）证明：∵∠DCE是△BCE的外角，∠BAC是△ACE的外角，∴∠DCE＝∠B+∠E，∠BAC＝∠E+∠ACE，∵CE平分角ACD，∴∠ACE＝∠DCE，∴∠BAC＝∠E+∠B+∠E＝∠B+2∠E．17．如图，CD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．（1）若∠A＝42°，∠BDC＝75°，求∠CED的度数；（2）若∠A﹣∠ACD＝17°，∠EDB＝95°，求∠A的度数．【分析】（1）利用三角形内角和定理求出∠ACB，再求出∠ECD，∠EDC即可求解；（2）设∠A＝x°，则∠ACD＝x°﹣17°，根据∠EDB＝∠A+∠AED，构建方程求解即可．【解答】解：（1）∵∠CDB＝∠A+∠ACD，∴∠ACD＝75°﹣42°＝33°，∵CD是△ABC的角平分线，∴∠DCB＝∠ACD＝33°，∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠DCB＝33°，∴∠CED＝180°﹣33°﹣33°＝114°；（2）设∠A＝x°，则∠ACD＝x°﹣17°，∵CD是△ABC的角平分线，∴∠ACB＝2（x°﹣17°），∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ACB＝2（x°﹣17°），∵∠EDB＝∠A+∠AED，∴95°＝x°+2（x°﹣17°），∴x＝43°，∴∠A＝43°．18．（1）如图1，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC＝40°，∠A＝60°，求∠BFC的度数；（2）如图2，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC＝42°，①求∠CAB的度数；②求∠CAP的度数．【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠FBC＝∠ABC，∠FCB＝∠ACB，再根据三角形内角和定理求出即可；（2）①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD＝∠BAC+∠ABC，∠PCD＝∠BPC+∠PCB，根据角平分线的定义可得∠PCD＝∠ACD，∠PBC＝∠ABC，然后整理得到∠PCD＝42°+∠ABC，再代入数据计算即可得解；②作PE⊥BA于E，PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，根据角平分线的性质与判定可得AP平分∠CAE，再根据角平分线的定义可求解．【解答】解：（1）∵∠ABC＝40°，∠A＝60°，∴∠ACB＝80°，∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，∴∠FBC＝∠ABC＝20°，∠FCB＝∠ACB＝40°，∴∠BFC＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）＝120°；（2）①在△ABC中，∠ACD＝∠BAC+∠ABC，在△PBC中，∠PCD＝∠BPC+∠PBC，∵PB、PC分别是∠ABC和∠ACD的平分线，∴∠PCD＝∠ACD，∠PBC＝∠ABC，∴∠PCD＝∠BPC+∠PBC＝42°+∠ABC，∴∠ACD＝∠ABC+42°，∴∠ACD﹣∠ABC＝84°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝84°，即∠CAB＝84°．②作PE⊥BA于E，PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，∴PE＝PG，PF＝PG，∴PE＝PF，∴AP平分∠CAE，∴∠CAP＝∠CAE＝×（180°﹣84°）＝48°．考点二直角三角形的角【知识点睛】性质：直角三角形内角两锐角互余判定：两个内角互余的三角形是直角三角形【类题训练】1．将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则∠1的度数为（）度．A．45 B．60 C．75 D．105【分析】首先计算∠4的度数，再根据平行线的性质可得∠1＝∠4，进而可得答案．【解答】解：∵∠2＝60°，∠3＝45°，∴∠4＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∵a∥b，∴∠1＝∠4＝75°，故选：C．2．若一个三角形的三个内角的度数之比为1：3：4，那么这个三角形是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形【分析】首先根据题意，可得：这个三角形的最大的角的度数占三角形的内角和的；然后根据三角形的内角和是180°，用180乘这个三角形的最大的角的度数占三角形的内角和的分率，求出最大的角的度数是多少，判断出这个三角形是什么三角形即可．【解答】解：180°×＝180°×＝90°∴这个三角形的最大的角的度数是90°，∴这个三角形是直角三角形．故选：B．3．已知，在直角△ABC中，∠C为直角，∠B是∠A的2倍，则∠A的度数是（）A．30° B．50° C．70° D．90°【分析】设∠A＝x，则∠B＝2x，根据直角三角形两锐角互余可得x+2x＝90°，解方程即可求出∠A的度数．【解答】解：设∠A＝x，则∠B＝2x，∵∠C为直角，∴∠A+∠B＝90°，∴x+2x＝90°，∴x＝30°，∴∠A＝30°，故选：A．4．在Rt△ABC中，BC是斜边，∠B＝35°，则∠C＝（）A．45° B．55° C．65° D．75°【分析】根据直角三角形的边先确定直角，再利用直角三角形的性质计算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，BC是斜边，∴∠A＝90°．∵∠B＝35°，∴∠C＝90°﹣∠B＝55°．故选：B．5．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝7∠BAE，则∠C的度数为（）A．41° B．42° C．43° D．44°【分析】设∠BAE＝x°，则∠C＝7x°，根据线段的垂直平分线的性质得出AE＝CE，得出∠EAC＝∠C，由直角三角形的性质得出∠C+∠BAC＝90°，求出x即可．【解答】解：设∠BAE＝x°，则∠C＝7x°，∵ED是AC的垂直平分线，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠C＝7x°，∵∠B＝90°，∴∠C+∠BAC＝90°，∴7x+7x+x＝90，解得：x＝6，∴∠C＝7×6°＝42°，故选：B．6．已知非直角三角形ABC中，∠A＝45°，高BD与CE所在直线交于点H，则∠BHC的度数是（）A．45° B．45°或135° C．45°或125° D．135°【分析】①△ABC是锐角三角形时，先根据高线的定义求出∠ADB＝90°，∠BEC＝90°，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠ABD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解；②△ABC是钝角三角形时，根据直角三角形两锐角互余求出∠BHC＝∠A，从而得解．【解答】解：①如图1，△ABC是锐角三角形时，∵BD、CE是△ABC的高线，∴∠ADB＝90°，∠BEC＝90°，在△ABD中，∵∠A＝45°，∴∠ABD＝90°﹣45°＝45°，∴∠BHC＝∠ABD+∠BEC＝45°+90°＝135°；②如图2，△ABC是钝角三角形时，∵BD、CE是△ABC的高线，∴∠A+∠ACE＝90°，∠BHC+∠HCD＝90°，∵∠ACE＝∠HCD（对顶角相等），∴∠BHC＝∠A＝45°．综上所述，∠BHC的度数是135°或45°．故选：B．7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点F是△ABC外的一点，∠CBE是△ABC的外角，∠CAF＝2∠FAB，∠CBF＝2∠FBE，则∠F＝．【分析】设∠FBE＝x°，∠FAB＝y°，则∠CBE＝3x°，∠CAB＝3y°，根据三角形外角的性质得出∠FBE＝∠F+∠FAB，∠CBE＝∠C+∠CAB，代入求出答案即可．【解答】解：∵∠CAF＝2∠FAB，∠CBF＝2∠FBE，∴设∠FBE＝x°，∠FAB＝y°，则∠CBF＝2x°，∠CAF＝2y°，∴∠CBE＝3x°，∠CAB＝3y°，∵∠FBE＝∠F+∠FAB，∠CBE＝∠C+∠CAB，∠C＝90°，∴x°＝∠F+y°①，3x°＝3y°+90°②，①×3﹣②得：0°＝3∠F﹣90°，解得：∠F＝30°，故答案为：30°．8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°，将其折叠，使点A落在边BC上的点E处，CA与CE重合，折痕为CD，则∠EDB的度数是．【分析】△ABC中已知两个角的度数，求出∠B的度数，由折叠可知△ACD≌△ECD，知道∠CED的度数，再利用三角形外角与内角关系求出∠EDB即可．【解答】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°，∴∠B＝90°﹣52°＝38°，由题意可知△ACD≌△ACD，∴∠CED＝∠A＝52°，由图可知∠CED是△EBD的外角，∴∠CED＝∠B+∠EDB，∴52°＝38°+∠EDB，∴∠EDB＝14°．故答案为：14°．9．如图，点A是射线BC外一点，连接AB，AB＝5cm，点A到BC的距离为3cm．动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．设运动的时间为t秒，当t为秒时，△ABP为直角三角形．【分析】根据勾股定理，先求出BH的长，再分情况讨论：当∠APB＝90°时，当∠BAP＝90°时分别求解即可．【解答】解：过点A作AH⊥BC，∵点A到BC的距离为3cm，∴AH＝3cm，∵AB＝5cm，根据勾股定理，得BH＝4cm，当∠APB＝90°时，如图所示：此时点P与点H重合，根据题意，得2t＝4，解得t＝2；当∠BAP＝90°时，如图所示：∵AB＝5cm，BP＝2tcm，AH＝3cm，BH＝4cm，∴HP＝（2t﹣4）cm，根据勾股定理，得AP2＝BP2﹣AB2＝4t2﹣25，AP2＝9+（2t﹣4）2，∴4t2﹣25＝9+（2t﹣4）2，解得t＝，∴t＝2s或s，故答案为：2s或s．如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON＝40°，（1）当∠A＝时，△AOP为直角三角形；（2）当∠A满足时，△AOP为钝角三角形．【分析】（1）分∠A＝90°和∠OPA＝90°两种情况进行讨论，即可求出答案；（2）分∠A为钝角和∠OPA为钝角两种情况进行讨论，即可求出答案．【解答】解：（1）当∠A＝90°时，△AOP为直角三角形，当∠OPA＝90°时，△AOP为直角三角形，∵∠AON＝40°，∴此时，∠A＝90°﹣∠AON＝90°﹣40°＝50°，综上所述，当∠A＝90°或50°时，△AOP为直角三角形，故答案为：90°或50°；（2）当90°＜∠A＜180°时，△AOP为钝角三角形，当90°＜∠OPA＜180°时，△AOP为钝角三角形，∵∠AON＝40°，∴此时，0°＜∠A＜50°，综上所述，当90°＜∠A＜180°或0°＜∠A＜50°时，△AOP为钝角三角形，故答案为：90°＜∠A＜180°或0°＜∠A＜50°．11．如图，已知D是线段BC的延长线上一点，∠ACD＝∠ACB，∠COD＝∠B，求证：△AOE是直角三角形．【分析】根据平角的概念求出∠ACB＝90°，根据对顶角相等、直角三角形的性质证明结论．【解答】证明：∵∠ACD+∠ACB＝180°，∠ACD＝∠ACB，∴∠ACD＝∠ACB＝90°，∵∠AOE＝∠COD，∠COD＝∠B，∴∠AOE＝∠B，∵∠BAC+∠B＝90°，∴∠BAC+∠AOE＝90°，∴∠AEO＝90°，即△AOE是直角三角形．12．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，CE平分∠ACB．（1）求∠ACE的度数．（2）若CD⊥AB于点D，∠CDF＝75°，求证：△CFD是直角三角形．【分析】（1）依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到∠ACE的度数．（2）依据三角形内角和定理以及直角三角形的性质，即可得到∠DCF的度数，进而得出∠CFD的度数．【解答】解：（1）∵△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣60°＝90°，又∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ACB＝45°；（2）∵CD⊥AB，∠B＝60°，∴∠BCD＝90°﹣60°＝30°，又∵∠BCE＝∠ACE＝45°，∴∠DCF＝∠BCE﹣∠BCD＝15°，又∵∠CDF＝75°，∴∠CFD＝180°﹣75°﹣15°＝90°，∴△CFD是直角三角形．13．如果三角形中任意两个内角∠α与∠β满足2∠α+∠β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．（1）在△ABC中，若∠A＝100°，∠B＝70°，试判断△ABC是否是“准直角三角形”，并说明理由；（2）如果△ABC是“准直角三角形”，那么△ABC是；（从下列四个选项中选择，填写符合条件的序号）（①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形；④都有可能）（3）如图，在△ABC中，∠A＝25°，∠C＝75°，BD平分∠ABC交AC于点D．①若DE∥BC交AB于点E